多管齊下，提高解題能力

廖可媛

摘 要：在數(shù)學學習中，學生所掌握的知識、技能和思想方法，都要通過解題加以呈現(xiàn)，所以說解題能力體現(xiàn)了學生的數(shù)學綜合水平，同時，解題能力也是學生應對數(shù)學高考的重要武器。因此，在高三數(shù)學復習階段，教師要根據(jù)學生所面臨的學習困境，積極改進教學策略，爭取培養(yǎng)學生良好的解題習慣，豐富其解題技巧，最終促進學生解題能力的進步。

關鍵詞：高三數(shù)學;復習;解題能力;教學策略

在高三復習過程中，學生所面臨的是整個高中階段的數(shù)學知識，所遇到的問題普遍具有綜合性、開放性、復雜性較強的特點，這是學生錘煉解題技能的最佳時機。但是，隨著數(shù)學學習的深入，高中生在解題方面的問題不斷暴露出來，比如：基礎不扎實;解題思維不夠靈活;解題過程繁瑣、效率低下等等，這嚴重限制了學生數(shù)學興趣和數(shù)學水平的提升。因此，在高三數(shù)學復習指導中，教師要認真觀察學生的解題過程，根據(jù)學生的弱勢進行針對性教學，爭取在鍛煉學生解題能力的同時，促進學生數(shù)學相關的各方面素質和品格的發(fā)展。

1.全面回歸教材，構建知識網(wǎng)絡

數(shù)學中的概念、定義、公式、定理等基礎知識是學生解題的重要工具，如果學生基礎不牢，就無法快速、準確地判斷題目中的關鍵性信息，不能將其和已掌握的數(shù)學知識建立聯(lián)系，自然找不到解題的方向和方法，這體現(xiàn)了夯實基礎對于提高解題能力的重要性。但是，高三學生盲目追求效率和成績，整日投入到題海訓練中，反而忽視了教材上最基礎、最核心的內容，根基不牢，學生自然難以穩(wěn)步提升。所以，在高三數(shù)學復習指導中，教師首先要帶領學生全面回歸教材，按照一定的順序、規(guī)律梳理基礎知識，構建知識網(wǎng)絡，從而使學生對高中數(shù)學產(chǎn)生清晰、全面的認識，為學生解題奠定扎實的基礎。

例如：在復習之初，教師可以帶領學生從必修一開始梳理教材。而考慮到每名學生的學習方法和學習節(jié)奏不同，所以為了保證學生的學習效率，讓學生利用課下時間自主完成復習，在課上進行交流和總結。比如針對《數(shù)列》這一章，教師要求學生利用課下時間認真閱讀教材，整理相關的概念和公式，并掌握書上典型例題的解法。而在課堂上，學生呈現(xiàn)出不一樣的復習成果，有的通過表格將等差數(shù)列與等比數(shù)列進行對比式總結，本章的所有概念、公式都囊括其中;還有的學生則通過思維導圖來體現(xiàn)各部分知識之間的聯(lián)系。而教師則給學生展示一些新穎、易錯的題目，供學生即時訓練，比如：設{an}是等差數(shù)列，{an}為等比數(shù)列，其公比q≠1，且bi>0（i=1，2，3，…，n），若a1=b1，a11=b11，則a6和b6存在怎樣的大小關系？這道題所考察是學生對等差中項、等比中項的理解和應用，同時需要學生滲透基本不等式的知識。最后，讓學生提出自己遇到的問題，教師進行補充式講解。通過以上方式，可以完善學生的數(shù)學知識體系，使學生在解題時能快速聯(lián)系、調用基礎知識，以初步提高學生的解題能力。

2.加強審題指導，保證解題質量

高中數(shù)學題目的閱讀量普遍較大，其中條件錯綜復雜，再加上有一些無關信息的干擾，給學生審題造成阻礙，常常誤導學生的解題方向，這凸顯了審題指導在習題教學中的重要性。而通過觀察學生的解題過程不難發(fā)現(xiàn)，很多學生并沒有掌握審題的方法，為了追求效率，刻意提高讀題的速度，結果很難從中提取有效的信息，甚至不清楚考點所在。所以，在高三數(shù)學習題教學中，教師可以建議學生按照以下步驟進行審題：

（1）放慢速度，逐字逐句地讀題，確定問題以及題目的考點;

（2）重讀題目，將題干中的數(shù)據(jù)、數(shù)量關系、圖形的位置關系呈現(xiàn)在圖示上，如果沒有圖示，根據(jù)題意作圖;

（3）從問題出發(fā)，建立條件和問題之間的聯(lián)系。如果尚無思路，則從條件出發(fā)，從中挖掘隱含的信息;

（4）將所有條件進行綜合，尋找條件與問題之間的聯(lián)系……

當然，實際的審題過程需要學生根據(jù)具體的題目而定，這樣學生才能盡快找到解題方向。

例如：針對這道題目：已知圓，為圓上的動點，求的最大值、最小值。

學生讀完題目后，確定本題所求的對象，然后畫出直角坐標系，根據(jù)題意作出，隨機選一點為P。此時，學生依舊找不到條件與問題之間的關聯(lián)，于是，學生從入手，過點P做垂直于X軸的垂線，并連接OP，構造一個直角三角形。接著，學生根據(jù)勾股定理，得到OP2=x2+y2=>d=OP2。所以，原問題就被轉化成求OP2的最大值和最小值。根據(jù)圖示，學生很快便能確定P點到原點的距離何時最大，何時最小，從而確定解題方向。通過這種訓練方式，可以培養(yǎng)學生良好的審題習慣，以保證學生解題過程的質量。

3.引導一題多解，豐富解題技巧

不難發(fā)現(xiàn)，對于同一道數(shù)學題目，教師可以選擇不同的方式、方法，甚至運用不同的知識進行解答，這說明數(shù)學在嚴謹?shù)耐瑫r，也具有開放、多元的特點。而在實際的考試過程中，學生容易受到考場氛圍的影響，不能穩(wěn)定發(fā)揮，很可能忘記平時掌握的一些知識和方法，在這種情況下，就需要學生另辟蹊徑，用自己最熟悉、最擅長的方式來解題。所以，在高三數(shù)學習題訓練中，教師要引導學生一題多解，從而拓展學生的數(shù)學思維，豐富學生的解題技巧，使學生在考試過程中更加自信從容。

然后，讓學生對每一種解法進行分析和評價，從中選出自己最擅長的一種。通過這種訓練方式，可以幫助學生找到最適合自己的最優(yōu)解題方法，從而使學生在實際考試中能夠揚長避短。

4.引導一題多變，提升思維品質

在數(shù)學教學中不難發(fā)現(xiàn)，當學生掌握某一題的解法之后，如果對題目進行變化，學生就會陷入新的困境。這不僅說明學生數(shù)學基礎不牢固，也說明學生思維固化，缺乏應變能力。而數(shù)學高考試題每年都會更新，雖說考察的知識點大體不變，但試題的形式更加新穎，更富于變化，這對學生的數(shù)學能力提出了更高的要求。所以，在高三數(shù)學習題教學中，教師要帶領學生展開變式訓練，也就是對一道例題的條件、結論或問題進行變化，引導學生不斷轉換思考的角度和解題的方法。從而提升學生思維的靈活性和敏捷性，使學生有足夠的能力面對更新穎、更復雜的問題。

例如：函數(shù)在區(qū)間[0，1]上至少出現(xiàn)50次最大值，則ω的取值范圍是_____.

這道題目難度不高，學生只要掌握三角函數(shù)圖像的特點，根據(jù)題意推斷出函數(shù)在區(qū)間[0，1]內應有多少個周期，就能解出ω的取值范圍。但在實際的考試中，這類題型會更加復雜，于是筆者將例題進行如下變式：

變式一：函數(shù)在區(qū)間[0，1]上至少出現(xiàn)50次最大值，則ω的取值范圍是_____.

變式二：函數(shù)在區(qū)間上至少出現(xiàn)50次最大值，則ω的取值范圍是_____.

變式三：函數(shù)在區(qū)間[0，1]上至少出現(xiàn)50次最小值，則ω的取值范圍是_____.

變式四：函數(shù)在區(qū)間[0，1]上至少出現(xiàn)50次最大值，則ω的取值范圍是_____.

……

以上變式題目均改變了例題的一部分條件，但是解題的方法并無太大變化。比如變式一，僅將例題中的sin換成cos，學生只要思考函數(shù)的圖像在區(qū)間[0，1]內應有多少個周期，就能解出ω的取值范圍。當學生完成以上變題后，可讓學生繼續(xù)變式，并互相交換題目。通過這種一題多變的訓練方式，可以提升學生的思維品質和應變能力，并使學生對某類題型的解法掌握得更加純熟。

5.滲透數(shù)學思想，提高解題效率

數(shù)學思想反映著數(shù)學的本質和規(guī)律，無論是理解數(shù)學概念還是解決數(shù)學問題，適當應用數(shù)學思想方法，有助于學生化繁為簡，提高學習和探究的效率。比如，在學習“等比數(shù)列”時，如果能夠利用“類比思想”，將其和“等差數(shù)列”進行綜合比較，然后根據(jù)等差數(shù)列的特點來推斷等比數(shù)列可能具有的性質，便能有效簡化探究過程，同時能構建知識系統(tǒng)。而在解決集合運算的問題時，如果能運用“數(shù)形結合”，即以韋恩圖或數(shù)軸來表示集合，便能提高運算的準確性。所以，在高三數(shù)學習題訓練中，教師要引導學生主動運用數(shù)學思想，以提高學生的解題效率。

但是部分學生并不擅長運用化歸思想，需要教師再指導學生采取數(shù)形結合法，大致步驟如下：將轉化成橢圓方程：，然后畫出該橢圓，而所表示的就是橢圓上的點到原點的距離的平方。之后根據(jù)圖示判斷哪種情況下橢圓上的點到原點的距離的平方最大或最小，而后求出的最大值和最小值。

此外，倡導學生在日常練習中注意總結數(shù)學思想方法的使用情況，比如：遇見絕對值符號便展開分類討論;遇見斜率、截距、距離等問題便采取數(shù)形結合等等。通過這種訓練方式，可以幫助學生在解題過程中盡快找到最優(yōu)解法，并使學生對數(shù)學的本質產(chǎn)生更深層次的認識。

6.指導反思總結，加強錯題整理

高三復習不僅是鞏固基礎、提升能力的過程，更是學生查缺補漏的良機。而在集中性的習題訓練中，學生必定會出現(xiàn)各種各樣的錯誤，這暴露了學生的薄弱之處，同時也給學生自我提升指明了方向。所以，在高三數(shù)學復習階段，教師要引導學生對錯題進行反思和總結，并根據(jù)自己的學習規(guī)律整理錯誤資源。一來避免學生重蹈覆轍，二來讓學生在反思、總結、歸納、整理的過程中不斷彌補自身不足，得到數(shù)學解題能力的持續(xù)提升。

例如：函數(shù)的圖像與X軸只有一個交點，求實數(shù)m的取值范圍。

這道題雖然難度不深，但卻不能過于輕視，很多學生直接判斷，解得或。在筆者的指導下，學生進行如下反思和總結：

①錯因分析：結果缺失，沒有考慮系數(shù)為零的情況;

②正確解法：先考慮當時，，該一次函數(shù)圖像為一條直線，與X軸只有一個交點。故本題正確結論為：{-3，0，1};

③自我反思：在處理這類問題時，首先應考慮二次項系數(shù)是否為零，如果不能確定，要進行分類討論……

另外，針對一些比較典型的錯題，學生則將其進行分類，整理在錯題集上。而教師定期收集學生的錯題本，了解學生普遍存在的問題，據(jù)此改善教學方法。通過以上方式，可以培養(yǎng)學生自檢自治的意識和能力，并提高學生數(shù)學解題的正確率。

總之，在高三數(shù)學復習階段，教師要全面考慮學生在解題過程中所遇到的困境，據(jù)此創(chuàng)新習題教學的方法和形式，爭取讓學生在夯實基礎、掌握技巧的同時，形成良好的學習習慣，最終促進學生數(shù)學各方面素養(yǎng)的提升，為學生參加數(shù)學高考提供有力支持。

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本文系福建省教學科學“十三五”規(guī)劃2020年度課題：打數(shù)據(jù)驅動的高中生數(shù)學學習監(jiān)控與精準干預行動研究（課題編號：FJJKKB20-790）系列論文之一