基于分?jǐn)?shù)階理論的鋰離子電池 高頻等效電路模型

吳 健 尹 澤 李 豪 趙 濱 季 巧 孫丙香

（北京交通大學(xué)國(guó)家能源主動(dòng)配電網(wǎng)技術(shù)研發(fā)中心 北京 100044）

0 引言

鋰離子電池由于在能量密度、耐用性和環(huán)境保護(hù)方面的優(yōu)勢(shì)而在汽車(chē)和軌道交通領(lǐng)域中越來(lái)越受歡迎。在實(shí)際應(yīng)用中，鋰離子電池通常與DC-DC變換器連接來(lái)控制能量流動(dòng)，這就會(huì)產(chǎn)生高頻噪聲和電流紋波，使電池在工作時(shí)受到高頻激勵(lì)。因此，需要開(kāi)發(fā)一種新的模型，能夠更好地描述電池的高頻行為，有利于優(yōu)化電力電子電路的控制策略以及無(wú)源元件的設(shè)計(jì)。

常見(jiàn)的電池模型主要有黑箱模型、電化學(xué)模型（Electrochemical Model, EM）和等效電路模型（Equivalent Circuit Model, ECM）。黑箱模型基于機(jī)器學(xué)習(xí)方法，需要大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，但沒(méi)有設(shè)計(jì)明確的模型結(jié)構(gòu)來(lái)模擬電池內(nèi)部的反應(yīng)[1]。電化學(xué)模型是基于電化學(xué)原理建立的，可以從本質(zhì)上反映電池外部特性與內(nèi)部參數(shù)之間的關(guān)系。盡管電化學(xué)模型具有較高的精度，但這些模型存在明顯的缺點(diǎn)：模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜、參數(shù)識(shí)別困難以及運(yùn)算速度低。因此，電化學(xué)模型應(yīng)用于實(shí)際車(chē)輛的電池管理系統(tǒng)（Battery Management System, BMS）中，使用效果并不理想[2-3]。而由理想電氣元件組成的等效電路模型已成功地應(yīng)用于荷電狀態(tài)（State of Charge, SOC）、健康狀態(tài)（State of Health, SOH）和能量狀態(tài)（State of Energy, SOE）的估計(jì)[4-6]。

但是，整數(shù)階等效電路模型不能準(zhǔn)確地描述電池的動(dòng)態(tài)過(guò)程，階數(shù)會(huì)影響其準(zhǔn)確性。具體來(lái)說(shuō)，低階模型精度較低但是計(jì)算量小，高階模型精度較高但是計(jì)算量大，在實(shí)際使用中通常根據(jù)應(yīng)用領(lǐng)域和需求的不同來(lái)選擇使用低階模型還是高階模型。文獻(xiàn)[7]對(duì)常用的整數(shù)階模型進(jìn)行了深入的比較和討論。近年來(lái)，隨著分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用的推廣，越來(lái)越多的學(xué)者將分?jǐn)?shù)階等效模型用于電池的研究。使用分?jǐn)?shù)階阻抗元件，如恒相位元件（Constant Phase Element, CPE）（通常記為Q）和Walberg阻抗可以更準(zhǔn)確地描述鋰離子電池的電化學(xué)過(guò)程，如電荷轉(zhuǎn)移、雙電層效應(yīng)、物質(zhì)轉(zhuǎn)移和擴(kuò)散等，既提高了精度，又有效地解決了模塊過(guò)多引起的計(jì)算復(fù)雜問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]使用包含一個(gè)CPE的分?jǐn)?shù)階模型模擬不同條件下的電壓曲線，結(jié)果表明，它的精度要高于不同階次的整數(shù)階模型。文獻(xiàn)[9]對(duì)幾種不同結(jié)構(gòu)的分?jǐn)?shù)階模型進(jìn)行比較研究，分析了計(jì)算準(zhǔn)確性和計(jì)算負(fù)擔(dān)與模型結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。

然而，很少有研究者去專門(mén)關(guān)注鋰離子電池的高頻響應(yīng)，等效電路中的高頻部分通常由電感L代替[10]，甚至被忽略[11]。也有研究者進(jìn)行了高頻激勵(lì)的阻抗分析，并提出了與歐姆電阻并聯(lián)的電感作為等效電路模型中的高頻部分[12-13]，在這些文獻(xiàn)中為了便于進(jìn)行基于等效電路的仿真使用了整數(shù)階模型，更加關(guān)注鋰離子電池在高頻范圍內(nèi)不同條件下的行為或電流在模型內(nèi)不同支路中的分布，對(duì)于模型的精度沒(méi)有較高的要求。同樣，文獻(xiàn)[14]使用多個(gè)RL和RC串聯(lián)來(lái)建立高頻模型，在時(shí)域和頻域的響應(yīng)上都有著較高的精度，但是模型較為復(fù)雜、計(jì)算量大。也有相關(guān)研究者將典型分?jǐn)?shù)階模型中的整數(shù)階電感L替換為分?jǐn)?shù)階元件，在更高頻率的阻抗響應(yīng)上有著較高的精度[15]，但是沒(méi)有在時(shí)域響應(yīng)上進(jìn)行驗(yàn)證，無(wú)法在實(shí)際中使用。此外，文獻(xiàn)[16-17]通過(guò)建立復(fù)雜傳輸線模型或包含趨膚效應(yīng)的模型來(lái)研究電磁干擾對(duì)電池的影響，其頻率遠(yuǎn)高于電力電子設(shè)備的典型開(kāi)關(guān)頻率，本文不再贅述。

本文基于電化學(xué)阻抗譜（Electrochemical Impe- dance Spectroscopy, EIS）建立了幾種高頻模型，通過(guò)使用分?jǐn)?shù)階模型，在保證模型精度的同時(shí)降低了模型的復(fù)雜度。然后對(duì)幾種模型在時(shí)域上進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，通過(guò)比較其響應(yīng)精度和計(jì)算量，給研究人員提供參考，為鋰離子電池選擇合適的高頻模型。同時(shí)研究發(fā)現(xiàn)，根據(jù)EIS擬合得到的最優(yōu)模型并不一定在時(shí)域擬合中也是最優(yōu)。

1 分?jǐn)?shù)階模型

1.1 電化學(xué)阻抗譜

EIS是研究電池電化學(xué)性能的重要手段，通過(guò)測(cè)量不同頻率響應(yīng)信號(hào)與擾動(dòng)信號(hào)的比值，來(lái)獲得相應(yīng)頻率下的阻抗值。EIS具有以下三個(gè)特點(diǎn)：①電化學(xué)系統(tǒng)受到小幅值正弦信號(hào)的擾動(dòng)，因此電動(dòng)勢(shì)與電流之間存在線性關(guān)系，簡(jiǎn)化了測(cè)量結(jié)果的數(shù)學(xué)處理；②陽(yáng)極和陰極的反應(yīng)過(guò)程在電極上交替發(fā)生，即使測(cè)量時(shí)間較長(zhǎng)，也不會(huì)積累極化，是一種“準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)方法”；③EIS是一種頻域測(cè)試方法，可以測(cè)量較寬的頻率范圍，從而可以獲得比傳統(tǒng)電化學(xué)方法更多的動(dòng)力學(xué)信息和電極界面信息[18]。

一種典型鋰離子電池EIS及其等效電路模型如圖1所示，該圖可分為低頻直線、中頻半橢圓和高頻感性部分三段。一般認(rèn)為，低頻直線與正負(fù)極鋰離子擴(kuò)散動(dòng)力學(xué)有關(guān)，通常用Walberg阻抗（見(jiàn)圖1中ZW）表示；中頻半橢圓與電荷轉(zhuǎn)移反應(yīng)和雙電層電容有關(guān)，通常用電阻與CPE（見(jiàn)圖1中CQ）并聯(lián)表示；高頻感性部分代表電池的電感特性以及測(cè)試電纜和連接裝置帶來(lái)的感性構(gòu)成，通常用電感元件表示[19]。此外，圖中與實(shí)軸相交的部分代表鋰離子電池的歐姆內(nèi)阻。

圖1 一種典型鋰離子電池EIS及其等效電路模型 Fig.1 A typical EIS of lithium-ion battery and its equivalent circuit model

通常根據(jù)EIS建立的模型是不唯一的，通過(guò)對(duì)EIS進(jìn)行擬合來(lái)獲得模型中每個(gè)參數(shù)，并驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。本文采用自適應(yīng)差分進(jìn)化算法進(jìn)行擬合，具有較好的全局收斂性，具體的算法過(guò)程如下[20]：

（1）初始化個(gè)體數(shù)目NP、變量維數(shù)D、最大進(jìn)化代數(shù)G、初始變異算子0F、交叉算子CR和閾值T。

（3）根據(jù)式（1）生成變異種群iv，即

其中

式中，r、u、v為1～NP中隨機(jī)選取的相異整數(shù)；F為自適應(yīng)變異算子。

（4）將在步驟（3）中生成的iv和當(dāng)前的種群K ix進(jìn)行交叉生成交叉種群iu，即

式中，rand為[0, 1]之間的隨機(jī)數(shù)。

（5）對(duì)邊界條件采用在可行域中隨機(jī)產(chǎn)生參數(shù)向量的方式進(jìn)行處理。

（6）計(jì)算步驟（4）中生成的ui的目標(biāo)函數(shù)f(ui)，與原種群的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行“一對(duì)一”選擇操作，若，則ui將代替；否則，將保留到下一代，即

（7）判斷是否滿足終止條件：若滿足，則結(jié)束搜索過(guò)程，輸出優(yōu)化值；若不滿足，則繼續(xù)進(jìn)行迭代優(yōu)化。

用于EIS擬合的目標(biāo)函數(shù)[11]為

其中

式中，wgt為對(duì)數(shù)距離函數(shù)，表示某一頻率下計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的復(fù)合偏差；Zcal和Zexp分別為計(jì)算阻抗和測(cè)量阻抗；a和b分別為對(duì)數(shù)運(yùn)算后結(jié)果的實(shí)部和虛部；w為擬合過(guò)程中相位的權(quán)重大小，默認(rèn)值為2.2；N為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度；Pk為模型中的第k個(gè)參數(shù)。在擬合過(guò)程中的目標(biāo)是使總誤差E最小。與線性加權(quán)相比，運(yùn)用對(duì)數(shù)距離函數(shù)可以更好地適應(yīng)參數(shù)未知的大范圍變化，對(duì)數(shù)的縮放操作也保證了不同量級(jí)參數(shù)的權(quán)重相差不大。

本文研究?jī)?nèi)容為鋰離子電池高頻模型，因此忽略低頻部分，測(cè)量了1Hz～20kHz的中高頻EIS，EIS實(shí)測(cè)值和擬合結(jié)果如圖2所示。針對(duì)高頻部分實(shí)部增加的現(xiàn)象選擇了三種擬合結(jié)果較好的高頻模型，如圖3所示。模型a～模型c簡(jiǎn)稱FOM1～FOM3。圖3中，UOCV為開(kāi)路電壓，LQ為分?jǐn)?shù)階電感，L1、L2為整數(shù)階電感，RL為電感支路并聯(lián)阻抗，R0為歐姆內(nèi)阻，Rct為電荷轉(zhuǎn)移阻抗，CQ為雙電層電容。對(duì)三種模型采用上述方法進(jìn)行擬合后，結(jié)果顯示在圖2內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)值分別為EFOM1=0.002 2，EFOM2=0.002 2，EFOM3=0.002?？梢钥闯觯N模型擬合誤差都很小，其中FOM3擬合結(jié)果最好，F(xiàn)OM1和FOM2擬合結(jié)果幾乎沒(méi)有區(qū)別。

圖2 EIS實(shí)測(cè)值和擬合結(jié)果 Fig.2 EIS measured value and fitting results

圖3 高頻等效模型 Fig.3 High frequency equivalent model

1.2 分?jǐn)?shù)階模型的數(shù)值計(jì)算方法

萊布尼茲在1695年就提出了分?jǐn)?shù)微積分算法，然而直到最近才被研究人員應(yīng)用于工程控制系統(tǒng)、建模和狀態(tài)估計(jì)中。由于分?jǐn)?shù)階算法更適用于模擬包括傳質(zhì)、擴(kuò)散動(dòng)力學(xué)和記憶滯后在內(nèi)的物理化學(xué)系統(tǒng)，因此被用在了鋰離子電池系統(tǒng)的建模中[21]。分?jǐn)?shù)階微積分的連續(xù)微分積分算子定義為

式中，ζ為分?jǐn)?shù)階微積分的階數(shù)；0t和t為積分的下限和上限；τ為積分變量。在分?jǐn)?shù)階算法的眾多定義中，有三種是最常用的，分別為Caputo定義、Riemann-Liouville定義和G-L（Grunwald-Letnikov）定義。G-L定義描述了如何直接離散化連續(xù)分?jǐn)?shù)階方程，更適合于數(shù)值計(jì)算，給定函數(shù)()f t的ζ階導(dǎo)數(shù)的G-L定義為

式中，h為采樣周期；的整數(shù)部分；為牛頓二項(xiàng)式系數(shù)。

以圖3a為例，介紹分?jǐn)?shù)階模型的數(shù)值計(jì)算，電路中分?jǐn)?shù)階元件LQ、CQ的阻抗表達(dá)式分別為

如果電池阻抗可以類似地作為系統(tǒng)傳遞函數(shù)處理，輸入為電流、輸出為開(kāi)路電壓和端電壓之差，則在拉普拉斯域的表達(dá)式為

式中，UO為端電壓。

將式（8）轉(zhuǎn)換到時(shí)域中可以得到，系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階微分方程為

首先定義四個(gè)多維變量α、p、β、q分別為

則式（9）可寫(xiě)成

在本例中，n=1，m=3。計(jì)算順序如圖4所示，為了計(jì)算方便引入了中間變量()u t，然后，根據(jù)式（6）可以得到離散化后模型輸出()y t的數(shù)值解的一般表達(dá)式[22]，即

圖4 計(jì)算順序 Fig.4 Calculation order

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 實(shí)驗(yàn)方案

在本文中，選擇了標(biāo)稱容量為25A·h的鈦酸鋰離子電池作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，鋰離子電池規(guī)格見(jiàn)表1。搭建電池測(cè)試平臺(tái)如圖5所示，實(shí)驗(yàn)設(shè)備包括充電機(jī)（DC-DC）、dSPACE、工控機(jī)（包括PC主機(jī)）。其中，dSPACE只用作DC-DC的閉環(huán)控制，工控機(jī)由于其擴(kuò)展性高，可以插入不同功能的板卡，具有很強(qiáng)的抗干擾能力，所以用作高頻數(shù)據(jù)采集，同時(shí)兼顧主機(jī)功能。為了更精確地觀察電池電壓電流變化的細(xì)節(jié)，工控機(jī)的采樣頻率選擇250kHz。

表1 鋰離子電池規(guī)格 Tab.1 Lithium-ion battery specifications

為了模型的參數(shù)識(shí)別，在25℃的環(huán)境溫度下測(cè)量了不同頻率紋波電流下的電壓響應(yīng)。電池的初始SOC為80%，充放電平均電流為1C，分別在1kHz（紋波幅值為±1C）、2kHz（紋波幅值為±0.5C）和4kHz（紋波幅值為±0.25C）的頻率下進(jìn)行一次20%～ 80%SOC的充放電循環(huán)，由于要觀察不同頻率、相同幅值下的電壓響應(yīng)，在更換DC-DC的電感后再進(jìn)行一次10kHz（紋波幅值為±1C）的充放電循環(huán)。

圖5 電池測(cè)試平臺(tái) Fig.5 Battery test platform

2.2 參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

模型參數(shù)辨識(shí)方法框圖如圖6所示，根據(jù)電池的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)，利用誤差最小原理進(jìn)行辨 識(shí)[23]。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)包括電池在充放電過(guò)程中的電流以及所產(chǎn)生的電壓響應(yīng)，仿真數(shù)據(jù)為通過(guò)輸入電流值得到的模型輸出的電壓，通過(guò)自適應(yīng)差分進(jìn)化算法得到最優(yōu)的模型參數(shù)。

圖6 參數(shù)辨識(shí)方法框圖 Fig.6 Block diagram of parameter identification method

用于分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)辨識(shí)的目標(biāo)函數(shù)為

三種模型在不同頻率下進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)后，不同頻率擬合結(jié)果如圖7所示?？梢钥闯?，在電流換向時(shí)，電池電壓會(huì)產(chǎn)生突變，這體現(xiàn)了電池在高頻電流下的電感特性，然后電壓變化變緩則與電池內(nèi)阻有關(guān)。從擬合結(jié)果來(lái)看，F(xiàn)OM2最接近實(shí)測(cè)值，F(xiàn)OM1和FOM3在電壓緩慢變化階段不能較好地跟隨。

圖7 不同頻率擬合結(jié)果 Fig.7 Fitting results of different frequencies

此外，在參數(shù)辨識(shí)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)FOM2中的分?jǐn)?shù)階元件LQ的階數(shù)大于0.95，在部分頻率下甚至大于0.99，非常接近整數(shù)階元件。因此，將FOM2中的LQ元件替換為整數(shù)階元件L，得到另一種模型(LR)R(RCQ)，簡(jiǎn)稱FOM4，如圖8所示。在不同頻率下對(duì)FOM4重新進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，以1kHz為例，F(xiàn)OM2和FOM4在1kHz下的擬合結(jié)果如圖9所示。可以看出，F(xiàn)OM2與FOM4的擬合結(jié)果非常接近，同時(shí)說(shuō)明為了準(zhǔn)確擬合EIS高頻部分而使用的分?jǐn)?shù)階電感元件并沒(méi)有對(duì)時(shí)域上的擬合精度有較大地提升，這一點(diǎn)在第3節(jié)會(huì)進(jìn)一步論述。

圖8 (LR)R(RCQ)模型 Fig.8 (LR)R(RCQ) model

圖9 FOM2和FOM4在1kHz下的擬合結(jié)果 Fig.9 Fitting results of FOM2 and FOM4 under 1kHz

3 模型比較

3.1 誤差比較

不同模型的誤差見(jiàn)表2。在表2中比較了這三種模型的方均根誤差（Root Mean Square Error, RMSE）和平均絕對(duì)誤差（Mean Absolute Error, MAE）。RMSE是一種常用的度量，用于評(píng)估模型預(yù)測(cè)值與觀測(cè)值之間的差異，RMSE越小，預(yù)測(cè)結(jié)果越準(zhǔn)確。MAE表示預(yù)測(cè)值和觀測(cè)值之間絕對(duì)誤差的平均值，可以更好地反映預(yù)測(cè)值誤差的實(shí)際情況，MAE越小，預(yù)測(cè)結(jié)果越好。從表2中可以得出，F(xiàn)OM2相較于FOM1、FOM3和FOM4，在1kHz下MAE降低了31%、25%和12%，RMSE降低了24%、11%和7%；在2kHz下MAE降低了24%、27%和7%，RMSE降低了22%、15%和4%；在4kHz下MAE降低了18%、?9%和?6%，RMSE降低了15%、?5%和?4%；在10kHz下MAE降低了15%、4%和9%，RMSE降低了9%、2%和5%。可以看出，除了4kHz外，F(xiàn)OM2在四種模型中誤差是最小的，即使在4kHz，F(xiàn)OM2的誤差也只是略大于FOM3和FOM4。

表2 不同模型的誤差 Tab.2 Errors of different models

3.2 計(jì)算量比較

分?jǐn)?shù)階模型的計(jì)算量很大程度上取決于傳遞函數(shù)中分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的數(shù)量，即與分?jǐn)?shù)階元件的數(shù)量和位置有關(guān)。表3為不同模型的計(jì)算量?？梢钥闯?，F(xiàn)OM2和FOM3分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)個(gè)數(shù)最多，計(jì)算量最大，但由于總元件數(shù)不同，導(dǎo)致FOM3需要辨識(shí)的參數(shù)更多，計(jì)算量更大。同樣，F(xiàn)OM1與FOM4相比，F(xiàn)OM4計(jì)算量更大。四種模型的計(jì)算量從小到大依次為FOM1、FOM4、FOM2、FOM3，與實(shí)際仿真得到的結(jié)果相一致。

表3 不同模型的計(jì)算量 Tab.3 Computational load of different models

3.3 結(jié)果分析

從比較結(jié)果可以看出，根據(jù)應(yīng)用領(lǐng)域的不同可以選擇不同的高頻模型，如果對(duì)模型精度要求較高時(shí)可以選擇FOM2，如果對(duì)運(yùn)算速度要求較高時(shí)可以選擇FOM1。此外，從FOM2和FOM4的誤差比較中可以看出，二者的時(shí)域擬合結(jié)果相差并不大，但是EIS的擬合結(jié)果卻有較大差異，用FOM4對(duì)[1Hz, 20kHz]的EIS進(jìn)行擬合后，擬合結(jié)果如圖10a所示，EFOM2=0.002 2，EFOM4=0.007 8。因此，在時(shí)域上對(duì)電池進(jìn)行分?jǐn)?shù)階建模時(shí)，不能忽略EIS與日常使用之間的差異。如果將EIS的測(cè)量頻率范圍增加到100kHz，則這種差異將變得更加明顯，四種模型的擬合結(jié)果如圖10b所示，EFOM1=0.005 5，EFOM2= 0.005 6，EFOM3=0.002 6，EFOM4=0.015 8?？梢钥闯?，只有FOM3擬合結(jié)果較好，其他三種模型都不能較好地跟隨阻抗的變化，這與第2節(jié)時(shí)域擬合的結(jié)果不同。因此，適用于EIS擬合的復(fù)雜模型并不一定在時(shí)域擬合中也是最優(yōu)，在針對(duì)高頻部分進(jìn)行建模時(shí)需要注意這種差異性。

圖10 不同頻率范圍EIS擬合結(jié)果 Fig.10 EIS fitting results in different frequency ranges

4 結(jié)論

本文根據(jù)EIS的擬合結(jié)果選擇了三種分?jǐn)?shù)階等效電路模型來(lái)模擬鋰離子電池在高頻紋波電流下的電壓響應(yīng)，并由此設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)，采集了鋰離子電池在不同頻率電流下的電壓響應(yīng)。然后根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)幾種模型進(jìn)行了參數(shù)辨識(shí)，并根據(jù)辨識(shí)結(jié)果簡(jiǎn)化了FOM2，提出了FOM4。最后從響應(yīng)精度和計(jì)算量?jī)煞矫鎸?duì)幾種模型進(jìn)行比較，其中FOM2的精度最高但是計(jì)算量較大，F(xiàn)OM1的計(jì)算量最小但是精度較低，根據(jù)應(yīng)用領(lǐng)域和使用場(chǎng)景的不同可以進(jìn)行不同的選擇。此外，從FOM2和FOM4的比較結(jié)果中還引申出另一個(gè)結(jié)論，即根據(jù)EIS擬合得到的復(fù)雜分?jǐn)?shù)階模型并不一定在時(shí)域擬合中也能得到最優(yōu)的結(jié)果。

本文只選擇了一種類型的電池進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，可以基于不同材料和類型的電池?cái)?shù)據(jù)來(lái)擴(kuò)展比較。此外，本文僅在短時(shí)間尺度下對(duì)模型進(jìn)行了擬合驗(yàn)證，將來(lái)可以對(duì)整個(gè)充放電循環(huán)進(jìn)行驗(yàn)證，并且估計(jì)鋰離子電池在高頻應(yīng)力下的荷電狀態(tài)。