HPM視角下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)研究
——以等比數(shù)列為例

栗 艷

（首都師范大學(xué)附屬中學(xué) 北京 101149）

一、研究背景

（一）HPM理論簡介

HPM源自于1972年在英國舉行的第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME—2）上成立的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組。HPM關(guān)注的內(nèi)容包括：數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系、多元文化的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)史與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展、數(shù)學(xué)史與發(fā)生教育法、數(shù)學(xué)史與學(xué)生的困難、數(shù)學(xué)原始文獻(xiàn)在教學(xué)中的應(yīng)用等等。HPM研究的最終目的是通過數(shù)學(xué)史的運(yùn)用，提高教育教學(xué)的水平。數(shù)學(xué)教育在學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想、培養(yǎng)學(xué)生的理性思維方面起著重要作用，數(shù)學(xué)史對于認(rèn)識數(shù)學(xué)與自然、數(shù)學(xué)與人類社會的關(guān)系，認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、文化價值方面具有不可替代的作用[1]。在提高數(shù)學(xué)教育的水平方面，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育相輔相成，不可偏廢。

（二）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)簡介

在2017年版的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中凝練了學(xué)科核心素養(yǎng)的概念，各學(xué)科基于學(xué)科本質(zhì)又凝練了本學(xué)科的核心素養(yǎng)，明確了學(xué)生學(xué)習(xí)該學(xué)科課程后應(yīng)達(dá)成的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對獨(dú)立，又相互交融，是一個有機(jī)的整體。

二、等比數(shù)列概念的教學(xué)設(shè)計(jì)片段及設(shè)計(jì)意圖

（一）學(xué)習(xí)內(nèi)容分析

等比數(shù)列是人教版必修5第2章第4節(jié)的知識，其主要內(nèi)容包括等比數(shù)列的概念，等比中項(xiàng)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及這三者的應(yīng)用。這節(jié)課有著承上啟下的作用，“承上”體現(xiàn)在承接了等差數(shù)列的相關(guān)知識和方法，“啟下”體現(xiàn)在等比數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和的探究為其提供了方法和理論基礎(chǔ)。

利用數(shù)列知識的特性，利用等比數(shù)列與等差數(shù)列內(nèi)容和思想方法上的相似性，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)規(guī)律的探究，提高學(xué)生的觀察、分析、猜想、歸納、類比的綜合思維能力，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[2]。

（二）學(xué)生情況分析

學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識，具備了研究特殊數(shù)列的基本思路和方法。在進(jìn)行數(shù)列遞推公式的學(xué)習(xí)時已經(jīng)接觸了“疊加”“疊乘”兩種方法，在等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)時又運(yùn)用了“疊加法”，故通過類比可以順利地完成等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。對于數(shù)列中歸納的思想、方程的思想，在學(xué)習(xí)等差數(shù)列時，學(xué)生已有體會。

（三）教學(xué)目標(biāo)

1.認(rèn)識、理解數(shù)列的等比關(guān)系，歸納等比數(shù)列的概念；

2.類比等差數(shù)列的研究過程，探究等比中項(xiàng)、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；

3.了解古代人的數(shù)學(xué)智慧之美，體會類比、歸納的思想方法研究數(shù)學(xué)問題。

（四）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的概念及等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。

教學(xué)難點(diǎn)：等比數(shù)列概念的形成和理解，通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和證明。

（五）教學(xué)過程

1.問題提出，引入新課

（1）根據(jù)對數(shù)列的理解，請寫出一個數(shù)列，并說明這個數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系特征。

預(yù)設(shè)①：1，3，5，7，9，…

預(yù)設(shè)②：1，1，1，1，1，…

預(yù)設(shè)③：1，-1，1，-1，1，…

預(yù)設(shè)④：1，2，1，2，1，…

預(yù)設(shè)⑤：1，2，4，8，16，…

預(yù)設(shè)⑥：1，3，9，27，81，…

（2）數(shù)學(xué)史中的等比數(shù)列

約公元前2700年，蘇美爾泥版MS3047上已經(jīng)出現(xiàn)了等比數(shù)列。古巴比倫時期的泥版Ist.O3826上載有等比數(shù)列9，92，93，94，…910。我國古代《孫子算經(jīng)》中記載了“出門望堤”問題：“今有出門望見九堤。堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各幾何?！背蓵?3世紀(jì)，由斐波那契所著的《計(jì)算之書》中也記載了類似問題：“7位婦女去羅馬，每個人牽著7匹騾子，每匹騾子負(fù)7只麻袋，每只袋子裝7塊面包，每塊面包配有7把小刀，每把刀配有7個刀鞘，問婦女、騾子、袋子、面包、刀、鞘各多少?！盵3]從上面問題中抽象出等比數(shù)列。

（3）生活中的等比數(shù)列

①閱讀教材P48頁。②列舉生活中等比數(shù)列例子，分小組討論列舉例子的合理性并進(jìn)行分享。

設(shè)計(jì)意圖：從數(shù)學(xué)史的角度詮釋研究等比數(shù)列的必要性，在數(shù)學(xué)史書中的問題抽象出等比數(shù)列，增加學(xué)生的積極性和對古代數(shù)學(xué)智慧的敬畏情緒。從生活中的例子詮釋研究等比數(shù)列的必要性，讓學(xué)生自己舉例，觀察發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，以上教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)有助于完成教學(xué)目標(biāo)1中認(rèn)識、理解數(shù)列中的等比關(guān)系。

2.抽象概括，概念建構(gòu)

3.正反辨析，概念深化

例1 判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列，如果是，求出公比，如果不是，請說明理由。

（2）2，2，2，2，2，…（3）0，1，2，4，8，…

思考：等比數(shù)列的項(xiàng)和公比能否為0？

例2 求出下列等比數(shù)列中的未知項(xiàng)。

（1）2，a，8.

等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫作a與b的等比中項(xiàng)。

思考：a，b的符號有什么特點(diǎn)？你能用a與b表示G嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過正反例的辨析，使學(xué)生感受和理解定義中的意義，深化學(xué)生對“等比”這一本質(zhì)特征的認(rèn)識，并注意因?yàn)椤暗缺取钡淖錾绦?，所以等比?shù)列的項(xiàng)和公比不能為0。

4.類比研究，公式推理

（1）你能寫出該數(shù)列的第5項(xiàng)，第100項(xiàng)嗎？

（2）你是用哪些量來計(jì)算上述數(shù)列的第100項(xiàng)，刻畫數(shù)列的通項(xiàng)公式的？

（3）你又是用什么方法得到通項(xiàng)公式的呢？例3 在等比數(shù)列{an}中，

（1）已知a1=3，q=-2，求a6。

（2）已知a1=1，q=2，an=6，求n。

設(shè)計(jì)意圖：通過問題串的形式指出研究通項(xiàng)公式的合理性和必要性。引導(dǎo)學(xué)生類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法（累加法），類比得到累乘法。類比的思想在“累乘法”的引出時得到了進(jìn)一步強(qiáng)化。在累乘法的推導(dǎo)中還要注意嚴(yán)謹(jǐn)性。

思考：在同一直角坐標(biāo)系中，通項(xiàng)公式為an=2n-1的數(shù)列的圖象和函數(shù)y=2x-1的圖象，體會他們之間的關(guān)系。

趣味辨析：某數(shù)學(xué)家曾言：如果能將一張紙對折38次，就能順著它爬上月球。請課后去算算（紙張厚度以0.07mm為標(biāo)準(zhǔn)），這位科學(xué)家為何敢夸下?？?？

設(shè)計(jì)意圖：體會等比數(shù)學(xué)與指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系，理解數(shù)列是特殊的函數(shù)。

三、教學(xué)反思

（一）把學(xué)習(xí)的主動權(quán)還給學(xué)生

就本課而言，學(xué)生已學(xué)習(xí)了“數(shù)列”和“等差數(shù)列”，對數(shù)列的感性認(rèn)識非常豐富，有了一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。引入一個既開放又具有思想性的問題，能有效推動學(xué)生主動思考，且需每一個學(xué)生都能給出自己的答案。對比體會研究等比數(shù)列的必要性，結(jié)合史實(shí)和生活中的問題詮釋研究等比數(shù)列的必要性。

（二）讓學(xué)生體驗(yàn)系統(tǒng)思維的過程

教學(xué)中以“代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算和運(yùn)算律”為指導(dǎo)思想，類比于實(shí)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，從運(yùn)算的角度引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、認(rèn)識和解決問題，這就是一種系統(tǒng)思維的方式。等差數(shù)列的要素是“作差”和“差相等”，等比數(shù)列的要素是“作比”和“比相等”，前者是“運(yùn)算”后者是“結(jié)果”。當(dāng)然，還有等和、等積數(shù)列，但它們的研究價值不大，這也從側(cè)面論證了研究等差、等比數(shù)列的必要性、合理性。

（三）讓合作學(xué)習(xí)成為課堂教學(xué)的常態(tài)

本節(jié)等比數(shù)列的概念課，老師摒棄傳統(tǒng)的“一個定義，三項(xiàng)注意，馬上解題”的教學(xué)模式，獨(dú)白式的講解很少，而是精心設(shè)計(jì)好一系列的問題串以“小組合作”的形式展開本節(jié)課的教學(xué)。通過“小組合作”的方式，構(gòu)建了“微型學(xué)習(xí)共同體”。