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    利用數(shù)學(xué)課本思考題為學(xué)生思維生長賦能

    2021-10-09 11:55:40江蘇省淮安市外國語實驗小學(xué)孫春育
    青年心理 2021年7期
    關(guān)鍵詞:思考題涂色正方形

    江蘇省淮安市外國語實驗小學(xué) 孫春育

    數(shù)學(xué)課本中編排的思考題思維難度相對較大、挑戰(zhàn)性較強,在培養(yǎng)學(xué)生思維方面具有十分重要的價值,是學(xué)生思維素養(yǎng)培育的重要載體。但經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),大部分教師對思考題的重視程度不足,對如何利用思考題資源培養(yǎng)學(xué)生思維能力關(guān)注不夠,更鮮有教師去研究編者的編寫意圖及其背后蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。鄭毓信在《新數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》一書中指出,與單純強調(diào)“問題解決”相比,我們更應(yīng)該明確提出如下主張:“求取解答并繼續(xù)前進?!卑l(fā)展學(xué)生的思維,教學(xué)不能止步于單一的問題解決,應(yīng)該有更多的思考與嘗試。

    下面,我將以蘇教版五年級數(shù)學(xué)下冊課本R101、R104兩道思考題的教學(xué)為例,談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生的思維能力。

    課本R101思考題(如圖1):圖中正方形的面積是8平方厘米,你能算出涂色部分的面積嗎?

    課本R104思考題(如圖2):圖中正方形的面積是10平方厘米。圓的面積是多少平方厘米?

    圖2

    一、舊題復(fù)習(xí)

    出示五年級數(shù)學(xué)上冊一道練習(xí)題:用35米長的籬笆,在靠墻的地方圍一塊菜地(如圖3),高是10米。這塊菜地的面積是多少平方米?

    圖3

    學(xué)生思考片刻給出答案:(35-10)×10÷2=125m2。筆者質(zhì)疑:梯形的面積=(上底+下底)×高÷2,不知道上、下底分別是多少怎么計算面積?學(xué)生釋疑:知道上、下底的和可以直接求面積。

    很顯然,學(xué)生們在解題中已經(jīng)突破了思維定式,學(xué)會換角度整體思考解決問題了。

    二、新題教學(xué)

    出示課本R101思考題(如圖1):圖中正方形的面積是8平方厘米,你能算出涂色部分的面積嗎?

    涂色部分面積是圓面積的四分之三,要求涂色部分的面積就要先求圓的面積,怎樣求圓的面積?學(xué)生眉頭緊鎖,陷入沉思。我不慌不忙,請學(xué)生談?wù)劺Щ?。學(xué)生紛紛表示:一般情況下,求圓的面積必須知道圓的半徑,但這里只知道正方形的面積,不知道圓的半徑所以圓的面積不好求。筆者緊抓這一沖突點,進一步引導(dǎo):“在剛才的準(zhǔn)備題中,不知道梯形的上、下底,但是可以根據(jù)已知條件求出上、下底的和,想一想,這樣的思考方法能給你什么啟發(fā)?聯(lián)系已知條件,你有什么發(fā)現(xiàn)?”此時,一學(xué)生豁然開朗,思路泉涌:“老師,我知道了,因為圓的面積公式是S=πr2,而圓的半徑是正方形的邊長,所以正方形的面積就表示成r2,也就是說r2=8,那么圓的面積就是π×8=8π(cm2)。”

    當(dāng)學(xué)生思維的火花被點燃,盛放的那一刻一定是絢爛奪目的。我總結(jié):“同學(xué)們,知道半徑的平方,可以直接代入計算圓的面積,這就是整體思考,當(dāng)我們思考問題思路受阻時不妨換個方向,往往會收獲意想不到的精彩?!?/p>

    三、變式練習(xí)

    題1:已知陰影部分的面積等于8平方厘米,求圓環(huán)的面積(如圖4、圖5)。

    題目出示后不少學(xué)生已經(jīng)在草稿紙上快速地算起來,不一會兒,許多雙手齊齊地舉了起來。一學(xué)生:“受剛才那道思考題的啟發(fā),這道題雖然不知道內(nèi)外圓的半徑,但結(jié)合已知條件我想到,陰影部分的面積就是大正方形面積減去小正方形面積,而大正方形的邊長是外圓的半徑,小正方形的邊長是內(nèi)圓的半徑,陰影部分的面積等于8平方厘米,也就是說R2-r2=8,那么S環(huán)=π(R2-r2)=8π(cm)2?!背鍪緢D5后,我已經(jīng)無須多做講解,學(xué)生就已能用舉一反三的類比遷移能力很好地解決問題。

    題2:已知正方形的面積是10平方厘米,求圓的面積(如圖6)。

    圖6

    學(xué)生的想法基本一致,都是先將大正方形等分成四個小正方形,列式為10÷4×π=2.5π(cm)2,即先求出一個小正方形的面積,再乘π,就算出了圓的面積。在前兩題探究的基礎(chǔ)上,學(xué)生解答這個問題已經(jīng)非常熟練,思維變得更加靈活。

    四、探究規(guī)律

    (一)歸納發(fā)現(xiàn)

    提問:你能算出這個(圖6)圓的面積與它外面最小的正方形面積之間的關(guān)系嗎?學(xué)生很快給出答案:圓的面積是正方形面積的π/4。我繼續(xù)追問:如果正方形的面積是12平方厘米、15平方厘米呢?學(xué)生計算發(fā)現(xiàn):圓的面積都是正方形面積的π/4。此時學(xué)生的好奇心被激發(fā),竟主動探究起來,最后得出結(jié)論:“方中圓”圖形中圓的面積始終是正方形面積的π/4。在師生的共同研究下,運用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)解釋了這一結(jié)論。

    (二)適度延伸

    出示課本P96第13題的三個圖,并做適當(dāng)改編(如圖7)。

    圖7

    學(xué)生經(jīng)引導(dǎo)比較發(fā)現(xiàn):長方形與其內(nèi)部最大的半圓以及正方形與里面最大的扇形面積之間的關(guān)系與“方中圓”圖形中的關(guān)系完全相同。

    五、類比發(fā)散

    出示課本R104思考題:圖中正方形的面積是10平方厘米。圓的面積是多少平方厘米(如圖2)?

    學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn):這道思考題與變式題2比較,條件和問題完全相同,只是圖形中正方形與圓的位置發(fā)生了變化。我適時點撥:“在上題中,將大正方形等分成四個小正方形,是因為小正方形的邊長就是圓的半徑,那么這道題怎樣將正方形和圓的半徑建立聯(lián)系?是否可以換一種等分的方法?”在筆者的啟發(fā)下,學(xué)生通過小組討論,得到兩種方法:一是10÷4=2.5(cm)2先算出一個小三角形的面積,再乘2得到半徑的平方,最后乘π即可(如圖8①);二是將相鄰的兩個小三角形拼成一個正方形,這樣就將它轉(zhuǎn)化成了與第一道思考題相同的圖形(如圖8②)。筆者繼續(xù)啟發(fā):“在解決‘方中圓’問題時我們發(fā)現(xiàn),圓的面積始終是正方形面積的π/4,那像這樣的‘圓中方’問題會不會也存在類似的規(guī)律?”

    圖8①

    圖8②

    一石激起千層浪,學(xué)生的探究欲望被再次激起。伴隨著這個問題的解決,課堂被推向高潮,學(xué)生們不禁感嘆:“數(shù)學(xué)真好玩!數(shù)學(xué)真有意思!”

    六、擴展規(guī)律

    如果將“方中圓”和“圓中方”兩個圖形合并,會形成什么圖形?學(xué)生嘗試得出兩種圖形,即圖9①和圖9②,那么,這時候圖9①中的兩個正方形和圖9②中的兩個圓的面積又存在著怎樣的關(guān)系呢?在我的引導(dǎo)下,學(xué)生運用賦值法探究出了規(guī)律。

    圖9①

    圖9②

    發(fā)展學(xué)生思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)之一,也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要手段。以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維為核心組織課堂教學(xué)活動,培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì),不斷提升學(xué)生的思維能力,已成為數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然追求。

    總之,教師應(yīng)以數(shù)學(xué)課本思考題資源為載體,抓住本質(zhì),尋求變化,關(guān)注聯(lián)系,重視推廣,引發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí),促進學(xué)生的思維向下扎根、向上生長。

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