“運算定律總復(fù)習(xí)”中的化解疑問教學(xué)

吳培鋼 顧佳旭

【摘 ? 要】在“運算定律總復(fù)習(xí)”教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于教材編排中為何只復(fù)習(xí)加法和乘法的五條運算定律，而不復(fù)習(xí)減法和除法的相關(guān)運算性質(zhì)心存疑問。要解決這個疑問，首先要幫助學(xué)生對“運算定律”和“運算性質(zhì)”有深刻的理解，找到兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，然后借助乘法運算定律和除法運算性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生通過探究明白其中的道理，進(jìn)而聯(lián)想加法運算定律和減法運算性質(zhì)的聯(lián)系，實現(xiàn)疑問的化解。

【關(guān)鍵詞】運算定律;運算性質(zhì);總復(fù)習(xí);學(xué)生疑問;化解疑問

運算定律是小學(xué)計算教學(xué)中的一個重要內(nèi)容，是簡便計算的依據(jù)。“運算定律總復(fù)習(xí)”時要對小學(xué)階段學(xué)過的運算定律進(jìn)行系統(tǒng)的回顧與整理，同時就一些典型的簡便計算進(jìn)行復(fù)習(xí)。各版本教材在編排“運算定律總復(fù)習(xí)”這一內(nèi)容時，都是只復(fù)習(xí)加法和乘法中五條運算定律的名稱和字母公式，不涉及減法和除法，而在編排“簡便計算總復(fù)習(xí)”時，卻涵蓋了加、減、乘、除四種運算。面對這樣的運算定律總復(fù)習(xí)，學(xué)生會有什么疑問？帶著這樣的思考，課題組開展了實踐研究。

一、問卷設(shè)計與意圖解讀

本次研究問卷設(shè)計如下。

1.下面這張表格是用來復(fù)習(xí)小學(xué)階段學(xué)過的運算定律的。請你把表格填完整。

[名稱 舉例 用字母表示 加法交換律 15+28=28+15 a+b=b+a 加法結(jié)合律 乘法交換律 乘法結(jié)合律 乘法分配律 ]

2.請仔細(xì)觀察上表，認(rèn)真地想一想，你有沒有什么疑問？如果有，請大膽地寫下來！

題1將人教版教材中關(guān)于運算定律總復(fù)習(xí)的表格直接呈現(xiàn)給學(xué)生，并明確提示這是用來復(fù)習(xí)小學(xué)階段學(xué)過的運算定律的。本題的測試目的是喚起學(xué)生對于運算定律的已有認(rèn)識，同時用題目告訴學(xué)生小學(xué)階段學(xué)過的運算定律都在表格中了。題2進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考表格中的運算定律，檢測學(xué)生是否對運算定律中沒有出現(xiàn)減法和除法存在疑問。

二、測試分析與疑問確定

（一）測試分析

測試在2所城鎮(zhèn)小學(xué)和2所農(nóng)村小學(xué)開展，每所學(xué)校各選擇1個班，共計155人。通過對學(xué)生寫下的疑問進(jìn)行分類歸并發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對上述這樣的運算定律總復(fù)習(xí)有10多種不同的疑問，如“運算定律一共有多少種”“運算定律有什么共同點”等等。并確實發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于運算定律中沒有減法和除法存在疑問，且是所有疑問中最突出的，相關(guān)測試數(shù)據(jù)如表1、表2所示。

（二）疑問確定

結(jié)合前測數(shù)據(jù)與現(xiàn)場對部分學(xué)生的訪談可知，學(xué)生對于運算定律中沒有出現(xiàn)減法和除法的疑問，是基于自己所學(xué)與現(xiàn)在的復(fù)習(xí)進(jìn)行對比之后產(chǎn)生的，是深刻思考的結(jié)果。故可將此確定為學(xué)生的疑問。

三、疑問分析與“化疑”實施

（一）疑問分析

1.教學(xué)價值分析

小學(xué)階段一共教學(xué)了加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律和乘法分配律五條運算定律，這五條運算定律被譽為“數(shù)學(xué)大廈的基石”。除此之外，在小學(xué)的簡便計算過程中，還經(jīng)常用到諸如a-b-c = a-（b+c）和a÷b÷c= a÷（b×c）這樣的運算規(guī)律。教學(xué)中為了方便理解，很多教師給出減法性質(zhì)和除法性質(zhì)的名稱。不過，也有教師對此有意見，因為教材上是沒有這樣的名稱的，不知道這樣可不可以。

為了弄清楚這個問題，課題組查閱了《數(shù)學(xué)辭?！?，發(fā)現(xiàn)這樣的名稱是可以的。如《數(shù)學(xué)辭?！分杏幸粋€詞條是“除法的性質(zhì)”，其中的第一種便是“一個數(shù)除以兩個數(shù)的積，等于這個數(shù)依次除以積的兩個數(shù)”，這不就是a÷b÷c= a÷（b×c）的逆運用嗎？即a÷（b×c）=a÷b÷c。另外，人教版《教師教學(xué)用書》四年級下冊在“運算定律”單元的解讀中也有這樣的表述，“研究數(shù)的運算，在給出運算的定義之后，最主要的基礎(chǔ)工作就是研究該運算的性質(zhì)”（P44），“‘做一做第1題是對‘連續(xù)減去兩個數(shù)，可以減去這兩個數(shù)的和的性質(zhì)的形式認(rèn)知”（P51）。

確認(rèn)了“減法性質(zhì)”和“除法性質(zhì)”這樣的名稱是可以的，是不是就能解決學(xué)生的疑問呢？還不行，因為這又會引出一個新的問題：為什么加法和乘法中的叫“運算定律”，而減法和除法中的卻叫“運算性質(zhì)”？只有解決了這個問題，才能深度解決學(xué)生的疑問。那么，這到底是為什么呢？

以除法為例，首先，它的性質(zhì)表現(xiàn)為多種形式，除了a÷（b×c）=a÷b÷c，還有a÷（b÷c）=a÷b×c、a÷b÷c=a÷c÷b等。因此，所謂的除法性質(zhì)，實則為除法運算中一些恒等變形現(xiàn)象的總稱，不像加法和乘法的運算定律那么唯一（在運算的各種性質(zhì)中，最基本的幾條性質(zhì)，通常稱為“運算定律”——人教版《教師教學(xué)用書》P44）;其次，仔細(xì)觀察這些除法性質(zhì)不難發(fā)現(xiàn)，其中涉及的運算都不是純粹的除法，還有乘法，不像加法和乘法中的運算定律那樣單一、清晰（乘法分配律完整的講法是乘法對加法的分配律）;最后，除法性質(zhì)中的一些規(guī)律，在小學(xué)的實際教學(xué)中常常會有一些貼切的“土名稱”，如a×b÷c=a÷c×b被稱為“帶符號搬家”，這個名稱與“交換律”有點雷同。仔細(xì)分析就會發(fā)現(xiàn)，這確實可理解為是同一種情況，因為除法可以轉(zhuǎn)化成乘法，如a×b÷c=a÷c×b，如果用乘法表示即a×b×[1/c]=a×[1/c]×b，可見“帶符號搬家”的本質(zhì)就是“交換律”的運用。這就是說，除法中的性質(zhì)可以用乘法的運算定律來解釋，甚至可以理解為乘法運算定律的另一種表現(xiàn)形式而已（初中起，小學(xué)階段的除法式子都可以轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)形式）。既然這樣，就不需要再對除法中的某一個運算規(guī)律獨立命名了，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)追求的簡潔性。除法如此，減法亦如此（初中起學(xué)習(xí)正負(fù)數(shù)運算之后，減法都可以轉(zhuǎn)換成加法）。

因此，教材不給出“減法性質(zhì)”和“除法性質(zhì)”這樣的名稱，“運算定律總復(fù)習(xí)”時只聚焦加法和乘法，背后是有其數(shù)學(xué)道理的。

由此可見，如果引導(dǎo)學(xué)生理解了上述道理，就可以加深他們對運算定律的認(rèn)識。這一點，在學(xué)生之前的學(xué)習(xí)中是不涉及的，在學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)中也很難再被提及。因此在六年級“運算定律總復(fù)習(xí)”時化解“為什么運算定律中沒有減法和除法”這個疑問具有重要的教學(xué)價值。

2.可行性分析

“為什么運算定律中沒有減法和除法”這個疑問能否在六年級的課堂上化解呢？實踐發(fā)現(xiàn)，這有一定的難度，但總體是可行的。

有一定的難度，主要是因為小學(xué)生沒有學(xué)習(xí)過負(fù)數(shù)的運算，除法中的一些性質(zhì)用乘法運算定律來解釋也有一定的麻煩，這給化解疑問帶來了困難。總體是可行的，主要是指學(xué)生已經(jīng)具備了將除法轉(zhuǎn)化成乘法的能力，因此對于像“帶符號搬家”等相對簡單的除法性質(zhì)，學(xué)生可以憑借自己的能力用乘法運算定律來解釋。

由此形成了化解這一疑問的設(shè)想：先暴露學(xué)生的疑問，然后聚焦“運算定律”和“運算性質(zhì)”這兩個名稱，以簡單的除法性質(zhì)為例，引導(dǎo)學(xué)生自己用乘法運算定律進(jìn)行解釋，逐漸拓展到比較復(fù)雜的除法性質(zhì)，進(jìn)而聯(lián)想到減法也是這樣的道理，從而化解疑問。

（二）“化疑”實施

考慮到很多教師在教學(xué)中給出了減法性質(zhì)和除法性質(zhì)這樣的名稱，因此化解疑問過程中將此作為一種常態(tài)現(xiàn)象來看待，即在引導(dǎo)學(xué)生提出“為什么運算定律沒有減法和除法”之后，跟進(jìn)呈現(xiàn)減法性質(zhì)和除法性質(zhì)，之后聚焦“運算定律”和“運算性質(zhì)”，展開“為什么名稱不一樣”的討論。

師：今天我們一起來進(jìn)行運算定律的總復(fù)習(xí)?；貞浺幌拢覀儗W(xué)過哪些運算定律？

學(xué)生回答加法和乘法中的五條運算定律，教師依次板書，得出字母表達(dá)式。

師：這就是我們學(xué)過的五條運算定律。來，仔細(xì)看一下黑板，想一想，你心里有沒有什么疑問？

生：為什么沒有減法和除法？

師：真的，好奇怪！運算定律中竟然沒有減法和除法，你們心里有這樣的疑問嗎？

生（齊）：有！

師：這是什么原因呢？

生：因為減法中的叫減法性質(zhì)，除法中的叫除法性質(zhì)。

師：有減法性質(zhì)和除法性質(zhì)嗎？

學(xué)生回答有的，于是教師板書這兩個名稱，并得出a-b-c=a-（b+c）和a÷b÷c=a÷（b×c）這兩條性質(zhì)，進(jìn)一步引導(dǎo)得出a-b-c=a-c-b和a÷b÷c=a÷c÷b這兩條性質(zhì)。

師：現(xiàn)在請大家再來仔細(xì)觀察黑板，想一想，此時你的心里有沒有新的疑問產(chǎn)生呢？

生：為什么加法和乘法是“律”，而減法和除法是“性質(zhì)”？

師：他的疑問你們聽懂了沒有？

學(xué)生紛紛表示聽懂了。教師在“律”和“性質(zhì)”下面畫線，并用紅色粉筆在旁邊寫了一個大大的“？”，以此引導(dǎo)所有學(xué)生直觀看到這個疑問，之后用掌聲表揚提出這個疑問的學(xué)生。

師：有誰知道為什么這些名稱會不一樣？

面對這個疑問，學(xué)生自然無人知曉。

師：老師告訴大家，你們的這個疑問可有意義了。因為在這個疑問里面，藏著運算定律和運算性質(zhì)的重要聯(lián)系。接下來我們就一起來研究一下。我們來看a÷b÷c=a÷c÷b，這條除法性質(zhì)和前面的某條運算定律有著密切的聯(lián)系，你們能不能看出來？

這個提醒一下子讓很多學(xué)生舉手了。

生：我覺得和乘法交換律有聯(lián)系，因為除法可以轉(zhuǎn)換成乘法。

師：是嗎？我們試試看。

師生交流，教師板書：a×[1/b]×[1/c]，a×[1/c]×[1/b]。

師：你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生（齊）：就是乘法交換律。

師：真的就是乘法交換律（在兩個式子中間寫上“=”號）。將除法轉(zhuǎn)化成乘法，這條除法性質(zhì)可以用乘法交換律來解釋（在黑板上用箭頭示意）。那么，除法的這條性質(zhì)a÷b÷c=a÷（b×c），會不會也和前面的某條運算定律有聯(lián)系呢？

學(xué)生議論紛紛。教師組織學(xué)生先獨立思考，再同桌交流，并提議可以把自己的想法像黑板上這樣寫一寫。待學(xué)生討論得差不多了，組織反饋。

生：a×[1/b]×[1/c]= a×（[1/b]×[1/c]）。

師：老師幫你寫下來。你覺得和哪條運算定律有聯(lián)系？

生：和乘法結(jié)合律有聯(lián)系。

師：這也就是說，你們現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)，這條除法性質(zhì)是可以用乘法結(jié)合律來解釋的，是嗎？老師現(xiàn)在有個問題，前面這樣轉(zhuǎn)換我看得懂，但后面a÷（b×c）轉(zhuǎn)換成a×（[1/b]×[1/c]）我有點看不懂了。

教師話音剛落，一些學(xué)生馬上舉手了。

生：把（b×c）看成一個整體，那么a÷（b×c）= a×1/（b×c）。把括號里的算出來，a×（[1/b]×[1/c]）= a×1/（b×c），是一樣的。

教師結(jié)合學(xué)生的說法，在黑板上跟進(jìn)板書，和全班學(xué)生一起再次理解。

師：如此看來，這條除法性質(zhì)，確實可以用乘法結(jié)合律來解釋（在黑板上用箭頭示意）。

師：除法性質(zhì)我們用乘法的運算定律解釋了，那么減法性質(zhì)怎么解釋呢？

學(xué)生說可以用加法的運算定律來解釋。

師：你們的猜想完全正確。等大家到了初中，學(xué)習(xí)了正數(shù)和負(fù)數(shù)的運算之后就會發(fā)現(xiàn)，減法性質(zhì)就可以用加法的運算定律來解釋。既然這樣，這些運算性質(zhì)就不用再單獨給運算定律的名稱了，而是統(tǒng)稱為減法性質(zhì)和除法性質(zhì)。

……

至此，本課化解疑問的教學(xué)完成。后續(xù)，可讓學(xué)生根據(jù)所學(xué)，列舉出一些不同的減法性質(zhì)和除法性質(zhì)的題目，進(jìn)一步感受運算性質(zhì)的多樣性和運算定律的唯一性、基礎(chǔ)性。

（浙江省海鹽縣天寧小學(xué) ? 314300）