跨越數(shù)形

吳安

摘要：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系（數(shù)）與空間形式（形）的學(xué)科，聚焦于數(shù)和形有效的統(tǒng)一。以數(shù)論形，形有數(shù)時更入微，讓數(shù)的量化研究形的直觀;以形表數(shù)，數(shù)有形時析本質(zhì)，讓形的表象具化數(shù)的精確;數(shù)形結(jié)合，實現(xiàn)數(shù)的可視化和形的數(shù)量化，形數(shù)互聯(lián)提思維。

關(guān)鍵詞：以數(shù)論形 以形表數(shù) 數(shù)形互聯(lián) 持續(xù)發(fā)展

引言

雖然數(shù)形結(jié)合思想是小學(xué)階段學(xué)習(xí)中最常用的數(shù)學(xué)思想之一，但是實際教學(xué)中，教師更偏重以形解數(shù)，即基于幾何直觀，利用圖示等直觀的特性，探究已知條件和問題之間的數(shù)量關(guān)系，輔助解決實際問題。而圖形現(xiàn)象算法化，數(shù)形結(jié)合相印證的課堂實踐相對甚少，《分數(shù)乘分數(shù)》一課是一個很好的載體，本文試圖從數(shù)形結(jié)合角度出發(fā)，從以數(shù)論形、以形表數(shù)和數(shù)形結(jié)合三方面對《分數(shù)乘分數(shù)》一課進行解析和架構(gòu)，探索數(shù)形結(jié)合思想在課堂教學(xué)中的實踐與應(yīng)用。

一、以數(shù)論形，形有數(shù)時更入微

數(shù)學(xué)抽象于現(xiàn)實世界，對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能不斷完善學(xué)生已有認知的知識結(jié)構(gòu)體系，因此我們的數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)具有抽象性、關(guān)聯(lián)性及延展性。開展《分數(shù)乘分數(shù)》教學(xué)的基礎(chǔ)是學(xué)生已經(jīng)掌握分數(shù)與涂色表示的一一對應(yīng)關(guān)系以及求一個數(shù)的幾分之幾是多少可以用乘法計算等，為實現(xiàn)從靜態(tài)觀察到動態(tài)生成，突出分數(shù)乘分數(shù)產(chǎn)生的過程，展示思維思考層次。教學(xué)從一張紙的二分之一展開，“你想到哪個分數(shù)，為什么？”接著再出示涂色二分之一的四分之一（圖1）。

讓學(xué)生想想這時候又該用哪個分數(shù)表示，有的學(xué)生說是四分之一，有的學(xué)生說是八分之一。此時產(chǎn)生認知沖突，引發(fā)思考：同一個涂色部分為什么會用兩個分數(shù)表示，這兩個分數(shù)之間有什么聯(lián)系？學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)單位“1”不同，長方形二分之一的四分之一就是這個長方形的八分之一，繼而記錄二分之一的四分之一是八分之一;帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷圖形產(chǎn)生的過程之后，出示第二幅圖（圖2）。

這時候的涂色部分可以用哪些分數(shù)表示，它們之間有什么聯(lián)系？得出二分之一的四分之三是八分之三;接著讓學(xué)生通過圖形分析的含義列出算式，認識到從簡單的涂色開始研究出新的分數(shù)乘分數(shù)的內(nèi)容，也讓學(xué)生感受到以數(shù)論形可以讓圖形呈現(xiàn)的信息更細致，促進學(xué)生感知知識產(chǎn)生過程，架構(gòu)分數(shù)乘分數(shù)的概念本質(zhì)，接著出示（圖3）。

讓學(xué)生再來說說這幅圖表示什么意思。算式呢？交流明白五分之三的四分之三是二十分之九，即五分之三乘四分之三等于二十分之九。相較于前面的分法，這個稍有難度，只為進一步提高學(xué)生以數(shù)論圖的能力。

當回顧前面看圖、識圖的過程，提問今天學(xué)習(xí)分數(shù)及涂色表示和以前學(xué)習(xí)的分數(shù)有什么不同時，學(xué)生經(jīng)歷由扶到放，能夠明白這其中還蘊含著分數(shù)乘分數(shù)的計算，也能切實感受到分數(shù)乘分數(shù)的本質(zhì)其實就是“先分——先取——再分——再取”的過程。從圖形的表象描述到數(shù)據(jù)的深入刻畫，相信能夠?qū)驅(qū)W生看形思數(shù)的思考方式，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成基于圖形視覺感知的過程領(lǐng)悟數(shù)量關(guān)系的能力。

二、以形表數(shù)，數(shù)有形時析本質(zhì)

數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)不僅僅是知識的傳授，還有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的獲取，從現(xiàn)象的感知到本質(zhì)的探究是學(xué)習(xí)和認知向更高層次發(fā)展的過程，也是學(xué)生規(guī)律探究、結(jié)論生成、模型建構(gòu)的漸進過程。通過前面以數(shù)論形的先見，根據(jù)已有經(jīng)驗或觀察、或思考，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)分數(shù)乘分數(shù)的算法是分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。但這只是表象的猜想，事實是否如此，我們需要進一步的驗證，出示書本例子（圖4）。

三分之二分別乘五分之一和五分之四表示什么意思？它們的結(jié)果是多少？你能通過畫圖驗證嗎？在開放的情境中自主探究數(shù)的運算與圖示表征之間的關(guān)系，在“發(fā)現(xiàn)問題——提出猜想——舉例驗證——得出結(jié)論”的過程中，學(xué)生不僅能習(xí)得基礎(chǔ)知識，還能獲取數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本技能;此時追問：分數(shù)的分子相乘和分母相乘的積的結(jié)果表示什么？你能在圖中指一指嗎？（圖5）

以形表數(shù)，從數(shù)據(jù)的運算到圖形的表征，學(xué)生不僅能在探究的過程中明晰分數(shù)乘分數(shù)的算法，也能明白這樣算的道理，即“先分——先取——再分——再取”的認知現(xiàn)象到“一分再分的積就是分母，一取再取的積即分子”算理的概念本質(zhì);也知道遇到問題如何思考，如何利用不完全歸納方法從表象抵達結(jié)論的實踐。在教學(xué)中不斷積累探究數(shù)學(xué)規(guī)律的基本活動經(jīng)驗，也不斷促使學(xué)生挖掘結(jié)論背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

三、數(shù)形結(jié)合，形數(shù)互聯(lián)提思維

數(shù)形結(jié)合，實際上是以數(shù)論形、以形表數(shù)、形數(shù)互聯(lián)的緊密融合。這要求教師在教學(xué)過程中不斷引導(dǎo)與滲透，啟發(fā)學(xué)生由形的直觀關(guān)聯(lián)數(shù)的抽象，由數(shù)的抽象聯(lián)想形的直觀，使學(xué)生在探究中實現(xiàn)數(shù)形互化、相互映襯的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思考能力的提升。

當探究分數(shù)乘分數(shù)的算法和算理之后，繼而進行相應(yīng)的練習(xí)，出示練一練（圖6），看圖說說算式的意思，并說說可以怎樣計算。而后追問：在圖中，分子相乘和分母相乘表示什么？你能在圖中指一指嗎？

聚焦于第2個算式，首先關(guān)注計算，比較一下，這個計算和前面遇到的分數(shù)乘分數(shù)有什么不一樣的地方？我們計算時需要注意什么呢？建構(gòu)和分數(shù)乘整數(shù)知識計算法則的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)實際上我們可以先約分再計算，這樣更簡便;再次關(guān)注圖形，這里的得數(shù)是十分之三，你還能在圖中找出十分之三嗎？約分計算和圖示之間有什么變化？前面學(xué)生已經(jīng)很好地掌握數(shù)的運算和圖示表征算理之間的關(guān)聯(lián)，但又遇含有約分的新情境，在辨析、對比中進一步感悟分數(shù)乘分數(shù)的運算、約分及算理之間的聯(lián)系。至此，學(xué)生已經(jīng)完全掌握分數(shù)乘分數(shù)的算法和算理;接著再出示試一試第1題，你能先約分再計算嗎？試著算一算。匯報交流之后，追問：想一想，若是畫圖又該是怎樣的？約分的過程呢？學(xué)生或畫圖嘗試、或想象建構(gòu)、或自由討論，最后出示圖示過程，尤其是第二個計算中進行兩次約分過程（圖7），約分的3乘4，即是12。再次進一步鞏固算法、約分和算理之間的連接，讓學(xué)生在不斷深入中深度思考。

出示試一試第2題，前面學(xué)習(xí)的是分數(shù)乘整數(shù)，我們知道整數(shù)是特殊的分母為1的分數(shù)，你能用分數(shù)乘分數(shù)的方法計算下面各題嗎？在計算之后交流分數(shù)與分數(shù)相乘與分數(shù)與整數(shù)相乘之間的聯(lián)系，適時追問十一分之二乘三用畫圖表示是怎樣的？和分數(shù)乘分數(shù)之間有什么不一樣？（圖8）

讓學(xué)生在對比中發(fā)現(xiàn)分數(shù)乘分數(shù)和分數(shù)乘整數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系，構(gòu)建從特殊的分數(shù)乘整數(shù)到一般的分數(shù)相乘相關(guān)聯(lián)的知識結(jié)構(gòu)體系。

以上教學(xué)設(shè)計雖主要針對分數(shù)乘分數(shù)的計算，但是關(guān)注的重點不僅僅是計算，更關(guān)注通過算法和算理之間的互通有無，有涉及約分的深入思考，有牽涉與整數(shù)相乘的區(qū)別的辨析。通過數(shù)形互化、形數(shù)結(jié)合，在教學(xué)實踐中不斷嘗試和滲透，相信能夠切實提升學(xué)生的高階思維水平。

如何讓學(xué)生積累基本活動經(jīng)驗，感受數(shù)學(xué)基本思想，如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)……不管還有哪些，一定是在一節(jié)節(jié)課堂中落地，這必將是一個長期的循序漸進的過程，本節(jié)課就是朝著這樣的方向思考與踐行的。課程標準中關(guān)于運算能力提出能正確運算、能理解算理并能簡潔解決問題等三方面要求。可見會算只是基礎(chǔ)，我們需要在教學(xué)實踐中充分挖掘知識背后的方法與思想，而經(jīng)歷探究知識產(chǎn)生的過程，獲得探究問題的思考方式就是這節(jié)課需要積累的數(shù)學(xué)經(jīng)驗的學(xué)習(xí)路徑，數(shù)形結(jié)合的互通互聯(lián)就是我們需要關(guān)注的數(shù)學(xué)思想。相信只有在一節(jié)節(jié)多角度、多維度、多深度的課的思索中，才能讓學(xué)生形成持續(xù)發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。