基于ARMA模型的股票價格的分析及預(yù)測

王 瑩

（上海工程技術(shù)大學(xué) 管理學(xué)院，上海 201620）

一、引言

一直以來，股票市場在金融領(lǐng)域中有著舉足輕重的地位。股票價格的波動能夠在一定程度上反映一個國家經(jīng)濟周期的變化。尤其作為權(quán)重股的銀行股，其價格波動對于整個股市的變化趨勢有著重要的影響[1]。而股票價格往往對時間因素非常敏感，所以建立時間序列模型能夠有效地對股票價格進行分析及預(yù)測[2]。常用的時間序列預(yù)測方法有自回歸（AR）模型、移動平均（MA）模型和自回歸移動平均（ARMA）模型[3]。本文將運用ARMA模型對中國銀行股票開盤價歷史數(shù)據(jù)進行擬合分析，并對未來三天的開盤價進行預(yù)測。

二、模型的介紹及建模步驟

（一）ARMA模型的介紹

ARMA模型是由AR自回歸過程和MA移動平均過程組成的自回歸移動平均模型，是時間序列分析模型的一種，其基本思想是通過揭示歷史時間序列的運行規(guī)律，從而對未來的事物發(fā)展進行預(yù)測。在ARMA（p，q）模型中，p為自回歸階數(shù)，q為移動平均階數(shù)。

一般的ARMA（p，q）模型的形式可以表示為：

式（1）中，{εt}是白噪聲序列，AR和MA模型都是特殊的ARMA（p，q）模型，當(dāng)p=0 時，ARMA（0，q）就是MA（q）；當(dāng)q=0 時，ARMA（p，0）就是AR（p）。當(dāng)時間序列不平穩(wěn)時，不能直接運用ARMA模型，而是需經(jīng)過差分或取對數(shù)等處理后，形成一個新的平穩(wěn)的時間序列[4]。

對于非平穩(wěn)時間序列，可以擬合模型ARIMA（p，d，q），其方程式如下：

其中：d為差分階數(shù)；

B為滯后算子；

特別地，當(dāng)d=0 時，ARIMA模型就是ARIMA模型。

（二）ARMA模型的定階方法

ARMA模型的定階方法主要是通過觀察自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖，根據(jù)其系數(shù)的相關(guān)特性來判斷階數(shù)。若AC是拖尾的，PAC是p階截尾的，則選擇AR（p）模型；若PAC是拖尾的，AC是q階截尾的，則選擇MA（q）模型；若AC和PAC都表現(xiàn)為拖尾性，則選擇ARMA（p，q）模型，然后通過模型的參數(shù)檢驗，進一步判斷p、q的階數(shù)。

但由于樣本具有隨機性，相關(guān)系數(shù)并不會表現(xiàn)出完美截尾的情況，通常會呈現(xiàn)出小值振蕩的情況，這就給模型的定階帶來了一定的困難。根據(jù)以往的經(jīng)驗，如果樣本自相關(guān)系數(shù)或偏自相關(guān)系數(shù)在初始的d階明顯大于兩倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍，其后幾乎95%的自相關(guān)系數(shù)都在兩倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，并且由非零自相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然。這時可以視為自相關(guān)系數(shù)或偏自相關(guān)系數(shù)d階截尾[5]。

（三）ARMA模型的平穩(wěn)性檢驗——單位根檢驗

單位根檢驗是通過檢驗特征根距離單位圓的位置來判斷序列的平穩(wěn)性的。通常采用的是ADF檢驗，ADF檢驗主要有三種類型：無趨勢無截距、有截距無趨勢、有截距有趨勢。形式如下：ADF 檢驗主要步驟如下：首先進行第三種情形的檢驗，若拒絕原假設(shè)，則檢驗時間趨勢項系數(shù)的顯著性，若顯著性拒絕原假設(shè)，則該序列為趨勢平穩(wěn)。反之進行第二種情形的檢驗，若拒絕原假設(shè)，則檢驗截距項系數(shù)的顯著性，若顯著性拒絕原假設(shè)，則為含截距項平穩(wěn)；若不拒絕原假設(shè)，則進行第一種情形的檢驗，若拒絕原假設(shè)，則該序列為不含截距項和時間趨勢項平穩(wěn)。若三種情形均不能拒絕原假設(shè)，則應(yīng)綜合第一種和第二種的AIC、SC、HQ 判斷選擇哪種情形下的單位根檢驗。

三、股票價格預(yù)測的實證分析

本文通過東方財富網(wǎng)選取了中國銀行（601988）2019 年8 月20 日至2020 年8 月21 日的股票日開盤價數(shù)據(jù)，一共245 個樣本。運用Eviews 10 軟件進行建模分析對未來三天的股價進行預(yù)測。

（一）原始數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗

1.時序圖檢驗。首先對數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性進行判斷：將原始數(shù)據(jù)輸入Eviews 軟件，生成時間序列圖（見圖1）。平穩(wěn)時間序列的圖像始終圍繞著某一個值上下波動且波動范圍有界，沒有明顯的趨勢和周期性。由圖1 所示，序列趨勢不太明顯，存在上下波動的狀態(tài)，可以初步判斷中國銀行股票開盤價大致平穩(wěn)的。

圖1 中國銀行股票開盤價時序圖

2.單位根（ADF）檢驗。為了準(zhǔn)確判斷原始序列是否平穩(wěn)，進一步對原始數(shù)據(jù)進行三種情況下ADF檢驗（結(jié)果如圖2、圖3、圖4 所示），其ADF test statistic值分別為-3.410 698、-2.954 879 和-0.152 588，P值分別為0.052 3、0.040 7、0.630 1，經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)三種情況中，在有截距情況下的單位根檢驗的P值小于0.05，拒絕原假設(shè)，可以認為原始數(shù)據(jù)為平穩(wěn)時間序列。

圖2 有截距有趨勢項的單位根檢驗

圖3 有截距的單位根檢驗

圖4 無截距無趨勢項的單位根檢驗

（二）模型的識別

在對時間序列數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)性檢驗之后，我們需要根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的拖尾性和截尾性來識別模型的類型，并確定滯后階數(shù)p和q的值。

觀察樣本自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖（見圖5），其中p值均為0，說明原始序列為平穩(wěn)非白噪聲序列，可以進行模型擬合。由圖5 可知，序列自相關(guān)系數(shù)緩慢衰減且過程相當(dāng)連續(xù)，呈現(xiàn)拖尾性質(zhì)。而偏自相關(guān)系數(shù)除了滯后一階的數(shù)值較大，其他數(shù)值均在兩倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)作小值隨機波動，并且相關(guān)系數(shù)衰減的過程非常突然，所以可以判斷偏自相關(guān)系數(shù)為一階截尾。綜上所述，可以考慮擬合模型為AR（1）。

圖5 序列自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖

（三）模型的建立與參數(shù)估計

根據(jù)上文，選擇AR（1）模型作為最佳預(yù)測模型進行擬合，如圖6 所示，根據(jù)圖中結(jié)果，模型AR（1）對應(yīng)的p值為0，小于0.05，模型參數(shù)顯著有效。進行參數(shù)估計，可以寫出表達式為：xt=0.999950xt-1+εt，其中εt為殘差序列。

圖6 AR（1）模型擬合

（四）模型的顯著性檢驗

參數(shù)估計完成后，還需要對模型進行顯著性檢驗。目的是檢驗?zāi)Ｐ褪欠癯浞值奶崛×藭r間序列中的信息，即殘差序列是否為白噪聲序列。若殘差序列為非白噪聲序列，那就說明殘差序列中還有殘留的相關(guān)信息未被提取，還需對模型進一步完善。

對擬合AR（1）模型進行殘差檢驗，結(jié)果如圖7 所示，延遲6 階和12 階的Q統(tǒng)計量值分別為4.150 5和8.322 3，P值分別為0.528 和0.684。由于P 值大于顯著性水平α，所以該序列不能拒絕原假設(shè)，即殘差序列為白噪聲序列，模型顯著有效。事實上，DW檢驗同樣可以判斷殘差序列的自相關(guān)性。圖6 中DW 檢驗值為2.016 319，十分接近2，因此可以認為殘差序列不具有自相關(guān)性。

圖7 殘差序列自相關(guān)圖

從圖8 的模型擬合效果圖來看，擬合值和真實值還是十分貼合的，殘差也為圍繞著某個值隨機波動，殘差信息提取的較為充分。

圖8 模型擬合效果圖

（五）模型的預(yù)測分析

最后用擬合的ARMA模型對中國銀行股票未來三天的開盤價進行預(yù)測，并將預(yù)測結(jié)果與真實數(shù)據(jù)進行對比，結(jié)果如表1 所示。

表1 中國銀行未來三天股價的預(yù)測結(jié)果

根據(jù)表1，用模型預(yù)測出的股票價格與真實價格較為接近，誤差較小，說明ARMA模型預(yù)測股票價格的效果比較理想。但由于影響股票長期價格的因素較多，在利用ARMA模型進行時間跨度大的預(yù)測時，誤差也隨之增大，因此本模型更適合于股票價格的短期預(yù)測[6]。

四、結(jié)語

股票價格預(yù)測一直是一個值得關(guān)注的問題。本文采用ARMA模型對中國銀行股票開盤價進行預(yù)測的實證，表明了時間序列模型對于股票價格的短期預(yù)測是可行的。模型對價格信息提取比較充分，擬合效果較好，預(yù)測值與真實值的誤差相對較小。但由于下一期的預(yù)測是根據(jù)上一期的預(yù)測值計算的，因此產(chǎn)生的累計誤差將越來越大。對于股票價格的長期預(yù)測來說，ARMA模型的預(yù)測效果會大大降低。而且股票價格的長期趨勢受到行業(yè)政策等環(huán)境因素的影響較大，而短期預(yù)測受到的干擾因素的影響較小。因此投資者應(yīng)該選擇模型的短期預(yù)測值作為投資決策的參考。