基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法的氣動(dòng)軟體驅(qū)動(dòng)器建模

陶羽玲，趙春花，鮑康文

（201620 上海市 上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院）

0 引言

到目前為止，機(jī)器已經(jīng)逐步代替了人工，生活中到處都充滿了機(jī)器人的身影。隨著市場(chǎng)需求的增大及對(duì)生產(chǎn)品種、種類要求增多，人們對(duì)機(jī)器人末端執(zhí)行器的要求越來越高[1-2]。傳統(tǒng)的機(jī)器人末端執(zhí)行器為剛性執(zhí)行器，存在硬度大、整體結(jié)構(gòu)笨重且構(gòu)型復(fù)雜等問題，在抓持一些表面易碎的物體如雞蛋、玻璃器皿、新鮮的瓜果蔬菜等時(shí)，對(duì)抓取方式及抓取力的大小等要求較高；另外，現(xiàn)在的生產(chǎn)呈現(xiàn)一種多批量、小生產(chǎn)的趨勢(shì)，要求機(jī)器人末端執(zhí)行器能適應(yīng)各種場(chǎng)合。隨著生活水平及醫(yī)療水平的提高，機(jī)器作為一種醫(yī)療輔助器械更應(yīng)該以高度的柔順性和環(huán)境適應(yīng)性來輔助醫(yī)療。為解決傳統(tǒng)剛性執(zhí)行器存在的硬度大、結(jié)構(gòu)笨重、環(huán)境適應(yīng)性差及安全系數(shù)較低等問題，研究者對(duì)軟體驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行了研究。

人們受自然界中的生物如象鼻、章魚臂、海星等的啟發(fā)[3]，對(duì)軟體驅(qū)動(dòng)器的結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)，使得軟體驅(qū)動(dòng)器能夠?qū)崿F(xiàn)大的變形，從而完成對(duì)物體的抓取等動(dòng)作。

南京理工大學(xué)的郭鐘華[4]等參照國內(nèi)外前人對(duì)軟體驅(qū)動(dòng)器的研究，研究出一款氣動(dòng)驅(qū)動(dòng)的柔性夾持器[5-6]；為解決驅(qū)動(dòng)器開口較小的問題，林浩鵬在柔性夾持器的基礎(chǔ)上研究出一款氣動(dòng)軟體塑形夾持器[7]；上海交通大學(xué)的谷國迎團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了基于纖維增強(qiáng)型驅(qū)動(dòng)器的氣動(dòng)軟體抓手[8]；北京航空航天大學(xué)的王田苗等設(shè)計(jì)了一款可控三維運(yùn)動(dòng)的軟體驅(qū)動(dòng)器[9]，此外，他們還設(shè)計(jì)了一款可變長度的軟體仿生夾具[10]；廣東工業(yè)大學(xué)的管貽生[11]等從尺蠖的足部鉤爪中獲得靈感，仿尺蠖鉤爪的鉤爪式柔性夾持器，可用于危險(xiǎn)探測(cè)及農(nóng)業(yè)采摘等；立命館大學(xué)設(shè)計(jì)了一款預(yù)應(yīng)力軟夾持器[12-13]，解決了午餐盒包裝的抓取問題。

雖然國內(nèi)外學(xué)者在對(duì)軟體驅(qū)動(dòng)器的設(shè)計(jì)研究方面進(jìn)展很多，但是如何對(duì)其建立有效的模型并采用合適的分析方法，到目前為止仍是一個(gè)極具挑戰(zhàn)性的問題。

絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法[14]（ANCF）是Shabana 提出的一種有限元分析方法，它基于一般連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，將傳統(tǒng)有限元中的轉(zhuǎn)角坐標(biāo)替換成梯度向量，只使用一個(gè)坐標(biāo)系，減少了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換之間存在的誤差，且單元質(zhì)量陣為常數(shù)陣，不存在離心力和科氏力，因此更適用于大變形、大轉(zhuǎn)動(dòng)問題。到目前為止，研究人員已經(jīng)對(duì)ANCF 梁單元、板單元及實(shí)體單元進(jìn)行了研究[15]，由于本文研究的多腔體氣動(dòng)軟體驅(qū)動(dòng)器為三維模型，其構(gòu)型較為特殊，本文采用ANCF 四面體單元[16]進(jìn)行分析。氣動(dòng)軟體驅(qū)動(dòng)器一般由橡膠等超彈性材料制成，為非線性不可壓縮材料。Maqueda[17]等基于ANCF 梁單元，構(gòu)建了Neo-Hookean 和Mooney-Rivlin 非線性本構(gòu)模型；Jung[18]等研究了Neo-Hookean、Mooney-Rivlin 和Yeoh 本構(gòu)模型下的懸臂梁受彈性力作用下的瞬態(tài)響應(yīng)，得到Y(jié)eoh本構(gòu)模型下的結(jié)果較其他兩個(gè)本構(gòu)模型的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)誤差最小，因此本文使用基于Yeoh 本構(gòu)模型的ANCF 四面體單元對(duì)氣動(dòng)軟體驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行建模分析。

1 基于ANCF 方法的Yeoh 四面體單元

本文采用基于Yeoh 本構(gòu)的三維四面體單元對(duì)氣動(dòng)軟體驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行建模，四面體單元模型如圖1 所示。圖1 中，oxy 為笛卡爾坐標(biāo)系，與全局參照系相關(guān)聯(lián)。ξ，η，χ，ζ為體積坐標(biāo)，單元任意點(diǎn)P 的位置坐標(biāo)可以表示為

式中：S——形函數(shù)；x，y，z——笛卡爾坐標(biāo)下P 點(diǎn)的坐標(biāo)；ξ，η，ζ，χ——體積坐標(biāo)系下的P點(diǎn)坐標(biāo)；p——笛卡爾坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)位置矢量；e——體積坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)位置矢量；T——笛卡爾坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)位置矢量與體積坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)位置矢量之間的轉(zhuǎn)換矩陣，維度是48×48。

單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)可以定義為

形函數(shù)表示為

式中：I——3×3 的單位矩陣；ξ，η，ζ，χ——體積坐標(biāo)。

1.1 基于Yeoh 模型的廣義彈性力陣

超彈性材料彈性力的非線性本構(gòu)模型一般采用應(yīng)變能密度函數(shù)來描述。各向同性材料的應(yīng)變能密度函數(shù)是張量不變量I1，I2，I3的函數(shù)，張量不變量I1，I2，I3可以定義為

式中：Cr ——右柯西格林應(yīng)變張量，Cr=JTJ，J——位置矢量梯度矩陣，，為保證不可壓縮性，使得I3=1 或者J=｜J｜=1。因此應(yīng)變能密度函數(shù)中只包含 I1，I2兩項(xiàng)，可表示為

Yeoh 模型是基于應(yīng)變能密度函數(shù)在第一個(gè)不變量I1的三項(xiàng)展開式中的表示，為

式中：C10，C20，C30——單軸拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得的材料常數(shù)。

在本文中，利用罰函數(shù)法來確保不可壓縮性條件。罰函數(shù)公式為

式中：α——不可壓縮性常數(shù)，其值應(yīng)足夠大，以保證材料的不可壓縮性。

因此，不可壓縮彈性Yeoh 本構(gòu)模型的應(yīng)變能密度函數(shù)為

將式（9）對(duì)單元坐標(biāo)p 求偏導(dǎo)可得

則彈性力陣可以表示為

單元彈性力陣的導(dǎo)數(shù)陣為QY對(duì)PT的偏導(dǎo)，表示為

1.2 單元壓力矩陣

為了反映軟體驅(qū)動(dòng)器內(nèi)部氣腔的受力情況，首先需要求出作用于氣動(dòng)驅(qū)動(dòng)器內(nèi)部的壓力陣。對(duì)氣動(dòng)驅(qū)動(dòng)器施加壓力所作的虛功為

式中：r——位移矢量，r=Se；S——形函數(shù)矩陣；ep——單元坐標(biāo)列陣；p——壓強(qiáng)；s——單元表面積；Qep——單元壓力陣，表示為

1.3 單元平衡方程

在ANCF 中，本文研究的一端固定的多腔體氣動(dòng)軟體驅(qū)動(dòng)器靜力學(xué)平衡方程可表示為

式中：K（e）——?jiǎng)偠染仃?；Qep——壓力矩陣。

由于軟體驅(qū)動(dòng)器為超彈性材料制成，產(chǎn)生大變形，不易收斂，因此綜合使用牛頓迭代法和載荷增量法對(duì)式（15）進(jìn)行求解。

將式（15）改寫為φ（e，λ）≡K（e）e-λQep，用λQep代替Qep，其中λ為載荷因子。將載荷因子分為M 個(gè)增量，總數(shù)為1，每個(gè)增量表示為Δλ=λm+1-λm，載荷增量表示為ΔQep=Qepm+1-Qepm=ΔλQep。

2 氣動(dòng)軟體驅(qū)動(dòng)器

本文針對(duì)如圖2 所示多腔體氣動(dòng)驅(qū)動(dòng)軟體驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行建模，制作過程詳見文獻(xiàn)[19]，其尺寸如圖3 和表1 所示。

表1 多腔體氣動(dòng)軟體驅(qū)動(dòng)器尺寸參數(shù)Tab.1 Dimensional parameters of multi-cavity pneumatic software driver

圖2 多腔體氣動(dòng)軟體驅(qū)動(dòng)器Fig.2 Multi-cavity pneumatic software driver

圖3 多腔體氣動(dòng)軟體驅(qū)動(dòng)器尺寸Fig.3 Size of multi-cavity pneumatic software driver

3 超彈性氣動(dòng)軟體驅(qū)動(dòng)器力學(xué)分析

在只考慮受壓的情況下，本文對(duì)超彈性氣動(dòng)軟體驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行力學(xué)分析。本算例所用氣動(dòng)軟體驅(qū)動(dòng)器尺寸如表1 所示，材料參數(shù)如下：C10=0.373 MPa，C20=-0.037 MPa，C30=0.005 MPa，罰因子α=1 000 MPa。分別向驅(qū)動(dòng)器內(nèi)充入5，10，15 kPa 的壓力，使用基于Yeoh 本構(gòu)的絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)四面體單元和基于Yeoh 的ABAQUS 四面體單元對(duì)該驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行分析。

圖4 為利用ABAQUS 分析時(shí)劃分9 192 個(gè)單元，5，10，15 kPa 下軟驅(qū)動(dòng)器的變形情況。

圖4 ABAQUS 仿真結(jié)果Fig.4 ABAQUS simulation results

圖5、圖6 分別顯示了氣動(dòng)軟體驅(qū)動(dòng)器末端B 點(diǎn)在ABAQUS 和ANCF 仿真下的位置情況。可以發(fā)現(xiàn)，無論是何種方法進(jìn)行仿真，在一定范圍內(nèi)壓力越大變形越大。

圖5 ABAQUS 仿真B 點(diǎn)位置隨壓力的變化Fig.5 ABAQUS simulates the change of point B position with pressure

圖6 ANCF 仿真B 點(diǎn)位置隨壓力的變化Fig.6 ANCF simulates the change of point B position with pressure

圖7—圖9 分別顯示了不同壓力情況下驅(qū)動(dòng)器末端B 點(diǎn)X 方向和Y 方向的位置隨單元數(shù)增加的變化情況。從圖中可以看出，隨著單元數(shù)的增加，B 點(diǎn)X 方向位置與Y 方向位置在ABAQUS和ANCF 仿真下的結(jié)果趨于一致，驗(yàn)證了基于ANCF 的氣動(dòng)驅(qū)動(dòng)器建模的有效性。

圖7 5 kPa 下B 點(diǎn)的位置Fig.7 The position of point B when pressure is 5 kPa

4 結(jié)論

基于Yeoh 本構(gòu)模型的ANCF 四面體單元對(duì)多腔體氣動(dòng)軟體驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行了建模。基于Yeoh本構(gòu)模型的應(yīng)變能密度函數(shù)推導(dǎo)了ANCF 四面體單元彈性力陣及其導(dǎo)數(shù)陣。對(duì)受壓力情況下的多腔體氣動(dòng)軟體驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行數(shù)值仿真，得到以下結(jié)論：

（1）隨著單元數(shù)的增加，ANCF 仿真結(jié)果與ABAQUS 仿真結(jié)果逐漸趨于一致，驗(yàn)證了基于ANCF的氣動(dòng)軟體驅(qū)動(dòng)器建模的有效性和收斂性。

（2）不管是ANCF 仿真還是ABAQUS 仿真，隨著壓力的增大，仿真結(jié)果逐漸趨于一個(gè)穩(wěn)定的值。

文中基于ANCF 的多腔體氣動(dòng)軟體驅(qū)動(dòng)器模型是有效的，為絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法在軟體機(jī)器人中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。然而，此類建模中對(duì)驅(qū)動(dòng)器劃分的單元數(shù)較多，對(duì)平衡方程的求解提出了更高的要求，為了實(shí)現(xiàn)高效的求解，對(duì)適合超彈性材料的高效求解算法提出了更高的需求。