準(zhǔn)確把握習(xí)題關(guān)鍵點(diǎn) 多維提升數(shù)學(xué)思考力

張育麗

（福建省廈門(mén)市第六中學(xué)）

在教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生只會(huì)跟著教師的節(jié)奏走，只懂得教師講過(guò)的類型題，不懂得如何靈活運(yùn)用這些類型題里所涵蓋的知識(shí)解決新問(wèn)題。為什么會(huì)出現(xiàn)這樣現(xiàn)象？其原因是多方面的，而不會(huì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行全面分析與思考是其中的重要原因之一。要解決這個(gè)問(wèn)題，教師需要注意以下三點(diǎn)：一是使學(xué)生獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，二是掌握解決實(shí)際問(wèn)題的技能，三是注意培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。要教會(huì)學(xué)生思考問(wèn)題的方法，使學(xué)生形成數(shù)學(xué)意識(shí)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》提出的十大核心概念基本上是融合在數(shù)學(xué)思考內(nèi)容里的，這充分體現(xiàn)了培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題方法的重要性。讓學(xué)生更好地思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，這是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一門(mén)藝術(shù)，其方法與形式是多種多樣的，學(xué)生思考問(wèn)題的質(zhì)量如何，反映了其數(shù)學(xué)素質(zhì)的一個(gè)重要方面。在教學(xué)過(guò)程中，教師既要鼓勵(lì)學(xué)生勤于思考，還要引導(dǎo)他們善于思考，教給他們一些思考問(wèn)題的方法。數(shù)學(xué)思考的培養(yǎng)應(yīng)該融合于知識(shí)與技能、解決問(wèn)題之中，侵潤(rùn)于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)中。

一、依托例題尋找最佳途徑，快捷解決問(wèn)題

在講解例題時(shí)，應(yīng)著重分析為什么這樣做，而不是只滿足讓學(xué)生知道怎么做。特別是講解幾何證明題時(shí)，教師要講清證明思路，讓學(xué)生知道為什么這樣做，這種方法是如何想出來(lái)的，為什么會(huì)這樣想，為什么不是從其他方面想，若從其他方面想，又可能會(huì)產(chǎn)生什么樣結(jié)果。思考問(wèn)題的方法是數(shù)學(xué)的核心和靈魂，只有掌握了正確的數(shù)學(xué)方法，才能在看似錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題前從容不迫，得心應(yīng)手，并且進(jìn)行深入地探索與研究。正如著名數(shù)學(xué)家笛卡爾說(shuō)的那樣：“沒(méi)有正確的方法，即使有眼睛的博學(xué)者也會(huì)像沒(méi)有眼睛一樣盲目摸索?！庇纱丝梢?jiàn)，把思考問(wèn)題的方法教給學(xué)生，進(jìn)而選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行解題是至關(guān)重要的。

如圖1，AE是ΔABC的外接圓O的直徑，AD⊥BC于D。求證:ΔADC～ΔABE。

圖1

在講解此題時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生從求證的問(wèn)題出發(fā)，結(jié)合相似三角形的判定定理，至少有三種方式去解決ΔADC～ΔABE：兩角對(duì)應(yīng)相等；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等；三邊對(duì)應(yīng)成比例等?？梢詮纳鲜鋈N方法選擇合適的一種求證即可。

接著，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察所給的幾何圖形和已知條件，要證明上面三種情況之一成立，證明哪一種情況成立較為簡(jiǎn)便。這個(gè)題目分析到這里，大部分學(xué)生很快就能判斷出證明第一種情況成立較為方便簡(jiǎn)單。因?yàn)轭}目所給圖形和已知條件中，不難發(fā)現(xiàn)：∠E=∠C，∠ADC=∠ABE=90°。在充分分析下，學(xué)生選擇最佳方案，教師再進(jìn)行總結(jié)提升，寫(xiě)出規(guī)范的證明過(guò)程，完善整個(gè)思維過(guò)程。

本題的思考方法是演繹推理分析法，教師在教學(xué)時(shí)若能充分注意分析與綜合，就可以啟發(fā)學(xué)生去積極思考，培養(yǎng)他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。如果學(xué)生在學(xué)習(xí)中能運(yùn)用分析法和綜合法，很容易就能找到解題的途徑，避免盲目摸索。因此，教師必須把分析法和綜合法作為演繹推理中的有機(jī)部分，隨時(shí)滲透到教學(xué)中。分析法和綜合法雖然是兩種相反的思維方法，但是在解題時(shí)經(jīng)常把兩者有機(jī)融合，避免造成思路單一的情況，這種方法就是綜合分析法。本例題就體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化（化歸）的分析綜合法：由弧相等轉(zhuǎn)化成圓周角相等。在整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，轉(zhuǎn)化（化歸）方法一直貫穿其中。它是把一個(gè)未知(待解決)的問(wèn)題化為已解決的或易于解決的問(wèn)題來(lái)解決，如化繁為簡(jiǎn)、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，是解決問(wèn)題的一種最基本的方法，也是數(shù)學(xué)基本思想方法之一。

二、變單一思維為多向發(fā)展，提高分析能力

學(xué)生的認(rèn)知水平是逐漸上升的，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，除了讓學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)要進(jìn)行查漏補(bǔ)缺外，還需要“讓學(xué)生再一次發(fā)展”。在教學(xué)中，要讓學(xué)生把所學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)化，在學(xué)科系統(tǒng)內(nèi)有機(jī)融合、整體構(gòu)建、創(chuàng)新方式、有效推進(jìn)，這需要教師智慧地整合教學(xué)資源，把已學(xué)知識(shí)串成“線”，織成“網(wǎng)”。如果說(shuō)新授課是數(shù)學(xué)教學(xué)的“畫(huà)龍”之作，那么復(fù)習(xí)課則是“點(diǎn)睛”之處。以復(fù)習(xí)課“實(shí)數(shù)運(yùn)算”為例，可以將整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)得圖文并茂、形象直觀，創(chuàng)設(shè)各種問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而更好地發(fā)展和提升數(shù)學(xué)思考力。

如圖2，一張長(zhǎng)方形紙片，長(zhǎng)為2，寬為1。

問(wèn)題1：長(zhǎng)方形紙片的周長(zhǎng)是多少？

問(wèn)題2：長(zhǎng)方形紙片的面積是多少？

問(wèn)題3：將長(zhǎng)方形紙片按圖2，折出一個(gè)邊長(zhǎng)為1 的正方形，則正方形的面積是多少？

圖2

問(wèn)題4：如果將上述邊長(zhǎng)為1 的兩個(gè)同樣的正方形拼成一個(gè)的新正方形。此新正方形的邊長(zhǎng)是多少？

通過(guò)問(wèn)題組的設(shè)計(jì)，可以將運(yùn)算的視角引入到乘方運(yùn)算，讓學(xué)生感受乘方與開(kāi)平方是互為逆運(yùn)算。這樣，既降低了對(duì)開(kāi)方運(yùn)算的認(rèn)識(shí)難度，又讓學(xué)生感受了數(shù)學(xué)中的某些規(guī)則具有一致性、相容性、和諧性。同樣的，還可以得到開(kāi)立方運(yùn)算，立方根的概念。在問(wèn)題4 中，如果學(xué)生不會(huì)求新正方形的邊長(zhǎng)，可啟發(fā)他們從兩個(gè)方向入手，一是通過(guò)追問(wèn)：拼成的新正方形的面積可求嗎？進(jìn)而讓學(xué)生通過(guò)新正方形的面積求出邊長(zhǎng)。二是直接利用勾股定理，得：邊長(zhǎng)=讓無(wú)理數(shù)登場(chǎng)，以便學(xué)生更深層次地理解無(wú)理數(shù)、研究無(wú)理數(shù)。

通過(guò)以上的回憶與思考，還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究。

如圖3，如果我們沿所得邊長(zhǎng)為1 的正方形的對(duì)角線剪出一個(gè)等腰直角三角形，記為ΔABC。沿CE折疊ΔABC紙片，使A點(diǎn)落在BC邊上的D點(diǎn)處。

圖3

問(wèn)題5：求BD的長(zhǎng)度。

問(wèn)題6：如圖4，繼續(xù)折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為FQ，請(qǐng)你求出此時(shí)線段DQ的長(zhǎng)度，并比較此時(shí)的DQ的值與的大小關(guān)系。

圖4

問(wèn)題7：對(duì)于an=b，若給出a、n，求b，是乘方運(yùn)算；若給出b、n，求a，則是開(kāi)方運(yùn)算；若給出a、b，求n，這又是一種什么新的運(yùn)算呢？

在這個(gè)設(shè)計(jì)中，由“形”出發(fā)，從互為逆運(yùn)算的角度，重溫?cái)?shù)系的發(fā)展進(jìn)程，讓學(xué)生感受了數(shù)學(xué)六種運(yùn)算的發(fā)展過(guò)程。重走發(fā)現(xiàn)之路，基于算理，回歸估算，讓學(xué)生感受到要研究這種運(yùn)算的必要性和可能性，體驗(yàn)思維推理活動(dòng)。問(wèn)題7 則讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上都能得到良好的發(fā)展，延續(xù)了本節(jié)課研究運(yùn)算的一般方法與規(guī)律，讓他們有研究運(yùn)算的意識(shí)呈現(xiàn)，有怎樣定義運(yùn)算的方法傾向，有研究問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)積累，而這也是初高中知識(shí)銜接的重要方式之一，是教學(xué)的價(jià)值所在。

三、借助題目變式教學(xué)，拓寬邏輯思維空間

學(xué)生具有合理的邏輯習(xí)慣和較強(qiáng)的思維能力，不但有助于透徹地理解和系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，而且有助于提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)該以知識(shí)的密度來(lái)代替對(duì)學(xué)生思維能力、思想方法的考查，而是應(yīng)將合理推理和演繹推理巧妙地融合其中，從根本上提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。對(duì)于內(nèi)涵豐富的題型，若能深入挖掘，加以變化，往往能舉一反三，達(dá)到以例代類的效果。即能通過(guò)做一道題達(dá)到會(huì)一類，甚至知一片的目的。

如圖5，點(diǎn)E是△ABC的邊AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，BD=CE，連結(jié)DE，交BC于F，DF=EF，求證：AC=AB。

圖5

解法一：在線段BF上截取GF=FC，連結(jié)DG；

解法二：過(guò)點(diǎn)D，作DG∥CE交BC于點(diǎn)G；

解法三：延長(zhǎng)FC至P，使得FG=BF，連結(jié)EG；

解法四：過(guò)點(diǎn)E作EG∥BD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P。

同一個(gè)題目，從不同的角度去分析研究，可以得到不同的啟發(fā)，要引導(dǎo)學(xué)生延伸思維的觸角，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，從而提高思維的廣闊性、靈活性和深刻性，使其更具有思考力。還可以把題目再進(jìn)行變式訓(xùn)練。

【變式訓(xùn)練1】如圖5，ΔABC中，AB=AC，延長(zhǎng)AC到E，使得CE=BD，DE交BC于F。求證：DF=EF。

啟發(fā)學(xué)生多種方法去思考：利用全等三角形，利用中位線，利用平行四邊形性質(zhì)，進(jìn)而類比相似三角形的知識(shí)。

【變式訓(xùn)練2】如圖6，BD=CE，求證：AC·EF=AB·DF。

圖6

有了以上兩題的圖形模型，結(jié)合相似三角形的有關(guān)知識(shí)，欲證等積式，只須證比例式即可。從圖6中可知，AC與AB不在同一直線上，而DE與EF在同一直線上，聯(lián)想到有關(guān)證明比例式的內(nèi)容不外乎平行或相似得到比例式，DE與EF在同一直線上啟發(fā)我們可過(guò)E點(diǎn)作AB的平行線。這樣，就符合要求了。

“變一變，天塹變通途，換一換，陌生成熟悉?！苯虒W(xué)中通過(guò)對(duì)例題、習(xí)題做多角度、多方面的發(fā)展，尋求問(wèn)題的增長(zhǎng)點(diǎn)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)一題多解、一題多變等訓(xùn)練，不斷摸索結(jié)解題的捷徑，能夠使學(xué)生思維的廣闊性得到發(fā)展，思維能力得到提升。

四、抓住習(xí)題本質(zhì)強(qiáng)化探究，走出數(shù)學(xué)思維盲區(qū)

學(xué)生錯(cuò)題的原因是多樣的，包括：隱含條件分不清，漏條件，分類不當(dāng)或不分類造成邏輯上的混亂，由于思路不清晰造成計(jì)算、推理上的漏洞，主觀臆斷、消極定勢(shì)而“誤入歧途”等。這些都體現(xiàn)了學(xué)生思維的單一化、表面化、無(wú)序化盲區(qū)。要走出這些思維的盲區(qū)，應(yīng)對(duì)他們的學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)行觀察，選擇“典型”例題進(jìn)行剖析，精心引導(dǎo)，強(qiáng)化訓(xùn)練，并要運(yùn)用變通性的動(dòng)態(tài)思考。

如有這樣一個(gè)題目：

在本題的解答中，很多學(xué)生往往是沒(méi)有對(duì)兩個(gè)方程組的構(gòu)造進(jìn)行比較研究，而是按部就班地將x、y的值代入第一個(gè)方程組，求出m、n，再把它們代入第二個(gè)方程組。這個(gè)方法也是正確的，但是整個(gè)計(jì)算過(guò)程比較繁冗，還容易產(chǎn)生計(jì)算錯(cuò)誤。作為填空題題型，這樣的題目對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)失分率頗高。我們知道，對(duì)于同一類方程（組），方程的解取決于它所含的系數(shù)，而與它采用的字母無(wú)關(guān)。此題中兩個(gè)方程組雖然表面不一，但只要把第二個(gè)方程組的（2x+y）、（2x-y）分別看成兩個(gè)整體換元，那么它與第一個(gè)方程組的系數(shù)就相同，因而它的解也應(yīng)該相同，即有這樣就抓住了習(xí)題的本質(zhì)，運(yùn)用了解方程的思想進(jìn)行了處理。在平時(shí)教學(xué)中，應(yīng)使知識(shí)的發(fā)生過(guò)程與結(jié)論渾然一體，以強(qiáng)化探究的教學(xué)方式去克服學(xué)生數(shù)學(xué)思維的盲區(qū)，使學(xué)生的思考力得到更進(jìn)一步的發(fā)展。

美國(guó)數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的是“教會(huì)學(xué)生思考”。我們應(yīng)當(dāng)明確，數(shù)學(xué)教育的目的不是培養(yǎng)知識(shí)的記憶者，而是培養(yǎng)積極的思考者。教師的角色起著關(guān)鍵性的作用，特別是要準(zhǔn)確把握習(xí)題的關(guān)鍵點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)習(xí)題，組織學(xué)生操作實(shí)驗(yàn)、觀察現(xiàn)象、提出猜想、推理論證等，引導(dǎo)其靈活、多角度地思考，有效提升思考力。