高三學(xué)生解決數(shù)學(xué)含參問題教學(xué)策略研究

摘 要：在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，含參問題主要是函數(shù)、數(shù)列、不等式、參數(shù)方程等知識中含有參數(shù)的一類問題，也是高考考查的重點(diǎn)。很多高三學(xué)生在解決含參問題時，會出現(xiàn)不同程度的錯誤，這會對學(xué)生數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)質(zhì)量提升帶來一定效果。對此，本文主要剖析了高三學(xué)生解決數(shù)學(xué)含參問題常見的錯誤，并在此基礎(chǔ)上提出了強(qiáng)化數(shù)學(xué)含參問題教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);含參問題;教學(xué)

引言：高中數(shù)學(xué)含參問題涉及的知識點(diǎn)比較多，其解法比較多樣，具有較強(qiáng)的綜合性，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中十分重要的部分，也是高考中的常考點(diǎn)[1]。很多高三學(xué)生在遇到含參問題后，會出現(xiàn)不同程度的錯誤，并且出錯的原因也各有不同，如對知識理解程度不到、解題思維問題、教師教學(xué)因素等。所以在實(shí)際中，進(jìn)一步提高對數(shù)學(xué)含參問題的教學(xué)研究顯得十分重要[2]。

一、高三學(xué)生解決含參問題常見錯誤分析

為了更好地梳理高三學(xué)生在解決含參問題時的錯誤情況，下面結(jié)合不同的類型進(jìn)行分析。

（一）集合中的含參問題

已知集合，，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？

A.a≥2 B.a≤1 C.a<1 D.a>2

對于這道題目，其主要考察的是集合運(yùn)算及數(shù)軸表示的相關(guān)知識。在這個題目中，很多學(xué)生會選擇錯誤答案D。主要是學(xué)生雖然掌握了集合運(yùn)算，但是在數(shù)軸上畫出集合A、集合CRB表示的不等式以后，針對a是否可以取得臨界值會出現(xiàn)問題，學(xué)生對能否取臨界值的處理方法缺乏良好認(rèn)知，這種錯誤屬于策略性錯誤[3]。

（二）不等式中的含參問題

求解x的不等式。

典型錯解：時，可以求得，從而得出;時，求得，得出或。這種錯誤主要是由于學(xué)生疏忽大意造成，對學(xué)生的解題過程進(jìn)行分析，可以看出學(xué)生已經(jīng)掌握了不等式的解法，也可以靈活的應(yīng)用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性除不等式兩邊對數(shù)符號，整個解題過程思路比較清晰。但是學(xué)生在解題過程中，沒有考慮到該不等式作為對數(shù)不等式，整數(shù)部分為正，也就是說學(xué)生沒有考慮到不等式成立的條件，導(dǎo)致解題范圍變大。這種錯誤在學(xué)生解決不等式含參問題上是很常見的[4]。

（三）參數(shù)方程問題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是，其中t為參數(shù)，已知拋物線y2=4x與直線l相交在A、B兩點(diǎn)，試求線段AB的長度。

典型錯解：，得x2-10x+9=0由于從而得出AB=10+2=12。出現(xiàn)這種錯誤的學(xué)生比較多，學(xué)生雖然在直線參數(shù)方程轉(zhuǎn)變成普通方程時不會出錯，但是在解決后半部分問題時，學(xué)生會直接將拋物線方程和直線方程聯(lián)立，通過焦點(diǎn)弦公式進(jìn)行求解，沒有考慮到直線是否會經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)。對學(xué)生這種現(xiàn)象進(jìn)行深入剖析可以看出，學(xué)生大多是記住了公式結(jié)論，不了解其適用范圍，在解題中會出現(xiàn)套用公式的情況，這屬于典型的知識性錯誤問題。

二、高中數(shù)學(xué)含參問題教學(xué)策略

對高三學(xué)生來說，他們在解決含參問題時，多以知識性錯誤為主，如公式用錯、概念理解錯誤，同時也會出現(xiàn)策略性錯誤、疏忽性錯誤、運(yùn)算錯誤等情況。為了幫助學(xué)生可以更加高效率的掌握含參問題，減少這類問題的失分情況，教師就需要對教學(xué)模式進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整。

（一）強(qiáng)化第一次教學(xué)有效性

對學(xué)生出錯情況進(jìn)行剖析，發(fā)現(xiàn)知識性錯誤是最為嚴(yán)重的，很多學(xué)生會在解題中出現(xiàn)概念混淆、公式用錯、定理用錯等情況。對學(xué)生的這種現(xiàn)象進(jìn)行剖析可以看出，這與教師在第一次教學(xué)時，忽視概念、定理生成講解有一定關(guān)聯(lián)[5]。含參問題雖然主要是在高三復(fù)習(xí)階段進(jìn)行講解，但是學(xué)生出錯的主要原因則是在高中一、二年級沒有牢固掌握相關(guān)知識。很多時候高中數(shù)學(xué)教師在高一、二年級講解知識時，為了趕進(jìn)度，在課堂上講解知識的速度比較快，如弦長問題、焦點(diǎn)弦問題等，教師大多是給出學(xué)生一個例題，讓學(xué)生進(jìn)行分析，然后記憶結(jié)論，這就會造成學(xué)生對公式、定理并沒有深刻的認(rèn)知，也沒有了解到公式推導(dǎo)過程，在看到類似題目后會生硬的套用。

含參問題教學(xué)雖然集中在高三復(fù)習(xí)階段，但是高三學(xué)生本身的復(fù)習(xí)壓力很大，為了減少學(xué)生在解決含參問題時的錯誤現(xiàn)象，就需要教師在第一次教學(xué)時，提高有效性。學(xué)生在初學(xué)階段，對知識理解不到位，單純的憑借死記硬背結(jié)論，然后進(jìn)行大量練習(xí)，很容易出現(xiàn)在高三復(fù)習(xí)階段出現(xiàn)知識混亂現(xiàn)象[6]。所以教師要強(qiáng)化對第一次教學(xué)的重視度，為學(xué)生打下良好基礎(chǔ)，從而提高含參問題解題準(zhǔn)確性。

（二）注重思維方法培養(yǎng)

在學(xué)生解題過程中，只有掌握了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維方法，才可以形成良好的知識脈絡(luò)，更加系統(tǒng)的分析問題。高中數(shù)學(xué)教師要意識到，數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)知識的傳授是存在一定差別的，數(shù)學(xué)知識的內(nèi)容相對比較集中，前后聯(lián)系比較大，并且有各種針對性的訓(xùn)練，大部分學(xué)生都可以掌握。但是數(shù)學(xué)思想方法相對比較分散，教師必須在開展數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中進(jìn)行系統(tǒng)的安排，并將數(shù)學(xué)思想方法培養(yǎng)貫穿于整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)中。教師要意識到數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)是無法在朝夕之間完成的，要隨著學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的不斷提升，逐步深化。在教學(xué)中需要結(jié)合教學(xué)目標(biāo)，對學(xué)生的思維方法進(jìn)行培育，促使學(xué)生可以在遇到含參問題后，能綜合的把握知識點(diǎn)關(guān)聯(lián)，找準(zhǔn)解題思路，提升解題準(zhǔn)確性[7]。

（三）提高學(xué)生解題信心

部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)比較差的學(xué)生，在遇到含參數(shù)學(xué)問題時，缺乏良好的自信心，所以教師在教學(xué)中，不僅要引導(dǎo)學(xué)生掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)、數(shù)學(xué)解題方法、數(shù)學(xué)思維方法，還需要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題自信心，使得學(xué)生可以敢于面對困難。高考不僅是考查學(xué)生對知識的掌握情況，同時也是對學(xué)生心理素質(zhì)的考查，心理素質(zhì)會對學(xué)生高考成績帶來很大影響。由于高中數(shù)學(xué)涉及的知識點(diǎn)比較多，運(yùn)算量大、解題技巧靈活多變，教師在教學(xué)中，需要正確看待學(xué)生解題中的錯誤，并尊重學(xué)生的個體差異，引導(dǎo)學(xué)生可以逐步糾正錯誤，更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕鉀Q數(shù)學(xué)問題，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)解題自信心的提升。同時教師在日常教學(xué)中要鼓勵學(xué)生嘗試解決復(fù)雜性問題，并適當(dāng)?shù)貙W(xué)生進(jìn)行批評，促使學(xué)生可以正確的解題。

（四）合理應(yīng)用錯誤資源

高中數(shù)學(xué)教師在引導(dǎo)學(xué)生解決含參問題時，應(yīng)該靈活的應(yīng)用學(xué)生的錯題資源，深入分析學(xué)生在解題中的出錯原因，并設(shè)定針對性的解決方案。如對于比較常見的低級性錯誤，如沒有看清已知條件、計算錯誤等，教師不能簡單地說“下次注意”，而是要培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真細(xì)致審題、解題后回頭檢查的好習(xí)慣，通過好習(xí)慣來減少低級錯誤的出現(xiàn)[8]。在日常教學(xué)中，高中數(shù)學(xué)教師需要借助錯誤對學(xué)生學(xué)習(xí)效果進(jìn)行診斷，學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中，難免會出現(xiàn)一些錯誤，教師要將這些錯誤看作是重要的教學(xué)資源，分析學(xué)生出錯的原因，判斷學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握狀況，并指引學(xué)生長期積累錯題，以此促進(jìn)學(xué)生解題水平提升。

（五）培養(yǎng)學(xué)生自我糾錯能力

學(xué)生是否具有良好的糾錯能力，與學(xué)生自身的數(shù)學(xué)思維有極大關(guān)聯(lián)，包括學(xué)生的數(shù)學(xué)批判思維、整體思維。學(xué)生在學(xué)習(xí)中，如果可以從解題錯誤中自己找出思維漏洞，并對其進(jìn)行完善彌補(bǔ)，能在很大程度上提高學(xué)生的解題技巧。對高三數(shù)學(xué)教師來說，他們的教學(xué)任務(wù)比較重，而時間相對比較緊張，教師不僅要關(guān)注學(xué)生的錯誤狀況，還要培養(yǎng)學(xué)生自我糾錯能力，讓學(xué)生可以對錯誤進(jìn)行自我反思，這樣會在很大程度上提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

（六）對學(xué)生開展個別化指導(dǎo)

對于高三學(xué)生，他們的學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)能力都是存在一定差異的，這也使得他們在解決含參問題時，出錯的方式也有所不同。在同一個問題上，有的學(xué)生會出現(xiàn)典型性錯誤，也有的學(xué)生會出現(xiàn)一些比較特殊的錯誤。對于典型性錯誤，教師可以在課堂上集中講解，單特殊性錯誤，可能只有幾個，甚至是一兩個學(xué)生存在這種錯誤，如果教師集中講解難免會出現(xiàn)浪費(fèi)時間的情況，對此教師可以對其進(jìn)行個別化指導(dǎo)。事實(shí)上高三學(xué)生出現(xiàn)的特殊性錯誤大多是由于沒有掌握好某個小知識點(diǎn)、某類題型解決方法、不理解特殊限定條件等，所以高中數(shù)學(xué)教師還應(yīng)該針對學(xué)生的性格特點(diǎn)、對知識的掌握程度，對開展個別化指導(dǎo)教育。高三階段的學(xué)生、教師時間都比較緊張，因此教師可以在課間，或者是自習(xí)課上，對學(xué)生進(jìn)行單獨(dú)指導(dǎo)，挖掘?qū)W生出錯的原因，幫助學(xué)生深入理解相應(yīng)的知識點(diǎn)，促使學(xué)生可以突破頑固性錯誤，以此強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

三、優(yōu)化含參問題求解途徑

（一）分離參數(shù)，借助函數(shù)量值求參數(shù)范圍

已知函數(shù)，e是自然對數(shù)底數(shù)，a∈R，如果關(guān)于x的不等式在（-∞，2）上恒成立，求a的取值范圍。

對于這個問題，可以通過分離參數(shù)的方式，將原來的含參數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)變成求解函數(shù)最值問題，從而簡化求解。

解：根據(jù)可以得出

得出，在任意的恒成立，即在任意的恒成立。由于x<2，得出。設(shè)在區(qū)間（-∞，2）上g（x）呈現(xiàn)單調(diào)遞增，g（2）=0，得出a≥0，因此，a的取值范圍是[0，+∞）。

（二）結(jié)合必要條件解題，減小參數(shù)范圍

已知函數(shù)，若x∈[1，3]，A為f（x）的值域，，假設(shè)m、n分別是16、8，試求a的值。

在這個問題中，如果沒有用到必要條件來求解參數(shù)a的值，在解題中需要開展分類討論活動，對這三種情況下的函數(shù)單調(diào)性、最值進(jìn)行討論，接著求出不等式組。這種會使得整個過程十分復(fù)雜，學(xué)生也容易在運(yùn)算過程中出錯。

解：結(jié)合題意，可以得出，從而求得a=15。對該結(jié)果進(jìn)行論證，a=15時，，f（x）是單調(diào)減函數(shù)，符合題意。

（三）變換主元，簡化函數(shù)

假設(shè)不等式在時恒成立，試求x的取值范圍。

在這個問題中，將a的范圍進(jìn)行限定，因此可以在解題時將主元變成a，把不等式對應(yīng)的函數(shù)變成g（a），重新構(gòu)建函數(shù)，簡化求解。

解：設(shè)，時，函數(shù)的圖像是一個線段，求，可以得出x>4或x<-1。

結(jié)束語

在高三學(xué)生總復(fù)習(xí)階段，數(shù)學(xué)教師要進(jìn)一步提高對含參數(shù)學(xué)問題的重視力度，幫助學(xué)生掌握含參數(shù)學(xué)問題的解決技巧，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，促使學(xué)生可以通過多樣化的方式解決含參問題，提高學(xué)生數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效果，讓學(xué)生可以更好地備戰(zhàn)高考。

參考文獻(xiàn)

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[8]曹磊.含參不等式恒成立問題的復(fù)習(xí)策略[J]數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：教研版，2018（09）：137-138.

作者簡介：尤越.出生年月：1980年9月，性別：女，民族：滿，籍貫：遼寧開原，最高學(xué)歷：大學(xué)本科，職稱：中學(xué)一級，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)，郵編：311251，單位：杭州市蕭山區(qū)第二高級中學(xué)。

任教以來多次參加各種競賽，曾獲區(qū)教壇新秀，先進(jìn)黨員，撰寫的論文獲過杭州市專題二等獎以及區(qū)專題二等獎，區(qū)年會一等獎。