高中三角函數(shù)中關(guān)于最值認(rèn)知與邏輯思維的拓展關(guān)系

摘 要：在高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)的最值問(wèn)題是教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容之一。但是在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，很多學(xué)生通常無(wú)法正確理解最值概念，不能合理運(yùn)用三角函數(shù)解題方法，繼而無(wú)法理清最值的運(yùn)算規(guī)律。這種在邏輯思維上沒(méi)有建立起正確的點(diǎn)位，無(wú)法從點(diǎn)到線進(jìn)行鋪開(kāi)式思考的現(xiàn)象，在一定程度上對(duì)高中學(xué)生的三角函數(shù)學(xué)習(xí)造成了困擾和障礙。因此本文將以對(duì)高中三角函數(shù)的最值認(rèn)知與邏輯思維的拓展關(guān)系為切入點(diǎn)，對(duì)最值和高中生邏輯、立體思維觀的建立進(jìn)行闡述。

關(guān)鍵詞：高中三角函數(shù);最值;思維拓展;高中數(shù)學(xué)

新課標(biāo)的實(shí)施為高中數(shù)學(xué)教學(xué)增加了新鮮的血液，但是由于高中數(shù)學(xué)屬于邏輯思維教學(xué)，需要教育者和學(xué)習(xí)者雙方都必須具有較強(qiáng)的邏輯思維能力才能完成自主學(xué)習(xí)的目標(biāo)。根據(jù)目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中所出現(xiàn)的情況來(lái)看，學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維和立體空間感尚處于“萌芽”狀態(tài)，需要教師在教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行引導(dǎo)和啟發(fā)才能完成自主學(xué)習(xí)。[1]因此，對(duì)于新課標(biāo)要求的以學(xué)生為主導(dǎo)，從關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)向誘導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，并在學(xué)習(xí)過(guò)程中增加動(dòng)手操作能力，與實(shí)際生活相連以便完成“學(xué)以致用”等，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)過(guò)程中履行起來(lái)頗具有難度。

一、高中三角函數(shù)里最值的重要性

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中三角函數(shù)的最值作為最為重要的知識(shí)領(lǐng)域之一，可以通過(guò)合理的選擇自變量來(lái)完成對(duì)習(xí)題的解答，這一步是習(xí)題解答的關(guān)鍵。以“角”為切入點(diǎn)，作為自變量去搭建起函數(shù)關(guān)系式也是目前解決高中三角函數(shù)中無(wú)法求解的方法之一。根據(jù)實(shí)際問(wèn)題尋找求解的方法，無(wú)論在應(yīng)用題的解答過(guò)程中還是在現(xiàn)實(shí)的生活遇到障礙時(shí)，均是解決問(wèn)題的重要思想，但是在高中三角函數(shù)量值求解中，卻因?yàn)閷W(xué)生無(wú)法切實(shí)掌握最值的概念，受到知識(shí)存儲(chǔ)和邏輯思維的不完善限制，在高中三角函數(shù)的最值問(wèn)題研究上面經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)無(wú)法解答和解答完成后不會(huì)以此方法去解答下一道高中三角函數(shù)最值題等的尷尬局面。

就此問(wèn)題來(lái)延伸到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和學(xué)生邏輯思維的拓展上來(lái)看，高中生的邏輯思維能力不強(qiáng)與之前在學(xué)習(xí)過(guò)程中，多依賴(lài)教師的代為知識(shí)梳理、教師對(duì)其進(jìn)行方法的灌輸、參考資料的輔助、對(duì)網(wǎng)絡(luò)上各種題型已經(jīng)被解答出答案的簡(jiǎn)單復(fù)制等，但是這些問(wèn)題均來(lái)自當(dāng)前教育體制長(zhǎng)期積累下來(lái)的弊端，無(wú)法從根本上改變。由此，執(zhí)教者在進(jìn)行高中三角函數(shù)最值的教學(xué)時(shí)，務(wù)必要將幫助高中生進(jìn)行邏輯思維系統(tǒng)的建立和拓展。

二、高中三角函數(shù)里最值的解法

高中三角函數(shù)中的最值，區(qū)分于集合中的最值研究，按照最值本身的含義可以解釋為最大值或者最小值。[2]三角函數(shù)的最大值和最小值，無(wú)法用空間的立體感進(jìn)行討論，但是因?yàn)樽钪当旧硎菤v年高考中的重要熱點(diǎn)和難點(diǎn)，所以從考核的角度來(lái)看，將含有三角函數(shù)最值的歷年高考試題抽取出來(lái)進(jìn)行羅列，那么從中就可以發(fā)現(xiàn)高中三角函數(shù)中最值使用及表現(xiàn)的邏輯規(guī)律。

高中數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際運(yùn)用性并不是特別的強(qiáng)，它注重的是對(duì)數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)與運(yùn)用，通過(guò)對(duì)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的思想方法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的要點(diǎn)。高中數(shù)學(xué)思想有很多，針對(duì)不同的題型會(huì)有不同的運(yùn)用，本文針對(duì)高中三角函數(shù)最值問(wèn)題僅以轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想為例進(jìn)行探討，對(duì)引導(dǎo)學(xué)生解題起到拋磚引玉的作用：

例1已知函數(shù)f（x）=sin2x-cos2x，x∈R.求函數(shù)f（x）在區(qū)間[，]上的最值。

分析：此種類(lèi)型的題屬于y=asinx+bcosx+c型，可利用輔助角公式化成y=a2+b2sin（x+φ）+c（其中tanφ=）來(lái)解決。

解：∵f（x）=sin2x-cos2x=2sin（2x-），

又∵f（x）在區(qū)間[，]上為增函數(shù)，在區(qū)間[，]上為減函數(shù)，又f（）=0，f（）=2，f（）=-1，

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[，]上的最大值為2，最小值為-1。

例2已知函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R.求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時(shí)自變量x的集合。

分析：此種類(lèi)型的題屬于y=asin2x+bsinxcosx+c.cos2x難度相對(duì)較大，可利用降冪公式整理化成y=Asin2x+Bcos2x+C，再轉(zhuǎn)化為類(lèi)型一求解。

解：∵f（x）=（sin2x+cos2x）+2sinxcosx+2cos2x

=1+2sinxcosx+2cos2x

=sin2x+cos2x+2

=2+2sin（2x+）

∴當(dāng)2x+=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最大值2+2，且函數(shù)f（x）取得最大值時(shí)自變量x的集合{x|x=kπ+，k∈Z}。

例3求函數(shù)的值域（最大值最小值）。

分析：對(duì)于型三角函數(shù)問(wèn)題，我們通常的解法是把其轉(zhuǎn)化為形式，再利用輔助角公式求其最值。這種方法比較傳統(tǒng)，也是同學(xué)們比較容易想到的解題方法，但是這種方法比較復(fù)雜，在轉(zhuǎn)化和求解的過(guò)程中稍有不慎就會(huì)滿(mǎn)盤(pán)皆輸。針對(duì)這種現(xiàn)象我們可以轉(zhuǎn)變學(xué)生的思維，引導(dǎo)他們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題，這樣既發(fā)散了學(xué)生的思維、加快了解題速度同時(shí)還保證了準(zhǔn)確率。

解：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，求原函數(shù)的值域等價(jià)于求單位圓上的點(diǎn)P（cosx，sinx）與定點(diǎn)Q（2，0）所確定的直線的斜率的范圍。作出如圖得圖像，當(dāng)過(guò)Q點(diǎn)的直線與單位圓相切時(shí)得斜率便是函數(shù)得最值，由幾何知識(shí)，易求得過(guò)Q的兩切線得斜率分別為-、。結(jié)合圖形可知，此函數(shù)的值域是。

三、高中三角函數(shù)里最值中的邏輯思考點(diǎn)

邏輯性思維的建立并不是一朝一夕的事情，當(dāng)然有時(shí)候一旦突破某個(gè)點(diǎn)之后就若醍醐灌頂般完全領(lǐng)悟其中的奧秘。就高中三角函數(shù)里最值的研究方面這個(gè)邏輯思維的運(yùn)用，可以從對(duì)高中三角函數(shù)的認(rèn)知延伸出來(lái)。三角函數(shù)最值的解答必須建立在對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行掌握的基礎(chǔ)之上，其題型的形式多樣，如單純作為考察值域所出現(xiàn)的選擇填空題、作為解答題中的隱含要素或者直接作為應(yīng)用題型需要直接做出解答等。[3]

學(xué)生在進(jìn)行高中三角函數(shù)里最值的解答時(shí)，因?yàn)榻忸}的思路不清晰也就是我們?cè)谇懊嬲劦降倪壿嬎季S不明朗會(huì)導(dǎo)致不能抓住題目的本質(zhì)，分不清究竟在考察何種知識(shí)點(diǎn)，那么因?yàn)槿枪椒N類(lèi)很多，即便是一個(gè)一個(gè)公式用來(lái)做做試試看的話(huà)，也許會(huì)得出答案與參考答案等同，但是這并不意味著題目就此解析出來(lái)，對(duì)這道題的認(rèn)知也就相應(yīng)的出現(xiàn)了具象型概念。往往對(duì)學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)候造成自信心受挫，遇到高中三角函數(shù)就撓頭的，大都源于僅僅是為了最后的結(jié)果而做題或者學(xué)習(xí)，邏輯思維并沒(méi)有在做題的過(guò)程中形成和建立，由此，學(xué)生在題海戰(zhàn)術(shù)中只能疲于奔命。

例如：對(duì)于Y=asinx+bcosx類(lèi)型的函數(shù)對(duì)其求法就可以按照統(tǒng)一性規(guī)則求解，對(duì)于這種函數(shù)就可以sinx和cosx作為統(tǒng)一的一種函數(shù)值來(lái)納入求解過(guò)程：已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+）+sin2x+sinxcosx，求f（x）的最小值和取得最小值時(shí)X的值。在這樣的題型里，可以將解答的方式轉(zhuǎn)化成為單純的cosx或者單純的sinx來(lái)求值則相對(duì)容易些。解答的時(shí)候，根據(jù)sinx和cosx之間的轉(zhuǎn)化公式，可以得出2cosxsin（x+）=2cosx（cosxsin+sinxcos），這一步中的延展就是利用了sinx和cosx的關(guān)系這些在解答題之前是可以按照數(shù)學(xué)習(xí)慣性思維進(jìn)行分析的。

經(jīng)過(guò)這樣一步之后整體就變成了sin2x和Sinx、cosx之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化，由此，從這一步轉(zhuǎn)化后，f（x）的比值就是cos2x與2cosxsinx之間的和值解答，最后結(jié)果自然就是2sin（2x+），那么周期最小自然就是π值。而將2x+進(jìn)行延展，帶入kπ值（K∈Z）那么最后取得的f（x）的最小值結(jié)果為-2。在這道題的求解過(guò)程中，學(xué)生所用到的只有兩種公式的裝換，從這兩種公式的轉(zhuǎn)化過(guò)程中繼續(xù)提煉，那么可以得到此類(lèi)型的公式y(tǒng)=a2+b2sin（x+?）時(shí)，tag?的值就可以用a和b的比值來(lái)進(jìn)行解答。[4]對(duì)于三角函數(shù)最值的計(jì)算中，最初始的幾個(gè)公式以及公式之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系所組成的公式組，它們的存在性以及它們彼此之間存在的邏輯關(guān)系是學(xué)生在解答此類(lèi)題時(shí)一定要理清楚的，一旦將這些在腦海中構(gòu)建起來(lái)，那么逐步進(jìn)行從易到難的問(wèn)題解析，那么關(guān)于三角函數(shù)各個(gè)公式以及各個(gè)題型之間的邏輯關(guān)系拓展必然會(huì)有新的突破。

參考文獻(xiàn)

[1]高慧明.高中數(shù)學(xué)知識(shí)科學(xué)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)反思研究[A]國(guó)家教師科研基金十一五階段性成果集（湖北卷）[C]，2010.

[2]孫平.三角函數(shù)最值的求解[J]新課程（教師），2010.09.

[3]劉旭.信息技術(shù)和數(shù)學(xué)教學(xué)的整合讓我和學(xué)生共同成長(zhǎng)[A]教育技術(shù)：信息化階段新發(fā)展的研究[C]，2007.

[4]李春霞.單位圓在三角函數(shù)中的教學(xué)功能探析[N]學(xué)知報(bào)，2011.

作者簡(jiǎn)介：王曉雪（1982.08-）.女，福建廈門(mén)人，漢族，樂(lè)安中學(xué)一級(jí)教師，本科，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。