小數(shù)乘除法的算理剖析

吳靜環(huán)

[摘 要]計(jì)算教學(xué)中，教師往往出示幾個(gè)例題，引導(dǎo)學(xué)生觀察歸納出運(yùn)算法則和性質(zhì)后就讓學(xué)生進(jìn)行大量應(yīng)用訓(xùn)練，這樣一來(lái)，幾道題的解題訓(xùn)練就可以起到立竿見(jiàn)影的效果，因?yàn)榻處熃o的題目基本上都是設(shè)計(jì)好數(shù)據(jù)的，非常好算。實(shí)踐證明，沒(méi)有專項(xiàng)的計(jì)算訓(xùn)練，沒(méi)有深入的算理研究，學(xué)生就不會(huì)有過(guò)硬的計(jì)算技能。

[關(guān)鍵詞]小數(shù); 乘除法;算理

計(jì)算是所有小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)得以順利運(yùn)用的前提，是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)框架的基石和鋼筋。由于教材中對(duì)計(jì)算教學(xué)的設(shè)計(jì)非常簡(jiǎn)略和零散，因此有些教師認(rèn)為，所謂計(jì)算教學(xué)，無(wú)非是一些數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單疊加融合或者分離削減，也就是加減乘除的運(yùn)算，技術(shù)含量較低，只要遵循運(yùn)算順序按法則計(jì)算，就不會(huì)出紕漏，從而對(duì)計(jì)算的內(nèi)涵和性質(zhì)視若無(wú)睹，缺少必要的鉆研，客觀上降低了計(jì)算教學(xué)的門檻。在本校舉辦的學(xué)生計(jì)算能力普查中，這一嚴(yán)峻的問(wèn)題更是暴露無(wú)遺，引起全校數(shù)學(xué)教師的重視和警惕。

一、直擊易錯(cuò)題，尋找原因

筆者對(duì)學(xué)校五年級(jí)學(xué)生進(jìn)行檢測(cè)，在分析測(cè)評(píng)卷的過(guò)程中，驚奇地發(fā)現(xiàn)“0.25÷0.1○0.25×9”這道題的錯(cuò)誤率竟高達(dá)76.7%。一道判斷大小的常規(guī)題，錯(cuò)誤率卻高得出奇，令人始料未及。隨后筆者詢問(wèn)了受試的全體學(xué)生：“0.25÷0.1○0.25×9，左右兩邊的算式的值都能精確計(jì)算出結(jié)果，你覺(jué)得哪邊大哪邊?。拷o出你的理由。調(diào)查結(jié)果顯示，學(xué)生多半是連估帶猜，憑著對(duì)乘除法的基本意義妄加揣測(cè)，無(wú)端臆斷——除法就是將總數(shù)平均分成若干份，求一份是多少，所以平均分之后只會(huì)越分越少;而乘法則是除法的逆運(yùn)算，剛好相反，是將若干份等量的物品合并起來(lái)，是擴(kuò)倍、累加的過(guò)程，是一個(gè)聚少成多的操作，因此數(shù)據(jù)會(huì)暴增，毫無(wú)疑問(wèn)，上述式子左邊的結(jié)果小于右邊的結(jié)果。

學(xué)生為何會(huì)如此武斷地下結(jié)論？筆者隨后梳理和歸整了教材中所有有關(guān)乘除法的知識(shí)（如表1）。

分析表1不難發(fā)現(xiàn)，五年級(jí)所學(xué)的小數(shù)乘除法是對(duì)整數(shù)乘除法的延伸和拓展，認(rèn)識(shí)難度和思維含量有所增加，乘除法的計(jì)算結(jié)果不再限于整數(shù)范疇，已經(jīng)引申和擴(kuò)散，一直拓寬到小數(shù)、分?jǐn)?shù)領(lǐng)域，認(rèn)識(shí)也更加細(xì)化。解答此題時(shí)，學(xué)生是直接將整數(shù)乘除法運(yùn)算意義生搬硬套移植到小數(shù)乘除法中，這屬于負(fù)遷移，說(shuō)明學(xué)生對(duì)小數(shù)乘除法的意義沒(méi)有深刻認(rèn)識(shí)，僅僅是憑借個(gè)人想當(dāng)然的理解來(lái)揣度，而課堂教學(xué)中教師又沒(méi)有及時(shí)解析和點(diǎn)撥，所以才使得上述錯(cuò)解的集中出現(xiàn)。

二、利用題組對(duì)比辨析

奧蘇伯爾的認(rèn)知同化理論指出：人類學(xué)習(xí)新知的過(guò)程實(shí)際上是新舊表象相互磨合兼容的過(guò)程，學(xué)習(xí)者必須努力捕捉到原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中能夠融合新知的接口，這里的“同化”指的是求知者把新知一步步導(dǎo)入原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中，從而補(bǔ)充和完善知識(shí)結(jié)構(gòu)。學(xué)習(xí)者能否順利吸納新知，很大程度上取決于原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中是否存在天然的與新知的某種“親緣關(guān)系”。照此理論，教師必須在教學(xué)新知前查清學(xué)生原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中存在哪些“近親因子”，并據(jù)此開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)。教師在教學(xué)時(shí)倘若做好了充分的學(xué)情分析，精準(zhǔn)把握教材，錯(cuò)誤應(yīng)該可以避免。

綜合以上分析，筆者認(rèn)為應(yīng)從以下兩方面加強(qiáng)教學(xué)。

第一，準(zhǔn)確把握教材，合理靈活運(yùn)用。倘若仔細(xì)研究教材，不難發(fā)現(xiàn)北京版教材五年級(jí)上冊(cè)第7頁(yè)的第7題和第24頁(yè)的第8題分別對(duì)整數(shù)乘除法和小數(shù)乘除法進(jìn)行了對(duì)比辨析：第7頁(yè)的第7題讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算，對(duì)比得出：一個(gè)數(shù)乘以純小數(shù)，積比這個(gè)數(shù)要小。

蘇教版教材五年級(jí)上冊(cè)第24頁(yè)的第8題，也有異曲同工之妙。通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，被除數(shù)為任意一個(gè)正數(shù)，除數(shù)大于1時(shí)，商小于被除數(shù)，即越除越小;除數(shù)小于1時(shí)，商大于被除數(shù)，即越除越大。從學(xué)生的錯(cuò)例可以管窺出教師把握教材的重要性。只有深入透析教材，準(zhǔn)確把握其學(xué)科精神實(shí)質(zhì)，才能成功幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系。這就意味著教師在平時(shí)教學(xué)中要注重新舊知識(shí)的對(duì)比辨析，使學(xué)生看清形式上的相似與本質(zhì)上的區(qū)別。

三、自創(chuàng)題組直擊本質(zhì)

奧蘇伯爾曾提出融會(huì)貫通的學(xué)習(xí)法，該理論認(rèn)為教師在演進(jìn)分化出新知的同時(shí)，還要注重分化出的各個(gè)分支之間的橫向關(guān)聯(lián)，要及時(shí)為學(xué)生打通新舊知識(shí)的隔膜，揭破其區(qū)別和聯(lián)系，防止由于知識(shí)表現(xiàn)形式的不同而引起的對(duì)相同本質(zhì)的無(wú)端猜疑，促進(jìn)新舊知識(shí)的“和平共處”。就小數(shù)乘除法的教學(xué)來(lái)說(shuō)，筆者認(rèn)為可以編制關(guān)聯(lián)度明顯的對(duì)比題組來(lái)點(diǎn)破知識(shí)間的連接點(diǎn)，讓學(xué)生捕獲知識(shí)的轉(zhuǎn)化接口，運(yùn)用同化和順應(yīng)的理論，幫助學(xué)生全面掌握知識(shí)，自主建構(gòu)知識(shí)系統(tǒng)。

提問(wèn)：在得數(shù)欄里圈出所有的7.2。為什么乘數(shù)不同，所得乘積都是7.2呢？

預(yù)設(shè)1：以第一列算式為參照，第二列算式的兩個(gè)因數(shù)分別縮小至原來(lái)的[110]，積就縮小到原來(lái)的[1100]，所以積是7.2。

預(yù)設(shè)2：計(jì)算小數(shù)乘法時(shí)，先忽略小數(shù)點(diǎn)的存在，把小數(shù)視為整數(shù)來(lái)計(jì)算，算出整數(shù)積后清點(diǎn)因數(shù)中的小數(shù)位數(shù)，再在整數(shù)積中從右至左點(diǎn)出幾位小數(shù)。

總結(jié)：小數(shù)乘法的算理算法來(lái)源就是積的變化規(guī)律。

學(xué)生先以第一列的算式為參照，填出其他各列所缺失的數(shù)字。

提問(wèn)：觀察這些數(shù)據(jù)，你有哪些疑問(wèn)？

預(yù)設(shè)1：被除數(shù)、除數(shù)各不相同，但是為什么商始終是21呢？

預(yù)設(shè)2：商恒等于21，你有什么想法？（指引學(xué)生發(fā)現(xiàn)小數(shù)除法的算理：利用商不變定律，將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法，求商后根據(jù)商的通用性，將整數(shù)商直接挪用作小數(shù)商。）

提問(wèn)：明明一個(gè)是乘法，一個(gè)是除法，但為何計(jì)算結(jié)果偏偏相同，其中有何奧妙呢？被圈定的兩列數(shù)，一個(gè)是除數(shù)，一個(gè)是乘數(shù)，各有什么關(guān)聯(lián)？（指引學(xué)生發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)數(shù)的乘積都是1）

預(yù)設(shè)：1÷0.1，將除法算式轉(zhuǎn)化成乘法算式1×10，除以0.1就相當(dāng)于倒過(guò)來(lái)擴(kuò)大10倍;1÷0.01，將除法算式轉(zhuǎn)化成乘法算式1×100，除以0.01就相當(dāng)于倒過(guò)來(lái)，擴(kuò)大100倍;1×0.5，將乘法算式轉(zhuǎn)化成除法算式1÷2，乘以0.5，就相當(dāng)于倒過(guò)來(lái)縮小2倍。這就完美地解釋了一個(gè)數(shù)（不是0）除以純小數(shù)，所得的商為什么反而比被除數(shù)大，而乘一個(gè)純小數(shù)，所得的積反而比被乘數(shù)還要小。

總結(jié)：從上述題組的解答中，可以明顯感受到轉(zhuǎn)化思想的強(qiáng)大作用。

綜上所述，教師對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤不能回避，應(yīng)深入了解學(xué)生的計(jì)算功底，找準(zhǔn)錯(cuò)因，追根溯源，從而改進(jìn)教學(xué)方法，做到因勢(shì)利導(dǎo)、循循善誘。

（責(zé)編 黃春香）