追根溯源，弄清單位面積圖形選取背后的原因

慕若楠

[摘 要]數(shù)學(xué)是一門邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，一些看似平常的概念、定義其實(shí)大有深意。尤其是小學(xué)數(shù)學(xué)，涉及許多從生活中抽象而來或者是受生活啟示而衍生出來的概念，它們都是有著真實(shí)的生活原型的。因此，在平時(shí)的教學(xué)中，對(duì)一些難以理解的概念追根溯源，有助于學(xué)生理解概念本質(zhì)。

[關(guān)鍵詞]面積單位;密鋪;多邊形;內(nèi)角

教學(xué)中，教師普遍將邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形的面積作為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)面積單位，即單位面積。對(duì)此，筆者不禁思考：世上的平面圖形千千萬萬，為何獨(dú)獨(dú)選擇邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形作為標(biāo)準(zhǔn)？如果選擇其他規(guī)則、美觀、便于計(jì)算面積的平面圖形作為標(biāo)準(zhǔn)，是否也可以？這種猜想并非離經(jīng)叛道。筆者認(rèn)為，帶領(lǐng)學(xué)生驗(yàn)證這一猜想，可以令學(xué)生在理解數(shù)學(xué)概念的同時(shí)，通過溯源式反思來論證單位面積的定義的科學(xué)性和合理性，感受數(shù)學(xué)概念的精確性與嚴(yán)密性。

首先可以明確，無論選擇哪種規(guī)則的平面圖形作為單位面積圖形，都必須滿足一定的前提和要求。第一，選擇的單位面積圖形必須能夠最大限度地密鋪一個(gè)平面圖形，盡可能做到嚴(yán)絲合縫，用形狀、大小一致的圖形拼連后，彼此之間不留空隙、不交疊覆蓋，剛好將被測(cè)平面圖形鋪滿，即能做到密鋪。第二，方便測(cè)算。這種圖形既要常見，又要便于切分和計(jì)算面積，不必刻意追求新奇怪異。根據(jù)上述兩個(gè)要求，下文將從不同角度論證把邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形作為單位面積圖形的合理性與科學(xué)性。

一、可以做到單層密鋪的正多邊形

要想實(shí)現(xiàn)密鋪，首要條件是滿足若干個(gè)內(nèi)角恰能圍成360°。又因?yàn)檎噙呅蔚膬?nèi)角公式為[（n-2）× 180°n]（n為正多邊形的邊數(shù)，n大于或等于3且為整數(shù)），用正n邊形進(jìn)行單層密鋪時(shí)，假定有一個(gè)聚集點(diǎn)，在這個(gè)聚集點(diǎn)處，若干個(gè)內(nèi)角拼接成一個(gè)周角，如此循環(huán)往復(fù)，交互相接，每個(gè)正多邊形的各邊都與其他正多邊形的某邊重合，才可以實(shí)現(xiàn)密鋪。也就是當(dāng)[360°（n-2）× 180°n]=[2nn-2]=2+[4n-2]為整數(shù)時(shí)，才滿足要求。要想使其結(jié)果為整數(shù)，只有當(dāng)n-2是4的因數(shù)時(shí)才能實(shí)現(xiàn)。分析可知，只有當(dāng)n=3、4、6時(shí)，才能讓原式的結(jié)果為整數(shù)。也就是說，只有當(dāng)正多邊形的邊數(shù)為3、4或6時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)對(duì)任意平面的密鋪。顯然，常見的等邊三角形、正方形和正六邊形才能實(shí)現(xiàn)密鋪（如圖1、圖2、圖3）。

二、可以實(shí)現(xiàn)密鋪的其余特例

其實(shí)除了上述很容易想到的例子外，還有些不容易想到的特例，那就是利用演繹推理，將正方形推廣為一般的凸四邊形。正方形的內(nèi)角和是360°，一般四邊形的內(nèi)角和也是360°，正是由于任意一個(gè)凸四邊形的內(nèi)角和也是360°，因此只要是凸四邊形，總可以設(shè)法將4個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)周角。通俗地講，就是將4個(gè)全等的凸四邊形的4個(gè)不同內(nèi)角拼接到一起，湊成周角，在外部實(shí)現(xiàn)內(nèi)角的拼合。具體操作時(shí)，只要?jiǎng)澏ㄒ粋€(gè)聚點(diǎn)，然后讓4個(gè)全等凸四邊形的4個(gè)不同頂點(diǎn)與聚點(diǎn)重合。除此之外，還要保證相等的對(duì)應(yīng)邊兩兩重合，這就要求在拼擺四邊形時(shí)要學(xué)會(huì)翻轉(zhuǎn)。拼接同一個(gè)內(nèi)角可以有正反兩面兩種擺法，為了對(duì)應(yīng)邊能夠重合，有時(shí)需要翻轉(zhuǎn)拼接，這樣才能做到不交疊、不留縫地密鋪（如圖4）。

觀察圖4可以發(fā)現(xiàn)，任意凸四邊形也能做到密鋪，只不過密鋪后的四邊形不再只有一個(gè)擺放方向，存在顛倒的情形。在這里特別指出四邊形里能實(shí)現(xiàn)密鋪的另外幾種特例，任意平行四邊形和長(zhǎng)方形也能實(shí)現(xiàn)密鋪（如圖5、圖6）。由于任意兩個(gè)全等三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形，因此任意三角形也可以實(shí)現(xiàn)密鋪（如圖7）。

那么是不是除了這些圖形可以密鋪，其他圖形都不能呢？其實(shí)不是，實(shí)際上還存在大量可以密鋪的不規(guī)則圖形，雖然它們的內(nèi)角與內(nèi)角和無法精確測(cè)量和計(jì)算，但是各條邊線可以完美重合。例如，圖8是曲邊圖形的密鋪，圖9是不規(guī)則多邊形的密鋪。

通過以上分析不難發(fā)現(xiàn)，能夠做到密鋪的幾何圖形有很多。筆者將其大致分為三類：一類是根據(jù)正多邊形內(nèi)角公式推理出的等邊三角形、正方形和正六邊形;另一類是根據(jù)正方形演繹推理出來的任意凸四邊形、任意三角形;還有一類是根據(jù)觀察和實(shí)踐可以確證的各種奇形怪狀的平面圖形。

三、哪些平面圖形的大小適合作為面積單位

眾所周知，數(shù)學(xué)是研究空間線性結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，同時(shí)也是揭示自然規(guī)律和解釋事物之間數(shù)學(xué)聯(lián)系的思維工具。因此，為單位面積挑選平面圖形時(shí)，方便計(jì)算和測(cè)量是首先應(yīng)該考慮的。而考慮到使用的普及性和簡(jiǎn)易性，還應(yīng)該選擇生活中常見的圖形。

那么生活中哪種圖形最易被人們接受呢？毫無疑問，最能引起人類的視覺分辨度的無外乎方方正正的形狀。例如用邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形作為單位面積圖形來測(cè)算地板、墻壁、黑板、乒乓球桌、方桌等的面積，不但能實(shí)現(xiàn)密鋪，而且可以很直觀地看出鋪了幾行幾列，然后利用“列數(shù)×行數(shù)”很容易就能算出待測(cè)平面包含多少個(gè)單位面積圖形。而用其他圖形，例如正三角形或正六邊形，抑或其他不規(guī)則圖形作為單位面積圖形，都不能得到整齊劃一的水平和豎直都對(duì)齊的矩陣，計(jì)算其數(shù)量變得復(fù)雜煩瑣。更令人頭疼的是，無論怎么拼接這些正三角形、正六邊形或其他不規(guī)則圖形，因?yàn)槭墙诲e(cuò)排列的，很難將一般方形鋪滿，尤其是邊緣處，極易留縫（如圖10）。這樣一來，自然也難計(jì)量出待測(cè)面包含多少個(gè)單位面積。

因此，綜合考慮密鋪的各種條件，除了矩形外，其他圖形都或多或少有一些缺陷，故不作考慮。

四、為何最后選擇正方形

如果選擇普通長(zhǎng)方形作為面積單位，也能做到密鋪，同樣也可以利用“行數(shù)×列數(shù)”求出單位面積的總數(shù)，但是為何又拋棄了長(zhǎng)方形呢？例如選擇長(zhǎng)寬比是2∶1的長(zhǎng)方形為單位面積圖形去測(cè)量一個(gè)長(zhǎng)10、寬8的長(zhǎng)方形的面積，也可以密鋪出8行、5列，那么就可以算出待測(cè)面的面積為40個(gè)這樣的單位面積。而如此一來，作為單位面積圖形的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)2、寬1，如圖11，待測(cè)面的長(zhǎng)被測(cè)定為10個(gè)“長(zhǎng)度單位”，而寬卻被測(cè)定為4個(gè)“寬度單位”，即測(cè)量一個(gè)圖形中的長(zhǎng)度時(shí)出現(xiàn)了“雙重標(biāo)準(zhǔn)”，就會(huì)使得長(zhǎng)度的度量和面積的計(jì)算出現(xiàn)混亂，喪失了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)練性和精悍性。

綜上所述，筆者認(rèn)為，邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形是單位面積圖形的不二之選，其原因在于正方形不但可以實(shí)現(xiàn)密鋪，而且在測(cè)算時(shí)簡(jiǎn)便明了、便捷易行。文章討論的命題是人們覺得司空見慣的，也是熟視無睹的，可以看出，對(duì)一個(gè)看似很不起眼的面積單位的規(guī)定進(jìn)行論證，卻彰顯了數(shù)學(xué)精神的精確性與嚴(yán)密性。

（責(zé)編 吳美玲）