新高考數(shù)學(xué)解析幾何試題分析及教學(xué)建議

嚴(yán)運(yùn)華

2021年是廣東省實(shí)施新高考改革的第一年，高考數(shù)學(xué)不再分文理科，不同選科（3+1+2）的考生都采用同一套試題. 新高考仍然堅(jiān)持中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系“一核、四層、四翼”的命題指導(dǎo)思想，試題將“四層”的考查內(nèi)容及學(xué)科關(guān)鍵能力的考查與思想道德的滲透有機(jī)結(jié)合，通過(guò)科學(xué)設(shè)置“學(xué)科核心素養(yǎng)”考查的總體布局，實(shí)現(xiàn)融知識(shí)、能力、價(jià)值的綜合測(cè)評(píng)，從而使“立德樹(shù)人”真正在高考評(píng)價(jià)實(shí)踐中落地. 新高考數(shù)學(xué)試卷呈現(xiàn)新的特點(diǎn)：首先表現(xiàn)在試卷結(jié)構(gòu)上，全卷共22道試題，其中選擇題（單選）8道，選擇題（多選）4道，填空題4道，解答題6道;其次在試卷的考查內(nèi)容上，依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，取消了原來(lái)高考數(shù)學(xué)試題中的選做題（坐標(biāo)系與參數(shù)方程、不等式選講）;在具體題目的設(shè)計(jì)上也有新的變化. 本文對(duì)2021年新高考全國(guó)數(shù)學(xué)Ⅰ卷解析幾何試題進(jìn)行分析并提出教學(xué)建議.

一、2021年新高考數(shù)學(xué)解析幾何考查的知識(shí)點(diǎn)和核心素養(yǎng)情況

由右上表可知，2021年新高考全國(guó)卷解析幾何試題特點(diǎn)為：從內(nèi)容來(lái)看，覆蓋了直線(xiàn)、圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)等知識(shí)，著力于圓錐曲線(xiàn)的定義、方程、幾何性質(zhì)等主干知識(shí)的價(jià)值和考查力度;從思想方法來(lái)看，突出對(duì)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與整合等數(shù)學(xué)思想、方法的理解與應(yīng)用;從核心素養(yǎng)來(lái)看，試題體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀(guān)想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的考查. 其中，特別凸顯直觀(guān)想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查，解析幾何中的邏輯推理可利用“形”的特征，結(jié)合曲線(xiàn)的定義與平面幾何的有關(guān)性質(zhì)予以證明或轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算來(lái)證明. 也就是說(shuō)，邏輯推理核心素養(yǎng)的考查一般寓于直觀(guān)想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算之中. 由于每道試題的解法多樣，不同的解法體現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同一解法中也不只涉及一種核心素養(yǎng). 一道試題的完成需要學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，要綜合運(yùn)用多方面的核心素養(yǎng)分析問(wèn)題并解決問(wèn)題. 上表中試題體現(xiàn)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平判斷，是依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版2020年修訂）》中核心素養(yǎng)水平的界定原則而確定的.

二、2021年新高考數(shù)學(xué)解析幾何典型試題分析

新高考數(shù)學(xué)解析幾何試題解法入口寬，且隱含著一般性結(jié)論. 也就是說(shuō)，命題者是將一般化的結(jié)論特殊化處理后得到了高考試題.

例1.（2021年新高考全國(guó)數(shù)學(xué)Ⅰ卷第5題）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則MF1·MF2的最大值為（? ）

A. 13? B. 12? C. 9? D. 6

分析：這是一道單選題，解題方法多，既可用基本不等式也可用二次函數(shù)最值進(jìn)行求解.

解法1：由橢圓定義得MF1+MF2=2a=6，再根據(jù)基本不等式

MF1·MF2≤（）2（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)MF1=MF2=3時(shí)成立），故選C.

解法2：設(shè)MF1=t，則MF2=6-t，則MF1·MF2=-（t-3）2+9，由二次函數(shù)性質(zhì)知，MF1·MF2的最大值為9，故選C.

此題隱含的一般結(jié)論為：

定理1：已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：+=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則MF1·MF2的最大值為a2，最小值為b2.

證明：設(shè)MF1=t，則MF2=2a-t，且a-c≤t≤a+c，c為半焦距.

則MF1·MF2=-（t-a）2+a2，而a-c≤t≤a+c，當(dāng)t=a時(shí)，MF1·MF2的最大值為a2，當(dāng)t=a+c或t=a-c時(shí)，MF1·MF2的最小值為a2-c2，即為b2.

例2.（2021年新高考全國(guó)數(shù)學(xué)Ⅰ卷第21題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1（-，0），F(xiàn)2（，0），點(diǎn)M滿(mǎn)足MF1-MF2=2. 記M的軌跡為C.

（1）求C的方程;

（2）設(shè)點(diǎn)T在直線(xiàn)x=上，過(guò)T的兩條直線(xiàn)分別交C于A(yíng)，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且TA·TB=TP·TQ，求直線(xiàn)AB的斜率與直線(xiàn)PQ的斜率之和.

分析：本題第1問(wèn)，利用雙曲線(xiàn)的定義即可求解，但要注意雙曲線(xiàn)定義的嚴(yán)謹(jǐn)性，由于MF1-MF2=2<2=F1F2，故只能是雙曲線(xiàn)的右支;

第1問(wèn)還可以直接建立動(dòng)點(diǎn)M的方程，然后通過(guò)化簡(jiǎn)得出所求的軌跡.當(dāng)然，這種方法在化簡(jiǎn)方程時(shí)較為繁瑣. 第一種方法比較快捷.

（1）因?yàn)镸F1-MF2=2<2=F1F2，所以軌跡C是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)2a=2的雙曲線(xiàn)的右支，則a=1，c=，所以b2=c2-a2=16，所以C的方程為x2-=1（x≥1）.

第2問(wèn)可根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，直接求出TA·TB以及TP·TQ，從而得出直線(xiàn)AB的斜率與直線(xiàn)PQ的斜率關(guān)系;也可利用平面幾何知識(shí)轉(zhuǎn)化為A，B，P，Q四點(diǎn)共圓問(wèn)題，從而找出經(jīng)過(guò)A，B，P，Q四點(diǎn)的曲線(xiàn)方程，根據(jù)圓的方程特征，確定直線(xiàn)AB的斜率與直線(xiàn)PQ的斜率關(guān)系.

（2）解法1：用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程和弦長(zhǎng)公式求解.

設(shè)點(diǎn)T（，t），若過(guò)點(diǎn)T的直線(xiàn)的斜率不存在，此時(shí)該直線(xiàn)與曲線(xiàn)C無(wú)公共點(diǎn)，不妨設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y-t=k1（x-），即y=k1x+t-k1，

聯(lián)立y=k1x+t-

k1，

16x2-y2=16，消去y并整理可得：

（k12-16）x2+k1（2t-k1）x+（t-k1）2+16=0

設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1>且x2>. 由韋達(dá)定理可得x1+x2=，x1x2= 所以：

TA·TB=（1+k12）·x1-

·x2-

=（1+k12）·（x1x2-+）=.

設(shè)直線(xiàn)PQ的斜率為k2，同理可得TP·TQ=，

因?yàn)門(mén)A·TB=TP·TQ，即=，整理得k12=k22，即（k1-k2）（k1+k2）=0，顯然k1-k2≠0，故k1+k2=0. 因此，直線(xiàn)AB與直線(xiàn)PQ的斜率之和為0.

解法2：用圓的方程特征求解.

因?yàn)辄c(diǎn)T在直線(xiàn)x=上，故設(shè)T（，n），設(shè)過(guò)點(diǎn)T的直線(xiàn)AB的方程為y-n=k1（x-），設(shè)過(guò)點(diǎn)T的直線(xiàn)PQ的方程為y-n=k2（x-），則直線(xiàn)AB，PQ的方程為（k1x-y+n-k1）（k2x-y+n-k2）=0.

又A，B，P，Q四點(diǎn)在曲線(xiàn)C上，即x2-=1，所以A，B，P，Q四點(diǎn)在如下的曲線(xiàn)上，（k1x-y+n-k1）（k2x-y+n-k2）+x2--1=0.

因?yàn)門(mén)A·TB=TP·TQ，根據(jù)圓的切割線(xiàn)定理的逆定理，知A，B，P，Q四點(diǎn)共圓，所以上面這個(gè)方程表示過(guò)A，B，P，Q四點(diǎn)的圓，所以左邊展開(kāi)后x2，y2項(xiàng)的系數(shù)相等，且xy項(xiàng)的系數(shù)為零. 而xy項(xiàng)的系數(shù)為-（k1+k2），故 k1+k2=0.

解法2充分利用了曲線(xiàn)與方程的關(guān)系，結(jié)合圓的方程的特征得出結(jié)論.

此題第2問(wèn)隱含的一般結(jié)論為：

定理2：過(guò)點(diǎn)T的兩條直線(xiàn)分別交曲線(xiàn)C：ax2+by2=c（a≠b）于A(yíng)，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且TA·TB=TP·TQ，則直線(xiàn)AB的斜率與PQ直線(xiàn)的斜率之和為零.

定理3：設(shè)兩條直線(xiàn)y=kix+bi（i=1，2）與曲線(xiàn)ax2+by2+cx+dy+e=0（a≠b）有四個(gè)不同的交點(diǎn)，若這四個(gè)交點(diǎn)共圓，則k1+k2=0.

定理2與定理3本質(zhì)相同，因?yàn)橛善矫鎺缀吻懈罹€(xiàn)定理的逆定理知：TA·TB=TP·TQ等價(jià)于A(yíng)，B，P，Q四點(diǎn)共圓.

證明：兩直線(xiàn)組成的曲線(xiàn)方程為（k1x-y+b1）（k2x-y+b2）=0，

則過(guò)四個(gè)交點(diǎn)的曲線(xiàn)方程可設(shè)為：

（k1x-y+b1）（k2x-y+b2）+λ（ax2+by2+cx+dy+e）=0……①

若四點(diǎn)共圓，則方程①表示圓，那么①式左邊展開(kāi)式中xy項(xiàng)的系數(shù)為零，即有k1+k2=0.

顯然，例2是定理2、定理3的一個(gè)特例，近年高考命題常以一般結(jié)論為源，將其特殊化而得. 由于將一般命題特殊化的題目往往有多種解法，為不同水平的考生提供展示才能的機(jī)會(huì).

三、新高考數(shù)學(xué)解析幾何的教學(xué)建議

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生得分一直不太理想. 教師要加強(qiáng)研究，明晰高考解析幾何的試題特點(diǎn)，調(diào)整教學(xué)策略，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（一）注重通性通法，強(qiáng)化四種意識(shí)

解析幾何的教學(xué)要狠抓基礎(chǔ)，熟練方法. 對(duì)定義法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合、求軌跡的幾種常見(jiàn)方法、定點(diǎn)、定值、最值等基本方法要牢固掌握;解析幾何教學(xué)與復(fù)習(xí)要強(qiáng)化四種意識(shí).

1. 回歸定義的意識(shí)

圓錐曲線(xiàn)定義體現(xiàn)了圓錐曲線(xiàn)的本質(zhì)屬性，運(yùn)用圓錐曲線(xiàn)定義解題是一種最直接、最本質(zhì)的方法，往往能收到立竿見(jiàn)影之效. 回歸定義與數(shù)形結(jié)合相得益彰，成為解題中最美的風(fēng)景，體現(xiàn)幾何直觀(guān)與數(shù)學(xué)推理的素養(yǎng). 教師要提醒學(xué)生千萬(wàn)不可“忘本忘形”. 波利亞說(shuō)：“當(dāng)你不能解決一個(gè)問(wèn)題時(shí)，不妨回到定義去.”定義是解決問(wèn)題的原動(dòng)力. 不可忽視定義在解題中的應(yīng)用. 凡涉及圓錐曲線(xiàn)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)、離心率與曲線(xiàn)上的點(diǎn)的有關(guān)問(wèn)題，可考慮借助圓錐曲線(xiàn)定義來(lái)轉(zhuǎn)化.

2. 數(shù)形結(jié)合意識(shí)

華羅庚先生曾這樣描述數(shù)形關(guān)系：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛. 數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微. 數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非. 切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！”數(shù)形結(jié)合是解析幾何的基本方法， 是直觀(guān)想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的具體體現(xiàn).

3. 設(shè)而不求的意識(shí)

用解析法處理幾何問(wèn)題， 常常設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)而不具體求出. 根據(jù)點(diǎn)在曲線(xiàn)上，坐標(biāo)是有關(guān)方程解的代數(shù)特征，靈活運(yùn)用方程理論，通過(guò)整體思想處理坐標(biāo)關(guān)系，是設(shè)而不求的實(shí)質(zhì). 如果涉及曲線(xiàn)交點(diǎn)的問(wèn)題，可不求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，而是轉(zhuǎn)化為利用韋達(dá)定理或“點(diǎn)差法”的形式，可快速做出正確的解答.

4. 應(yīng)用“韋達(dá)定理”的意識(shí)

如果直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)的位置關(guān)系， 聯(lián)立直線(xiàn)方程和二次曲線(xiàn)方程，消去一個(gè)變量后得到一個(gè)一元二次方程，利用判別式和韋達(dá)定理. 其中判別式是前提，通過(guò)判別式確定參數(shù)范圍，應(yīng)引起重視.

（二）活用四種思想，加強(qiáng)知識(shí)聯(lián)系

高考解析幾何解答題綜合性強(qiáng)，需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求高. 函數(shù)思想、方程思想、不等式思想以及化歸與轉(zhuǎn)化思想等在解析幾何中有著廣泛的應(yīng)用.? 解析幾何中的參數(shù)范圍、圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)以及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，一直是高考考查的熱點(diǎn). 求解的關(guān)鍵是根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的有關(guān)性質(zhì)，構(gòu)造方程或不等式，根據(jù)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系確立目標(biāo)函數(shù)，將問(wèn)題化歸為目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值等問(wèn)題. 這些都需要靈活運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式以及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

注：本文系廣東省教育科研“十三五”規(guī)劃課題“高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)及評(píng)價(jià)研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：2017 YQJK023）的階段性成果.

責(zé)任編輯 羅 峰