經(jīng)歷過程，感悟思想

徐夢嬌

[摘? 要] 文章記述了“平均數(shù)”一課的教學(xué)過程。通過教學(xué)實踐，研究者提出建模教學(xué)中需為學(xué)生提供問題探究的過程，使其感悟抽象思想;需讓學(xué)生從操作中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和問題，使其感知模型思想;需讓學(xué)生經(jīng)歷深度思考的過程，使其領(lǐng)會模型思想。

[關(guān)鍵詞] 平均數(shù);模型思想;經(jīng)歷;小學(xué)數(shù)學(xué)

模型反映了大千世界中事物蘊含的共性，模型思想是學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與生活的重要途徑，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，由此可見其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位。因此，教師要有意識地將其滲透到數(shù)學(xué)活動之中，讓學(xué)生真實地感受到抽象建模的過程，從而建立模型思想，提升核心素養(yǎng)。在課堂上如何讓學(xué)生經(jīng)歷有過程的學(xué)習(xí)，深刻感受建模的抽象和轉(zhuǎn)化呢？筆者以“平均數(shù)”為課題進行嘗試，讓學(xué)生在經(jīng)歷解決問題的過程中，初步建立平均數(shù)模型思想。

一、教學(xué)實錄

教學(xué)片段1：趣味情境——指向已有經(jīng)驗，讓學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)過程

師：套圈的游戲你們是否參與過？大家快看，那邊有一群同學(xué)正在舉行套圈的比賽呢！（PPT出示情境圖）

師：他們的比賽男女生分開進行，每個人可以套圈15個，統(tǒng)計所得的信息如圖1所示，從中你能得出哪些信息呢？

生：共有3名男生參加比賽，套圈成績分別為5個，9個，4個;共有4名女生參加比賽，套圈成績分別為10個，2個，5個，3個。

師：那大家再來思考一下，男生與女生相比，哪個套得更準一些？（學(xué)生展開了火熱的討論，有的認為是男生，有的認為是女生，一場辯論賽拉開序幕）

師：看來我們的小朋友還沒有統(tǒng)一的意見。那我們先邀請認為“女生套得更準一些”的同學(xué)說一說他們的理解。

生1：套圈游戲中，套中最多的是女生，其中有一個套中了10個。

師：以一名女生的成績來斷定所有女生的水平，你們覺得這樣的判定方式合理嗎？

生2：很明顯是不合理的。你們看，還有一名女生只套中了2個，是個數(shù)最少的一個。

生3：女生套中的總數(shù)多一些，我認為她們更準一些。

生4：不一定，她們?nèi)藬?shù)也多一些??！

師：生4的觀察很仔細，他發(fā)現(xiàn)男生與女生的人數(shù)不相等?？磥?，我們遇到麻煩了！單個人之間進行比較又不合理，總數(shù)相比又不合適，那如何比較才能真正做到公平合理呢？

生5：如果讓所有男生的套圈個數(shù)相同，讓所有女生也相同，那就可以比較了。

師：很有創(chuàng)意的想法，老師大概明白你的意思了，就是將每名男生套中的個數(shù)均勻地分一分，使得每名男生套中個數(shù)相同;將每名女生套中的個數(shù)也均勻地分一分，使得每名女生套中個數(shù)相同。這樣一來，我們只需任意選擇一名男生和一名女生比較即可。是這樣嗎？

生5：對的。

師：其他同學(xué)明白了嗎？你們認為這樣公平嗎？

生（齊）：公平！

教學(xué)片段2：實踐操作——指向數(shù)學(xué)直觀判斷，讓學(xué)生獲得模型感知

師：那如何才能讓他們每人套中的個數(shù)一樣呢？大家看，這里有一張學(xué)具板，請以男生為例，并利用好這張學(xué)具板分組討論。（學(xué)生展開討論）

生6：我們組將多的移給少的，男生中套中最多的是9個，分給其他兩人各1個，那3人個數(shù)分別為6、7、5，再從7里拿出1個給5，則3人套中個數(shù)就都為6個了。（學(xué)具板演示）

師：這種方法在數(shù)學(xué)上稱為“移多補少法”，這種方法大家覺得好嗎？還有其他方法嗎？

生7：3個人中套得最少的男生是4個，可以以4為底數(shù)，將多下來的都加在一起1+5=6，再將這6個平均到3個人，由此每人套中6個。（同樣通過學(xué)具板演示）

師：設(shè)置底數(shù)，并將多出的合在一起，最后平均分，不錯！還有其他方法嗎？

生8：把所有的都合在一起，然后一個一個平均分，每人可分到6個。（操作學(xué)具演示）

師：不錯的方法，就是比較耗時，還有更簡單的方法嗎？

生9：直接列算式為5+9+4=18（個），18÷3=6（個）。

師：那這里的每個數(shù)各表示什么呢？算式又有何意義？6表示什么？

生10：將3個男生套中個數(shù)合起來，再平均分到每個男生，每人可以分到6個。6就是平均每個男生套中的個數(shù)。

師：你們真厲害！

教學(xué)片段3：深度思考——經(jīng)歷活動過程，讓學(xué)生感悟模型思想

師：那每個男生實際都套中了6個嗎？

生11：肯定不是啊，每個男生實際套中的個數(shù)都是不一樣的，6僅僅是假設(shè)而得的一個數(shù)。

師：不錯，6在這里只是反映男生的平均水平。那么，對比男生每人實際套中的個數(shù)與平均數(shù)，你有何發(fā)現(xiàn)？

生12：這個平均數(shù)比套中最多個數(shù)9要小，而比最小的數(shù)4大一些。

生13：這個平均數(shù)在4和9之間。

師：總結(jié)得很有道理，平均數(shù)在最大數(shù)和最小數(shù)之間。

師：那我們一起來猜測一下，女生套圈的平均數(shù)是多少？

生14：肯定比10小，比2大。

生15：我猜可能是5。

師：那我們一起來驗證一下吧！

生16：10+2+5+3=20（個），20÷4=5（個）。

師：那還有人用移多補少法或其他方法嗎？

生17：女生的人數(shù)太多了，而且個數(shù)相差較大，其他方法運用起來比較浪費時間，不如計算簡便。（其他同學(xué)點頭贊同）

師：真是會動腦筋的好孩子！看來不管在什么情況下，都可以用“總數(shù)÷份數(shù)”來求得平均數(shù)這種方法……

二、建立模型思想的有效途徑

1.為學(xué)生提供問題探究的過程，感悟模型思想

數(shù)學(xué)教材是學(xué)生學(xué)習(xí)活動的重要資源。教師在運用教材時，不能生搬硬造，而需深入理解教材，并創(chuàng)造性地使用教材，在課堂上設(shè)置有效的教學(xué)情境，通過有價值、有思維含量的問題設(shè)置引領(lǐng)學(xué)生去操作、去思考、去發(fā)現(xiàn)、去驗證，從而有效地鍛煉和發(fā)展學(xué)生的思維，同時讓模型思想初見端倪。游戲是激起學(xué)生興趣的載體，問題情境是學(xué)生思維的動力。本課中，教師致力于以趣味性游戲為載體引入新課，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。問題的設(shè)計也是從學(xué)生的生活入手，通過問題“男生與女生相比，哪個套得更準一些？”將學(xué)生的注意力吸引到對數(shù)學(xué)問題的研究上去，使學(xué)生經(jīng)歷了從游戲到數(shù)學(xué)的自然過渡，實現(xiàn)了新知的導(dǎo)入，而這里思維活動和數(shù)學(xué)猜想都是由“已有知識”逐步演變而來，從而為下一步的抽象和建模作好了鋪墊[1]。

2. 從操作中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和問題，感知模型思想

教材中的大部分問題所呈現(xiàn)的都是規(guī)范性問題，而建模問題的猜想、抽象和轉(zhuǎn)化這一重要環(huán)節(jié)已然省略，而這一環(huán)節(jié)可以讓學(xué)生感受到過程探究的必要性。問題的解決是學(xué)生領(lǐng)會模型思想的有利契機。為此，本課中教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生去實踐操作，讓學(xué)生真切感受模型的抽象和轉(zhuǎn)化。在這個過程中，教師放慢腳步，讓學(xué)生從動手操作的過程中，逐步找尋到數(shù)學(xué)關(guān)系和規(guī)律，將操作中的狀態(tài)和數(shù)學(xué)中的原理實行對接。通過對學(xué)具板的移移補補，讓學(xué)生獲得感知，逐步發(fā)現(xiàn)平均的方法，從而深刻理解平均的意義，初步感知平均數(shù)模型[2]。

3.讓學(xué)生經(jīng)歷深度思考的過程，領(lǐng)會模型思想

數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵一步，對問題的推廣本質(zhì)上就是以挑戰(zhàn)性思考引導(dǎo)學(xué)生深度理解該模型，是發(fā)展學(xué)生模型思想的關(guān)鍵。這就需要教師善于設(shè)問于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生更深入地思考問題提供可能。本課中，教師留出時間給學(xué)生思考和反思建模的過程，讓學(xué)生感悟到套圈游戲中平均數(shù)的意義，從而讓學(xué)生把游戲從具體的操作推廣到一般。在建模的過程中，發(fā)展學(xué)生的想象力，強化模型思想的領(lǐng)悟[3]。

總之，在學(xué)生的頭腦中固化模型思想是一個循序漸進的漫長過程，需要教師一以貫之地重視和滲透，結(jié)合學(xué)生的實際水平逐步推進，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的過程，為學(xué)生創(chuàng)造感悟和反思的時機，使其經(jīng)歷一個從模糊到清晰的領(lǐng)悟過程，讓思維混亂的學(xué)生逐步學(xué)會思考，并在不斷體悟中獲得模型思想，從而逐步內(nèi)化為自身的一種核心素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]? 楊承軍. 義務(wù)教育階段滲透數(shù)學(xué)模型思想的意義與策略探究[J].教育評論，2014（4）.

[2]? 史寧中，孔凡哲. 方程思想及其課程教學(xué)[J]. 課程·教材·教法，2004，24（9）.

[3]? 陳德前. 培養(yǎng)學(xué)生模型思想的實踐與思考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（z1）.