足球運動中不同旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡及力學分析

牛曼蘭

(安徽新華學院 通識教育部, 合肥 230088)

足球運動中的旋轉(zhuǎn)球指的是足球運動員運用不同的腳法，踢出球并使球在空中向前作弧線運行的過程[1]。根據(jù)腳法的不同，可以將足球旋轉(zhuǎn)分為內(nèi)旋球與外旋球。對不同旋轉(zhuǎn)球進行力學分析，能夠為日常的足球訓練提供科學的訓練數(shù)據(jù)，幫助足球運動員提高自身技術(shù)[2]。分析不同旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡，能夠科學規(guī)劃足球運動過程中旋轉(zhuǎn)球的方向，幫助足球運動員取得好成績，為此研究足球運動過程中不同旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡及力學分析是很有必要的。

國外研究旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡及力學分析起步較早，已經(jīng)形成成熟的分析研究體系，并已成熟地運用于足球運動員的日常訓練中[3]。國內(nèi)針對該方面的研究起步較晚，各個專業(yè)研究機構(gòu)對于足球運動中旋轉(zhuǎn)球的研究成果及文獻資料較少，仍需不斷改進學習。提出足球運動中不同旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡并對其進行力學分析，建立旋轉(zhuǎn)球坐標系分析旋轉(zhuǎn)球運動過程，對不同旋轉(zhuǎn)球進行軌跡追蹤，通過非線性變換得到軌跡狀態(tài)向量，確定運動軌跡起始點，采集運動過程的軌跡狀態(tài)向量，得到旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡。

1 足球運動中不同旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡及力學分析

1.1 旋轉(zhuǎn)球受力分析

對旋轉(zhuǎn)球進行受力分析時，首先定義足球的旋轉(zhuǎn)軸，以足球停滯在實際軌跡中的某個狀態(tài)為研究目標，結(jié)合空氣在足球旋轉(zhuǎn)過程中的流速[4]，建立坐標系如圖1所示。以旋轉(zhuǎn)狀態(tài)的足球旋轉(zhuǎn)軸為坐標系的Z軸，得到力坐標系：

圖1 建立的旋轉(zhuǎn)球坐標系

由旋轉(zhuǎn)球坐標系可知，將旋轉(zhuǎn)球的流速方向作為x軸，旋轉(zhuǎn)球受到壓強的方向為y軸。根據(jù)坐標系的方向分析可得到足球旋轉(zhuǎn)球在空氣中主要受到重力Fg，空氣阻力Fa以及馬格努斯力Fm的作用。定義上圖1旋轉(zhuǎn)球的時刻t下，旋轉(zhuǎn)球的運動速度為：

v(t)=[vx(t),vy(t),vz(t)]T，

(1)

式(1)中，T表示旋轉(zhuǎn)球的飛行時間，vx(t),vy(t),vz(t)分別表示不同軸向的運動速度。進而計算得到旋轉(zhuǎn)球的旋轉(zhuǎn)角速度，計算公式為：

W=[ωx,ωy,ωz]T，

(2)

式(2)中，ωx,ωy,ωz分別表示旋轉(zhuǎn)球不同軸向的角速度。綜合上述角速度及旋轉(zhuǎn)速度的數(shù)值，計算得到該時刻旋轉(zhuǎn)球的重力、空氣阻力以及馬格努力的數(shù)值：

(3)

式(3)中，m為足球的重量，g表示重力加速度，Cd表示空氣阻力系數(shù)，Cm表示馬格努斯力系數(shù)，ρ表示標準氣壓下的空氣密度，A表示足球的橫截面積，r表示足球的半徑，其余參數(shù)含義不變。由上述計算公式可知，空氣阻力大小與旋轉(zhuǎn)球的飛行速度平方成正比。當足球一側(cè)運動速度和旋轉(zhuǎn)速度方向不平行時，旋轉(zhuǎn)球的一側(cè)在空氣的作用下，飛行速度與旋轉(zhuǎn)速度疊加變大，旋轉(zhuǎn)球的另外一側(cè)速度與空氣作用相抵消，此時旋轉(zhuǎn)球兩側(cè)存在壓力差，形成旋轉(zhuǎn)球[5]。根據(jù)流體力學原理，該部分壓力差為馬格努斯力，綜合上述計算公式(3)中的力，得到旋轉(zhuǎn)球的運動過程，表達式為：

(4)

式(4)中，CD表示足球表面的粗糙程度，V(t)表示足球的加速度。根據(jù)計算出的數(shù)值，采用高速攝影機對足球旋轉(zhuǎn)運動過程進行采樣[6]，設(shè)置采樣幀率為120 fps，在一個采樣周期內(nèi)，保持足球的加速度和速度不變，在一個旋轉(zhuǎn)狀態(tài)內(nèi)，旋轉(zhuǎn)球的離散運動就可表示為：

(5)

式(5)中，k表示迭代周期，kd與km分別表示旋轉(zhuǎn)球的不同受力的迭代系數(shù)。其余參數(shù)含義保持不變。軌跡跟蹤上述受力分析得到的旋轉(zhuǎn)球的運動過程，最終完成對不同旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡及力學分析。

1.2 不同旋轉(zhuǎn)球的軌跡追蹤

在上述分析得到的旋轉(zhuǎn)球運動表達式下，定義旋轉(zhuǎn)球停止旋轉(zhuǎn)過程表示迭代過程結(jié)束，計算迭代過程產(chǎn)生的噪聲，計算公式為：

(6)

式(6)中，Cn表示升力系數(shù)，D表示足球的直徑，其余參數(shù)含義不變。在上述噪聲值的影響下，預(yù)測旋轉(zhuǎn)球的狀態(tài)向量，將上述計算得到的噪聲值作為先驗估計值，狀態(tài)向量就可表示為；

(7)

式(7)中，X(k|k-1)表示旋轉(zhuǎn)球狀態(tài)變量的先驗估計值，P(k|k-1)表示狀態(tài)變量協(xié)方差的先驗估計值，Ak表示運動過程函數(shù)F對狀態(tài)變量的偏導(dǎo)，Qk表示噪聲向量。根據(jù)上述狀態(tài)向量數(shù)值，劃分得到不同旋轉(zhuǎn)球的狀態(tài)數(shù)據(jù)數(shù)量，如表1所示。

表1 不同旋轉(zhuǎn)狀態(tài)的數(shù)據(jù)矢量

追蹤表1三種旋轉(zhuǎn)球的旋轉(zhuǎn)屬性時，利用非線性變換處理上述三種旋轉(zhuǎn)屬性的輸出數(shù)據(jù)矢量，非線性變換過程如圖2所示。

圖2 非線性變化過程

由圖2所示的非線性變化過程可知，設(shè)定輸出數(shù)據(jù)矢量的采樣點，計算非線性變換后輸出數(shù)據(jù)采樣點的方差及權(quán)重，根據(jù)方差值的分布距離，確定變換過程中的比例系數(shù)，完成對不同旋轉(zhuǎn)球的狀態(tài)追蹤，追蹤完畢后，形成旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡。

1.3 運動軌跡獲取

根據(jù)上述非線性變換過的軌跡狀態(tài)向量確定運動軌跡起始點，為了簡化軌跡跟蹤過程中的計算過程，將分布距離看作常數(shù)，不同旋轉(zhuǎn)球的坐標采樣點就可表示為：

(8)

式(8)中，κ(k)表示連續(xù)采樣運動過程中第k類的層級參數(shù)。根據(jù)上述采集點的追蹤結(jié)果，得到采樣點旋轉(zhuǎn)球的坐標，匯總采集點的坐標數(shù)值，如表2所示。

表2 軌跡采集點坐標

將表2所示的旋轉(zhuǎn)球在三項坐標作為軌跡數(shù)據(jù)集，采用非線性濾波處理表2中坐標數(shù)值，對旋轉(zhuǎn)球運動軌跡不斷更新，更新表達式如下：

(9)

式(9)中，Kn表示軌跡更新過程，n表示旋轉(zhuǎn)球的采集點，Qx，Qy，Qz分別表示三個軸向的數(shù)值，α表示旋轉(zhuǎn)球?qū)嶋H運動軌跡與三個軸的夾角，F(xiàn)n表示旋轉(zhuǎn)球的合力數(shù)值。根據(jù)上述整合形成的采樣點計算公式，在一個三維坐標下模擬得到旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡，如圖3所示。

圖3 旋轉(zhuǎn)球飛行軌跡

由圖3所示的旋轉(zhuǎn)球飛行軌跡，最終在力學分析前提下，完成對足球運動中不同旋轉(zhuǎn)球運動軌跡的研究。

2 仿真實驗

2.1 實驗準備

采用一個塑料顆粒模擬足球運動中的旋轉(zhuǎn)球，控制該塑料顆粒直徑為0.4 cm，密度為1 g/cm3，質(zhì)量為0.1 g。選用高速攝像機、秒表、水平尺作為實驗儀器。采用的高速攝像機和鏡頭的硬件參數(shù)如表3所示。

表3 實驗儀器硬件參數(shù)

采用如表3所示的各項參數(shù)控制下的實驗器材，選用三個形狀不同的內(nèi)筒作為塑料球的運動軌道，模擬不同旋轉(zhuǎn)球的軌跡情況。設(shè)定固體顆粒在內(nèi)筒內(nèi)的速度，如表4所示。

表4 設(shè)定的固體顆粒速度值

在表4所設(shè)定的速度值下進行實驗，不同的轉(zhuǎn)速與角速度對應(yīng)著不同旋轉(zhuǎn)球的狀態(tài)，分析小球在設(shè)定的內(nèi)筒內(nèi)的軌跡及受力情況。

2.2 實驗結(jié)果及分析

基于上述實驗準備，采用高速攝像機得到顆粒小球在不同轉(zhuǎn)速下的運動軌跡，如圖4所示。

圖4 不同轉(zhuǎn)速下小球的運行軌跡

由圖4所示的運行軌跡可知，在30 r/min轉(zhuǎn)速下，小球受到的離心力與差異性旋轉(zhuǎn)慣性力的作用方向相反，旋轉(zhuǎn)慣性力的數(shù)值大于其離心力的數(shù)值，小球做向心運動。在35 r/min轉(zhuǎn)速下，小球主要受到離心力與差異旋轉(zhuǎn)慣性力的作用，且該兩種力的方向相同，小球做離心運動。

保持上述實驗環(huán)境不變，以轉(zhuǎn)速為30 r/min的小球作為實驗對象。在實驗準備的內(nèi)筒中灌入水，控制水流的速度為勻速，來模擬足球在旋轉(zhuǎn)運動過程中受到的空氣壓力，采用文中研究的力學分析方法進行實驗。以水平尺顯示的刻度作為劃分對象，平均地將內(nèi)筒長度劃分為七個刻度，標定內(nèi)筒七個測點，七個測點小球的基本參數(shù)如表5所示。

表5 小球經(jīng)過測點速度基本參數(shù)

在表5所示的參數(shù)控制下，考慮到小球在內(nèi)管中徑向受力數(shù)值的不同，分析得到該轉(zhuǎn)速的小球的受力情況如圖5所示。

圖5 小球的受力情況

由圖5所示的小球受力情況可知，在模擬過程中小球共受到4個作用力的影響，由不同作用力的數(shù)值可知，小球在內(nèi)筒中受到幾乎為零數(shù)值的離心力。隨著時間不斷增加，質(zhì)量力分量不斷增大且為正方向，質(zhì)量力分量隨著時間不斷增加，平均值保持在-0.2 N左右。而阻力分量表現(xiàn)不穩(wěn)定，在0.6 s到0.8 s之間與2.4 s時受到力的負方向1.7 N的力，表明在模擬的旋轉(zhuǎn)球環(huán)境中，在不同的軌跡點中，存在著多種阻力分量。

綜合上述實驗準備及分析，完成對文中設(shè)計的運動軌跡及力學分析方法的驗證。實驗結(jié)果表明，在30 r/min轉(zhuǎn)速下，模擬旋轉(zhuǎn)球做向心運動，在35 r/min轉(zhuǎn)速下，小球做離心運動。小球受離心力、旋轉(zhuǎn)慣性力、質(zhì)量力分量及阻力分量4個力的共同作用，形成旋轉(zhuǎn)球。

3 結(jié)語

足球運動一直是體育運動研究領(lǐng)域的重點，基于旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡較為復(fù)雜，國內(nèi)對其運動及受力研究較少，因此，提出不同旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡及力學分析，并采用塑料顆粒模擬足球運動中的旋轉(zhuǎn)球，通過實際操作驗證了研究方法的有效性。

研究足球運動中不同旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡及力學分析，能夠更加科學地掌握足球的旋轉(zhuǎn)過程及運動軌跡，為我國足球運動提供更加科學的訓練方案，幫助我國足球運動不斷發(fā)展。