構(gòu)造“二次”是關(guān)鍵 尋找“關(guān)系”是根本

董榮森 李萍

【摘 要】 圓錐曲線中有關(guān)直線恒過定點問題是近幾年全國高考數(shù)學(xué)的熱點與難點，由于這類題能夠較好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，所以受到命題者的青睞.解決這類問題常規(guī)方法往往思路清晰但運算繁瑣，在短時間內(nèi)學(xué)生很難完成從而失分.針對這個問題，本文研究了以橢圓為背景類似“手電筒”模型中直線恒過定點問題，除了常規(guī)方法外，介紹另外兩種方法.

【關(guān)鍵詞】 “手電筒”模型;二次齊次式;定點問題

1 研究背景

圓錐曲線中有關(guān)直線恒過定點問題是近年全國高考的一個熱點和難點.以拋物線、橢圓為背景的有關(guān)直線恒過定點問題，往往作為高考壓軸題出現(xiàn)，如2017年高考全國Ⅰ卷第20題、2020年高考全國Ⅰ卷第20題、2020年新高考山東卷第22題等，都涉及到有關(guān)證明直線恒過定點問題，其背后都有著一脈相承與本質(zhì)的東西.這類解答題能夠較好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).解決這類題常規(guī)方法是設(shè)出直線方程（含有兩個參變量），聯(lián)立方程組結(jié)合已知條件尋找兩個參變量之間的關(guān)系，回代直線方程進而求出定點，該方法思路清晰但運算繁瑣.除了這種方法外，有沒有更好的方法或解決此類問題更好的方案呢？本專題以橢圓為背景，著重研究類似“手電筒”模型中有關(guān)直線恒過定點問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新思維，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1].

2 選題意圖

真題探究中的例題是2017年高考全國Ⅰ卷第20題，將橢圓與直線的有關(guān)知識相結(jié)合，其目的讓學(xué)生學(xué)會運用“二次齊次法”和“二次聯(lián)立法”處理圓錐曲線中有關(guān)直線恒過定點問題;借題發(fā)揮中的例題是2020年高考全國Ⅰ卷第20題，選擇的目的是讓學(xué)生學(xué)會通過轉(zhuǎn)化，運用“二次齊次法”和“二次聯(lián)立法”解決問題;思維拓展中的例題是2020年新高考山東卷第22題，選擇的目的是幫助同學(xué)們領(lǐng)會這道高考解析幾何題背后本質(zhì)的東西.

通過本專題中問題的分析與講解，讓學(xué)生能根據(jù)試題條件與圖形結(jié)構(gòu)特征合理地設(shè)出直線的方程（引入兩個參變量），通過對圓錐曲線方程進行等價轉(zhuǎn)化與變形，從而構(gòu)造二次齊次式，再運用韋達定理尋找兩個參變量之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維，提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力，有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

總之，解析幾何是數(shù)學(xué)綜合性非常強也是比較難的教學(xué)模塊，教學(xué)中我們要立足問題解決的全過程，發(fā)展學(xué)生的“四能”[2].由于大部分高考解析幾何題有多種解法，引入?yún)?shù)不同，運用參數(shù)不同，其運算的繁簡程度也會不同.以橢圓為背景的類似“手電筒”模型中直線恒過定點問題，運用“二次法”來解決，其關(guān)鍵是構(gòu)造“二次”，根本是由斜率關(guān)系利用韋達定理來尋找兩參變量“關(guān)系”，有時兩直線斜率關(guān)系不明顯，需要我們進行探尋與轉(zhuǎn)化.要成功解決這類綜合問題不僅需要扎實“四基”即基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，還需要高品質(zhì)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，如數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象等，更需要靈活的數(shù)學(xué)思維、關(guān)鍵能力和永不言敗、堅持到底的拼搏精神.

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.1.

[2] 史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.5：66.

作者簡介 董榮森（1969—），男，安徽蕪湖人，教育碩士，中學(xué)正高級教師，江蘇省特級教師，江蘇省教學(xué)名師，江蘇省“333高層次人才”培養(yǎng)對象，主要從事數(shù)學(xué)教育與中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究.