淺議數(shù)學(xué)課堂中的“交流與討論”

石志群

摘要：作為體現(xiàn)新課程理念的重要課堂教學(xué)方式和環(huán)節(jié)，學(xué)生的交流與討論經(jīng)常被使用在當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂中。交流是指彼此將自己擁有的信息提供給對(duì)方;討論的意思是就某一問題或話題交換意見或進(jìn)行辯論。“交流與討論”的組織形式最好是6個(gè)不同學(xué)業(yè)水平層次的學(xué)生圍坐一桌，形成一個(gè)自然的學(xué)習(xí)小組，并確定一個(gè)召集人，負(fù)責(zé)主持交流與討論活動(dòng)。促進(jìn)策略有：以充分的自主思考為基礎(chǔ)，以足夠的時(shí)間為保證，讓學(xué)生暢所欲言、學(xué)會(huì)傾聽和詢問，以及提供適當(dāng)?shù)乃夭?、案例、示范等。?nèi)容設(shè)計(jì)要注意解決問題的關(guān)鍵步驟等，以及問題呈現(xiàn)或提出的方式等。

關(guān)鍵詞：交流;討論;合作學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)課堂

作為體現(xiàn)新課程理念的重要課堂教學(xué)方式和環(huán)節(jié)，學(xué)生的交流與討論經(jīng)常被使用在當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂中，尤其是在一些公開課、示范課中。不過，在現(xiàn)實(shí)中，學(xué)生的交流與討論存在較多的操作問題和認(rèn)識(shí)誤區(qū)。比如，某些教師剛提出問題就讓學(xué)生交流、討論，殊不知交流與討論是基于一定的研究與思維成果的，包括研究與思維過程中的困惑、疑問、錯(cuò)誤等;某些課堂上，學(xué)生也經(jīng)常在交流，但交流的內(nèi)容大多為思維的結(jié)果（結(jié)論），基本沒有觸及解決問題時(shí)真實(shí)的思維過程……本文試圖對(duì)數(shù)學(xué)課堂中的“交流與討論”談?wù)剛€(gè)人粗淺的認(rèn)識(shí)。

一、“交流與討論”的內(nèi)涵

這里所說的交流是信息互換的過程，即彼此將自己擁有的信息提供給對(duì)方;討論的意思是就某一問題或話題交換意見或進(jìn)行辯論。因此，交流與討論的含義有共同的地方，就是“交換”;區(qū)別在于，交流可以是任何所知的信息，而討論僅限于某個(gè)共同關(guān)心的問題或話題，同時(shí)，討論不僅包括交換意見，還包括進(jìn)行辯論。

就數(shù)學(xué)課堂而言，交流的信息可以是自己對(duì)相關(guān)內(nèi)容所持的意見、看法，也可以是自己所知的相關(guān)知識(shí)、方法、模型等;討論的內(nèi)容既包括上述交流的內(nèi)容，又包括對(duì)自己觀點(diǎn)、想法的依據(jù)的闡述和對(duì)對(duì)方觀點(diǎn)、想法的評(píng)價(jià)、質(zhì)疑甚至駁斥。因?yàn)閿?shù)學(xué)課堂上，為了促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的相互作用，就必須既交流意見與看法，又相互理解、辨別甚至評(píng)價(jià)對(duì)方的觀點(diǎn)與想法，所以，數(shù)學(xué)課堂中的交流與討論往往是混合進(jìn)行的。因此，教師們經(jīng)常將兩者組合成一個(gè)詞：交流討論。

從目標(biāo)上看，數(shù)學(xué)課堂中的交流與討論，不僅是交換思維成果（問題解決的結(jié)果和過程、方法等），而且是通過互相借鑒、補(bǔ)充、啟迪、幫助，促使參與的各方對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解更深刻，思維更開闊，達(dá)到融合、綜合、拓展、發(fā)展的效果。

從形式和內(nèi)容上看，交流與討論是合作學(xué)習(xí)的基本形式，包括陳述、展示各自的成果;理解、借鑒對(duì)方的結(jié)論、過程、方法;研究大家遇到的問題、困難，探索解決和克服的路徑;對(duì)不同的觀點(diǎn)進(jìn)行辯論，整合、優(yōu)化大家的成果;還可以討論拓展或深化共同成果的可能性。

二、“交流與討論”的組織形式

現(xiàn)行比較流行的做法是，將前后兩排相鄰四位學(xué)生并成一個(gè)小組，讓前排兩人轉(zhuǎn)向后排兩人，然后四人一起展開相關(guān)的交流與討論。從效果上看，筆者認(rèn)為，這種做法并不好。

從成員數(shù)量上看，筆者認(rèn)為，每個(gè)小組6人左右比較合適。人太多，每個(gè)人發(fā)表看法的機(jī)會(huì)就少，且每個(gè)人想了解其他人的觀點(diǎn)、想法就需要更多的時(shí)間，課堂效率就會(huì)降低。

從成員結(jié)構(gòu)上看，筆者認(rèn)為，每個(gè)小組應(yīng)該由不同學(xué)業(yè)水平層次的學(xué)生組成，“優(yōu)秀生”“中等生”和“后進(jìn)生”的人數(shù)相當(dāng);此外，還要適當(dāng)兼顧不同認(rèn)知風(fēng)格學(xué)生的搭配。這樣，交流與討論的過程中，就既有體現(xiàn)不同層級(jí)的思維水平、不同深度的理解水平、不同高度的認(rèn)識(shí)水平的成果的共享與促進(jìn)，又有不同思維風(fēng)格的解決問題的方法的交叉與互動(dòng)，從而充分發(fā)揮交流與討論的幫扶、互補(bǔ)的作用。這也是前后兩排相鄰四人組合的主要缺陷所在：不同的學(xué)科采用相同的組合，而同一個(gè)學(xué)生在不同學(xué)科上的能力、水平不一定相同或相近，所以顧了某個(gè)學(xué)科，就不能兼顧其他學(xué)科。

基于上述認(rèn)識(shí)，現(xiàn)在大部分學(xué)校所采用的6排8列型的學(xué)生座位排列方式是不合適的，它更適合講授式教學(xué)。適合討論式學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)等教學(xué)方法的學(xué)生座位排列方式是每6個(gè)人圍一個(gè)大小合適的圓桌或正六邊形桌而坐，形成一個(gè)自然的學(xué)習(xí)小組。不同學(xué)科的課上，學(xué)生依據(jù)不同的分組情況入座，座位不完全固定。

同時(shí)，每個(gè)小組需要確定一個(gè)召集人，負(fù)責(zé)主持交流與討論活動(dòng)，組織大家暢所欲言，表達(dá)觀點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上匯總各種想法，歸納共同成果，梳理不同問題，引導(dǎo)大家研討;并負(fù)責(zé)與教師溝通，與其他小組溝通。

此外，在學(xué)生交流與討論期間，教師不能游離于學(xué)生之外，而應(yīng)努力參與到其中：觀察整體的情況，判斷交流與討論的進(jìn)度與效果，把控教學(xué)時(shí)間;參與某些小組的活動(dòng)，并對(duì)一些共性問題進(jìn)行啟發(fā)、引導(dǎo)。需要注意的是，教師也要盡可能減少對(duì)學(xué)生交流與討論的干預(yù)，只在非常必要的情況下，對(duì)全體學(xué)生或某些小組的學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)。

三、“交流與討論”的促進(jìn)策略

在教學(xué)過程中安排學(xué)生交流與討論的初衷是達(dá)成更好的教學(xué)效果，也就是使學(xué)生理解更深刻、認(rèn)識(shí)更到位、思路更開闊、成果更豐碩。為此，需要設(shè)法促進(jìn)學(xué)生交流與討論的全面與深入。下面是幾種常用的策略，供參考。

應(yīng)該在充分自主思考的基礎(chǔ)上交流與討論，帶著成果交流，帶著問題討論，也就是有準(zhǔn)備、有目的地交流與討論。如，哪些內(nèi)容可以與別人交流，哪些內(nèi)容需要與別人討論？要從對(duì)自己、對(duì)同學(xué)有價(jià)值，能促進(jìn)大家提高的角度確定相關(guān)內(nèi)容。再如，如何組織好準(zhǔn)備交流與討論的內(nèi)容，以確保表述準(zhǔn)確而簡(jiǎn)潔？要選用好語(yǔ)言文字、圖形表格等表現(xiàn)形式，使表達(dá)更有條理和邏輯;要換位思考，想想這樣表達(dá)別人能否理解。以“冪函數(shù)”第1課時(shí)（內(nèi)容是冪函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)）的教學(xué)為例，在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)概念時(shí)，可以讓學(xué)生充分考察幾個(gè)具體的問題情境，發(fā)掘其中的函數(shù)關(guān)系，并研究這些函數(shù)具有怎樣的共同特征，然后交流與討論更多的函數(shù)與之前的函數(shù)是否具有相同的特征。這樣可以使學(xué)生在交流與討論中充分認(rèn)識(shí)冪函數(shù)的本質(zhì)特征。

交流與討論需要時(shí)間，沒有足夠的時(shí)間就無法保證全面和深入。一節(jié)課時(shí)間有限，課堂效率很重要，這也是很多教師不愿意給足夠的時(shí)間讓學(xué)生自主思考的原因所在;特別是交流與討論可能耗時(shí)更多，而且不易把控，很多教師也就更不愿意給足夠的時(shí)間讓學(xué)生交流完、討論透。于是，很多課堂中的交流與討論來也匆匆，去也匆匆，目的就是讓聽課的人知道教師讓學(xué)生交流與討論了。筆者認(rèn)為，既然讓學(xué)生交流、討論了，就要讓學(xué)生交流完、討論透;否則，寧可不要。再以“冪函數(shù)”第1課時(shí)的教學(xué)為例，教師布置學(xué)生分別畫出一些特殊的冪函數(shù)圖像，并探究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)后，給了學(xué)生充足的自主探索和交流、討論時(shí)間。最后各組匯報(bào)研究成果時(shí)，除了發(fā)現(xiàn)了教材中的所有性質(zhì)，還發(fā)現(xiàn)了一批新的性質(zhì)，比如：冪函數(shù)的圖像不會(huì)在第四象限。

要讓所有的學(xué)生暢所欲言，特別要鼓勵(lì)“后進(jìn)生”勇敢地表現(xiàn)自己。不能將小組的交流與討論變成小型的課堂講授，讓“優(yōu)等生”把持話語(yǔ)權(quán)。召集人需要匯總所有成員的觀點(diǎn)，并讓每個(gè)成員表達(dá)其發(fā)現(xiàn)過程及推理依據(jù)。

要讓學(xué)生學(xué)會(huì)傾聽，在傾聽過程中培養(yǎng)理解能力：不要總是急著表現(xiàn)自己，而要耐心聽取別人的思維成果，充分理解別人的思維過程。在傾聽與理解的同時(shí)，也要進(jìn)行自我反思，將自己的思維過程、結(jié)果與他人的比較，從而促進(jìn)對(duì)自己的思維過程、結(jié)果的更正和完善。

還要讓學(xué)生學(xué)會(huì)詢問、善于追問、勇于辯論（當(dāng)然，要注意方式方法，最好以討論、商榷的語(yǔ)氣進(jìn)行）。詢問不清楚的地方，不要因?yàn)閱栴}簡(jiǎn)單而羞于啟齒，而要盡可能地在小組內(nèi)解決能夠解決的問題。追問可能存在缺陷（不夠嚴(yán)謹(jǐn)、不一定正確等）的結(jié)論、方法，詰問其依據(jù)、理由。對(duì)有不同觀點(diǎn)的問題，要及時(shí)表明自己的觀點(diǎn)，批駁對(duì)方的觀點(diǎn)，形成辯論的氛圍。這樣的交流與討論是針對(duì)思維過程與策略的，是相互啟發(fā)與補(bǔ)充的，是相互促進(jìn)與提高的，真正體現(xiàn)了交流與討論的價(jià)值。還以“冪函數(shù)”第1課時(shí)的教學(xué)為例，當(dāng)α取不同的值時(shí)函數(shù)y=xα（x>0）的圖像之間的上下關(guān)系是一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)，而且，不少學(xué)生根本沒有研究這一性質(zhì)的意識(shí)。在交流與討論中，有學(xué)生展示了這個(gè)性質(zhì)，接著便有學(xué)生詰問：“你是怎么想到研究這個(gè)性質(zhì)的？”被問的學(xué)生解釋：“因?yàn)榍懊嫜芯繄D像上升、下降的性質(zhì)時(shí)我發(fā)現(xiàn)了，常數(shù)α不同，對(duì)應(yīng)的冪函數(shù)y=xα不一樣，圖像也不同，單調(diào)性是對(duì)確定的α而言的，那么對(duì)于不同的α，它們的圖像又有怎樣的關(guān)系呢？”然后又有學(xué)生追問推理的依據(jù)……這樣的交流與討論是自然生成的，暴露了學(xué)生真實(shí)的思維過程，觸及了數(shù)學(xué)問題的內(nèi)在本質(zhì)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解。

在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，教師可以向某個(gè)小組或全體學(xué)生提供一些素材、案例、示范，提出一些啟發(fā)性的問題，從而引導(dǎo)交流與討論的全面與深入;還可以向某個(gè)小組展示別的小組的討論成果，促進(jìn)小組之間的交流，或在了解討論進(jìn)展的情況下，讓兩個(gè)組之間進(jìn)行交流，從而引導(dǎo)交流與討論向縱深發(fā)展。仍以“冪函數(shù)”第1課時(shí)的教學(xué)為例，當(dāng)一個(gè)小組展開對(duì)不同指數(shù)對(duì)應(yīng)的冪函數(shù)圖像關(guān)系的討論時(shí)，教師及時(shí)向其他小組介紹了這個(gè)小組研究的問題和成果，引起其他小組的興趣和思考。當(dāng)有些學(xué)生理解困難時(shí)，教師建議學(xué)生在同一坐標(biāo)系中通過描點(diǎn)法，盡量準(zhǔn)確地作出函數(shù)y=x3、y=x2、y=x、y=x0、y=x-1、y=x-2在第一象限的圖像，由此，學(xué)生根據(jù)所取特殊點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小關(guān)系，自然地理解了上述性質(zhì)為什么成立。最后，教師利用幾何畫板畫出上述函數(shù)的圖像，讓學(xué)生進(jìn)一步確認(rèn)了結(jié)論的正確性。

此外，要注意處理好獨(dú)立思考、探索與小組交流、討論之間的關(guān)系，即：在交流與討論的過程中，也要充分發(fā)揮個(gè)體的獨(dú)立性與集體的互助性作用，讓每個(gè)成員既表現(xiàn)出自己的特長(zhǎng)與優(yōu)勢(shì)，又能從別人那里學(xué)習(xí)到自己所欠缺的東西，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

四、“交流與討論”的內(nèi)容設(shè)計(jì)

在課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)交流與討論活動(dòng)，首先要明確哪些內(nèi)容需要交流與討論，其目標(biāo)是什么。從內(nèi)容上看，主要是解決問題的關(guān)鍵步驟（程序）、教學(xué)的難點(diǎn)與學(xué)生可能的疑點(diǎn)、核心內(nèi)容的學(xué)習(xí)成果等。

以解決問題的關(guān)鍵步驟（程序）為例，可以根據(jù)三層次解題理論，提出以下三個(gè)層次的問題，讓學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上開展小組交流與討論。（1）解決問題有怎樣的思路？即明確解決問題的大體過程，概略性或一般性解決問題。（2）實(shí)現(xiàn)思路有哪些基本途徑？即明確解題所用的基本方法，功能性解決問題。（3）完成途徑有哪些具體手段？即明確解題所用的具體技巧，特殊性解決問題。如對(duì)于平面解析幾何中點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)，這三個(gè)問題分別是：（1）求點(diǎn)到直線的距離通常的思路有哪些？（轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離）;（2）如何將點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離？（代數(shù)的角度、幾何的角度或向量的角度）;（3）在上述三個(gè)角度下，如何求出直線上的那個(gè)點(diǎn)？（求另一個(gè)點(diǎn)的具體操作程序）。這樣使得對(duì)每個(gè)問題的交流與討論都可以相互借鑒，在借鑒的基礎(chǔ)上對(duì)想法的可行性、合理性進(jìn)行評(píng)價(jià)，既提高效率，又開拓思路，更明晰邏輯關(guān)系，達(dá)到既“知其然”，又“知其所以然”，還“知其何以所以然”的效果。

從交流與討論的問題的呈現(xiàn)或提出方式上看，要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，進(jìn)行思維過程的分析，預(yù)測(cè)學(xué)生可能的觀點(diǎn)、想法、困難、錯(cuò)誤等，從而靈活選擇。例如，教學(xué)“基本不等式及其應(yīng)用”時(shí)，為了促使學(xué)生理解用基本不等式求最值時(shí)特別要注意“等號(hào)成立”是必要條件，就要專門設(shè)計(jì)這樣的“反例”（比如，求函數(shù)y=x2+2+1x2+2的最小值），讓部分甚至全體學(xué)生出錯(cuò)，從而形成需要交流與討論的問題。

常見的方式有：直接法，即直接給出需要交流與討論的問題;對(duì)比法，即讓學(xué)生交流已有成果，形成矛盾沖突，提出需要討論的問題;發(fā)現(xiàn)法，即將（某些）學(xué)生或資料、教材上解決某個(gè)問題的過程呈現(xiàn)給（全體）學(xué)生，讓學(xué)生討論發(fā)現(xiàn)了什么問題，原因是什么，等等;提煉法，即提煉（某些）學(xué)生解決問題的過程，得出其核心觀點(diǎn)，并將其核心觀點(diǎn)呈現(xiàn)給（全體）學(xué)生分析、評(píng)價(jià)……

當(dāng)然，為了提高效率，還要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，對(duì)預(yù)設(shè)的交流與討論內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的交流與討論活動(dòng)，提出明確、具體的要求，包括小組成員的角色分工、交流與討論要達(dá)成的目標(biāo)等。要事先預(yù)測(cè)各種可能的情況，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的啟發(fā)性問題、追加的問題或回溯的內(nèi)容，且設(shè)定評(píng)價(jià)意見。例如，對(duì)于“求過圓外一點(diǎn)與已知圓相切的直線方程”的問題，需要預(yù)見到學(xué)生求解時(shí)容易忽視與x軸垂直的切線，因此，就要事先設(shè)計(jì)好啟發(fā)學(xué)生思考和引導(dǎo)學(xué)生討論的問題。比如：這個(gè)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系怎樣？既然這樣，那么上面的解答正確嗎？……

此外，課堂教學(xué)中可能會(huì)意外生成一些需要交流或討論的內(nèi)容（問題），這需要在教學(xué)過程中敏銳發(fā)現(xiàn)、靈活處置。這里就不贅述了。

最后值得一提的是，實(shí)踐證明，運(yùn)用得當(dāng)?shù)摹敖涣髋c討論”（甚至在此基礎(chǔ)上形成良好的小組合作教學(xué)模式，比如從自主學(xué)習(xí)到小組交流再到全班討論）已經(jīng)讓很多學(xué)生基礎(chǔ)一般的學(xué)?；蚪處熑〉昧顺鲱A(yù)期的教學(xué)成效。