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    六自由度機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)旋量逆解及簡化算法*

    2021-09-28 01:40:50劉國平楊先永鐘飛飛王大海
    關(guān)鍵詞:旋量位形歐拉角

    劉國平,楊先永,鐘飛飛,王大海

    (南昌大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,南昌 330031)

    0 引言

    機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)是機(jī)器人控制的基礎(chǔ),其包括正運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)兩個(gè)部分;當(dāng)前國內(nèi)外運(yùn)動(dòng)學(xué)研究主要采用D-H參數(shù)法和旋量法[1-2]。相比于傳統(tǒng)的D-H參數(shù)法,旋量法具有不需要建立局部坐標(biāo)系因此避開了局部坐標(biāo)系帶來的奇異性問題,并且能夠很好的區(qū)分多解和具有明顯的幾何意義等優(yōu)點(diǎn)[3-5],所以越來越多的學(xué)者將旋量引用到機(jī)器人的研究中。

    文獻(xiàn)[6]將paden-kahan子問題和消元法相結(jié)合解決了后3關(guān)節(jié)交于一點(diǎn)的六自由度逆解問題。文獻(xiàn)[7]將吳方法(吳方法是我國數(shù)學(xué)家吳文俊于20世紀(jì)70年代提出的處理多項(xiàng)式代數(shù)問題的一種數(shù)學(xué)方法)引入6R機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題中來,解決旋量算法子問題的限制。文獻(xiàn)[8]將希爾維斯特(sylvester)結(jié)式法與旋量理論相結(jié)合來求取6自由度機(jī)器人的逆解,擺脫了對(duì)paden-kahan子問題的依賴性。文獻(xiàn)[9]針對(duì)前3關(guān)節(jié)軸線均不相交,后3關(guān)節(jié)相交于一點(diǎn)的六自由度機(jī)器人,提出了幾何法和旋量法相結(jié)合的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解求解算法。文獻(xiàn)[10]針對(duì)前3關(guān)節(jié)不相交,后3關(guān)節(jié)相交構(gòu)型的“錢江一號(hào)”機(jī)器人提出了一種新的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解子問題算法。文獻(xiàn)[11]針對(duì)工業(yè)機(jī)器人提出了一類子問題,并以IRB1400弧焊機(jī)器人為例驗(yàn)證算法的正確性。文獻(xiàn)[12]提出了新的旋量子問題改進(jìn)一類前3關(guān)節(jié)均不相交的六自由度運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解求解方法。

    綜合上述文獻(xiàn),當(dāng)前旋量理論在逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解上的研究還存在以下問題:①多數(shù)研究主要針對(duì)后3關(guān)節(jié)交于一點(diǎn)構(gòu)型的六自由度機(jī)械臂,缺少旋量理論解決前3關(guān)節(jié)交于一點(diǎn)的六自由度機(jī)械臂逆解研究。②僅僅依靠傳統(tǒng)的旋量理論和panden-kahan子問題來求取逆解,其過程和結(jié)果還不夠簡潔。

    本文針對(duì)前3關(guān)節(jié)交于一點(diǎn)的六自由度機(jī)械臂提出一種旋量逆解算法,并采用幾何法及歐拉角對(duì)算法進(jìn)行簡化改進(jìn)。

    1 基于旋量理論的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

    1.1 旋量描述剛體運(yùn)動(dòng)

    歐拉定理說明,任何一個(gè)剛體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)都可以用一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣R來描述,該旋轉(zhuǎn)矩陣R可以表示成轉(zhuǎn)角θ和轉(zhuǎn)軸的單位矢量ω的函數(shù):

    (1)

    (2)

    根據(jù)Chasles定理,任何剛體運(yùn)動(dòng)都可以拆分為沿著某直線的移動(dòng)和旋轉(zhuǎn)來表示,可以用如下的指數(shù)積形式來表示。

    (3)

    當(dāng)工具坐標(biāo)系{T}相對(duì)于參考坐標(biāo)系{S}的初始位形為gST(0)時(shí),繞某軸螺旋運(yùn)動(dòng)的剛體,{T}相對(duì)于{S}的位姿可以表示為gST(θ):

    (4)

    1.2 機(jī)械臂正運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

    圖1和圖2分別為六自由度機(jī)械臂的三維模型圖和結(jié)構(gòu)示意圖,其6個(gè)關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié),前3關(guān)節(jié)和5、6關(guān)節(jié)軸線分別交于一點(diǎn),第1和第2關(guān)節(jié)、第2和第3關(guān)節(jié)、第5和第6關(guān)節(jié)始終垂直,第4和第5關(guān)節(jié)異面垂直。

    圖1 三維模型圖

    圖2 機(jī)械臂結(jié)構(gòu)示意圖

    選取初始位形如圖2所示,此時(shí)第1與第3關(guān)節(jié)垂直。在此初始位形下末端工具坐標(biāo)系{T}在慣性坐標(biāo)系{S}中的變換為:

    (5)

    根據(jù)POE公式,可以得到六自由度機(jī)械臂的正運(yùn)動(dòng)方程:

    (6)

    2 機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)建模及簡化算法

    2.1 基于panden-kahan子問題的逆解

    機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解是已知末端的期望位置gST(θ),求出該位置下對(duì)應(yīng)的各關(guān)節(jié)角度。旋量逆解的基本思想就是將復(fù)雜的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解,拆分成多個(gè)具有幾何意義明確的逆解子問題,當(dāng)前公認(rèn)的3個(gè)最基本子問題為paden-kahan的3個(gè)子問題[13]。

    該六自由度機(jī)械臂是前3關(guān)節(jié)和5、6軸線分別交于一點(diǎn),第4關(guān)節(jié)偏移中心軸線一定距離并與第5關(guān)節(jié)異面垂直;這樣的結(jié)構(gòu)不能做簡單的拆分,所以不能直接利用paden-kahan的子問題求得逆解;這里我們需要利用前3關(guān)節(jié)和5、6關(guān)節(jié)分別相交一點(diǎn)的條件來消去其中的部分變量,才能將其轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的子問題,該結(jié)構(gòu)機(jī)械臂的旋量運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解具體求解如下。

    (1)求解θ4

    因?yàn)?、2、3關(guān)節(jié)和5、6關(guān)節(jié)軸線分別相交于一點(diǎn),利用這一條件我們可以將除θ4以外的變量消去,這樣可以優(yōu)先求得θ4。

    記機(jī)械臂的前3關(guān)節(jié)交于點(diǎn)p,p=q2=q3,第5和第6關(guān)節(jié)交于點(diǎn)q5。

    (7)

    第5、6關(guān)節(jié)軸線交于q5,轉(zhuǎn)動(dòng)后位置不變,

    (8)

    式(7)兩端同時(shí)右乘q5有:

    (9)

    前3關(guān)節(jié)交于點(diǎn)p,有:

    (10)

    上兩式相減有:

    (11)

    在剛體旋轉(zhuǎn)的過程中,其上兩點(diǎn)之間的距離始終保持不變,并對(duì)上式兩端取范數(shù):

    (12)

    那么θ4求解變成旋轉(zhuǎn)到指定距離的子問題3。

    (13)

    (2)求解θ5、θ6

    由式(7)可得:

    (14)

    (15)

    所以有:

    (16)

    以上問題轉(zhuǎn)變成繞兩相交軸旋轉(zhuǎn)的子問題2。

    (17)

    可以得到:

    (18)

    以上結(jié)果可以應(yīng)用子問題1求得θ5、θ6:

    (19)

    (3)求解θ1、θ2,

    (20)

    以上結(jié)果可以應(yīng)用子問題2進(jìn)行求得θ1、θ2,

    (21)

    可以得到:

    (22)

    以上結(jié)果可以應(yīng)用子問題1求得θ1、θ2,

    (23)

    (4)求解θ3,

    由式(7)可得下式,并記已知量為g3:

    (24)

    (25)

    以上結(jié)果可以應(yīng)用子問題1求解得θ3:

    (26)

    至此,已經(jīng)求解得到基于旋量六自由度機(jī)械臂的所有運(yùn)動(dòng)學(xué)封閉逆解。其中關(guān)節(jié)4有2組解,關(guān)節(jié)5與關(guān)節(jié)6組合有2組解,關(guān)節(jié)1與關(guān)節(jié)2組合也有2組解,所以該構(gòu)型的機(jī)械臂共有8組解。

    2.2 結(jié)合幾何法及歐拉角簡化前4關(guān)節(jié)角求解

    2.2.1 幾何法簡化θ4的求解

    圖3 第4關(guān)節(jié)幾何關(guān)系圖

    LBD2=LBC2+LCD2-2LBCLCDcos(π-β)

    (27)

    (28)

    2.2.2 歐拉角簡化θ1,θ2,θ3的求解

    在求得θ4,θ5,θ6的基礎(chǔ)上,可以通過以下關(guān)系求解θ1,θ2,θ3。

    (29)

    由于前3關(guān)節(jié)交于一點(diǎn),第1關(guān)節(jié)與第2關(guān)節(jié)、第2關(guān)節(jié)與第3關(guān)節(jié)始終垂直,在初始位形下3個(gè)關(guān)節(jié)兩兩垂直,且3個(gè)軸都是純旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié),在工具坐標(biāo)系{S}下,θ1、θ2、θ3分別依次繞工具坐標(biāo)系{S}的Z軸、X軸、Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)后的結(jié)果,可以等價(jià)為繞Z-X-Y順序的歐拉角變換結(jié)果:

    (30)

    其中,c=cos,s=sin,1=θ1,2=θ2,3=θ3。

    由式(30)、式(31),通過以下關(guān)系可以求得θ1,θ2,θ3。

    (31)

    如果利用旋量理論和幾何法及歐拉角相結(jié)合來求解機(jī)械臂逆解,從上面可以看到,運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的求解過程和求解結(jié)果將得到很大簡化。

    3 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)實(shí)例驗(yàn)證

    六自由度機(jī)械臂的各個(gè)關(guān)節(jié)桿件參數(shù)如下:

    d1=129.5 mm,l1=260.5 mm,a1=44 mm,l2=256.12 mm,l3=0 mm。

    (1)任取一組不在奇異位形上的一組關(guān)節(jié)角,[θ1θ2…θ6]=[-66°55°-13°25°4°-10°],將其帶入機(jī)械臂的正解公式中去,得到該組關(guān)節(jié)角對(duì)應(yīng)末端姿態(tài)矩陣如下:

    (32)

    (2)利用前面推導(dǎo)的旋量逆解算法進(jìn)行求解,得到機(jī)械臂各組關(guān)節(jié)角如表1所示,各組逆解位形如圖4所示。

    表1 8組運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

    續(xù)表

    (a) 第1、2組解位形 (b) 第3、4組解位形

    (c) 第5、6組解位形 (d) 第7、8組解位形圖4 8組逆解位形圖

    表1的結(jié)果與前面分析一致,一共8組解,從上表可以看出,第8組解與我們?nèi)《ǖ年P(guān)節(jié)角一模一樣,1和2、3和4、5和6、7和8分別對(duì)應(yīng)同一位形,8組解總共對(duì)應(yīng)4種位形。

    (3)再將以上8組解的結(jié)果再次帶入機(jī)械臂的正運(yùn)動(dòng)學(xué)公式中去,得到各組解對(duì)應(yīng)的末端姿態(tài)矩陣,可以看到以上8組解對(duì)應(yīng)著幾乎相同的末端姿態(tài)矩陣,這里再一次證明該算法的正確性;將得到的8組解對(duì)應(yīng)的末端矩陣與給定角度對(duì)應(yīng)的末端矩陣做差,結(jié)果看作各組解的誤差,其中第4組解的誤差最大,為:

    (33)

    最大誤差在10-13數(shù)量級(jí),該算法具有非常高的精度。實(shí)際應(yīng)用中,需要對(duì)求得的多組解進(jìn)行篩選,要求各個(gè)關(guān)節(jié)要在機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)、避開機(jī)械臂的各個(gè)奇異位形和工作范圍內(nèi)的障礙物等,再根據(jù)運(yùn)動(dòng)行程最短等尋優(yōu)條件去選擇一組最優(yōu)解。

    (4)同樣的,取式θ5=4°,θ6=-10°和式(32)的末端姿態(tài),帶入簡化算法中可以得到:[θ1θ2θ3θ4]=[-66°55°-13°24.992 2°],該結(jié)果與給定關(guān)節(jié)角幾乎一樣,驗(yàn)證了簡化算法的正確性。

    4 結(jié)束語

    (1)結(jié)合旋量理論和已知的paden-kahan子問題,推導(dǎo)出前3關(guān)節(jié)、第5、6關(guān)節(jié)分別相交于一點(diǎn),第4關(guān)節(jié)偏移的六自由度機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解。該方法相對(duì)于傳統(tǒng)的D-H法,其幾何意義明顯,過程和結(jié)果都更加簡潔,并且算法精度能夠達(dá)到10-13數(shù)量級(jí),有非常高的精度,能夠很好的滿足各種應(yīng)用的控制需求。

    (2)采用歐拉角及幾何法對(duì)前3關(guān)節(jié)和第4關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解算法進(jìn)行簡化改進(jìn),應(yīng)用旋量理論、歐拉角和幾何法相結(jié)合求取運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解,能夠極大的簡化過程和結(jié)果。

    (3)本文提出的方法適用于其他類似構(gòu)型,特別是前3關(guān)節(jié)交于一點(diǎn)構(gòu)型機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解,具有一定通用性。

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