經(jīng)歷中感悟，練習(xí)中延伸
——數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的實(shí)踐與思考

■廈門(mén)市海滄區(qū)霞陽(yáng)小學(xué) 周雪娜

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。抽象思想、推理思想、模型思想是數(shù)學(xué)三大基本思想，并演變、發(fā)展出分類思想、方程思想、函數(shù)思想、歸納思想等較低層次的數(shù)學(xué)思想。2011版課標(biāo)中“四基”的提出強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)思想的重要性。許多數(shù)學(xué)教師應(yīng)及時(shí)跟進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生投入猜想驗(yàn)證、合作探究、推理表達(dá)等參與知識(shí)創(chuàng)造的過(guò)程，在收獲知識(shí)技能的同時(shí)，掌握數(shù)學(xué)思想方法，拓展思維。數(shù)學(xué)思想的滲透和影響，不僅要在教學(xué)目標(biāo)中體現(xiàn)、在新授課過(guò)程中重視，更要在練習(xí)中有意識(shí)延伸，從而日積月累、潛移默化地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、數(shù)形結(jié)合模型引路

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)與形既對(duì)立又統(tǒng)一。數(shù)形結(jié)合思想既包含使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化的“以形助數(shù)”，也包含了使幾何圖形的規(guī)律和特點(diǎn)數(shù)據(jù)化的“以數(shù)解形”。在人教版五年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方體與正方體”這一單元中，數(shù)形結(jié)合的思想無(wú)處不在。例如，例1，結(jié)合長(zhǎng)方體的實(shí)物進(jìn)行觀察、操作、記錄，探究長(zhǎng)方體這個(gè)基礎(chǔ)立體圖形的特征，同時(shí)歸納出可以從面、棱、頂點(diǎn)三個(gè)角度進(jìn)行研究，形成研究立體圖形的基本思路，遷移到后面進(jìn)一步研究其他立體圖形的學(xué)習(xí)中。又如，表面積、體積、容積的認(rèn)識(shí)和公式模型的探索都緊扣立體圖形表象及其特征，“形”為工具幫助學(xué)生理解和掌握知識(shí)，而非死記公式。

練習(xí)中的數(shù)學(xué)思想同樣無(wú)處不在，挖掘練習(xí)中的數(shù)學(xué)思想需要教師提高自身素養(yǎng)，勤于思考，達(dá)到“潤(rùn)物無(wú)聲”的境界。如下圖練習(xí)題中的紙巾盒一題可以進(jìn)行變式，提升“數(shù)形結(jié)合”的實(shí)效，培養(yǎng)學(xué)生的想象力。

原題：

（1）這個(gè)紙型盒的正面是什么形狀？長(zhǎng)和寬各是多少？和它相同的面是哪個(gè)？

（2）它的右面是什么形狀？長(zhǎng)和寬各是多少？和它相同的面是哪個(gè)？

（3）哪幾個(gè)面的長(zhǎng)是24cm，寬是12cm？

改編后：

將紙巾盒抽象成只有3條棱，想象：

這是什么圖形？24厘米、12厘米、9厘米、分別是這個(gè)圖形的哪條棱？這個(gè)圖形哪個(gè)面長(zhǎng)24厘米，寬9厘米？每個(gè)面的面積是多少？

改編后的圖形其抽象程度提高了，目的在于讓學(xué)生經(jīng)歷“由體想面”，培養(yǎng)空間觀念，也為長(zhǎng)方體表面積的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。實(shí)踐證明，同樣的教學(xué)內(nèi)容對(duì)數(shù)學(xué)思想、智力因素挖掘的程度不同，學(xué)生的思維發(fā)展會(huì)大相徑庭。王永春教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法》中就提出了“高水平教學(xué)，標(biāo)準(zhǔn)化考試”的理念，教師在理解掌握基本的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上應(yīng)深入挖掘每一道練習(xí)中的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思考”。

二、善于轉(zhuǎn)化，溝通聯(lián)系

小學(xué)數(shù)學(xué)的編排體系遵循循序漸進(jìn)、螺旋上升的特點(diǎn)。學(xué)生第一學(xué)段學(xué)習(xí)了平面圖形的特征及面積和面積單位，為“長(zhǎng)方體和正方體”這一單元的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。如何求長(zhǎng)方體的表面積呢？面對(duì)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生能自主把陌生知識(shí)轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)，從而解決新問(wèn)題就是轉(zhuǎn)化思想的魅力之一。學(xué)生將立體圖形的新知識(shí)轉(zhuǎn)化成三年級(jí)平面圖形的面積知識(shí)，再求出6個(gè)面的面積之和。善于轉(zhuǎn)化不僅自主解決了問(wèn)題，而且引出長(zhǎng)方體表面積的概念。教師進(jìn)一步拓寬表面積的概念，任何幾何體外表面的面積之和就是它的表面積，建立表面積的一般意義。轉(zhuǎn)化思想除了化未知為已知，還可以化繁為簡(jiǎn)、化一般為特殊、化抽象為具體等等。又如，在學(xué)習(xí)不規(guī)則物體的體積時(shí)，轉(zhuǎn)化思想發(fā)揮了巨大作用：將橡皮泥這樣不規(guī)則物體通過(guò)體積變形轉(zhuǎn)化成規(guī)則物體來(lái)計(jì)算體積，形狀雖變，但是體積不變，滲透了“變中有不變”的思想；像梨這樣不可變形的不規(guī)則物體可以利用排水法，將不規(guī)則物體的體積轉(zhuǎn)化為水的體積；排沙法、測(cè)質(zhì)量法等均運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想測(cè)量物體的體積。

練習(xí)六有這樣一道題：一個(gè)長(zhǎng)方體餅干盒，長(zhǎng)10cm，寬6cm，高12cm，如果圍著它貼一圈商標(biāo)紙（上下面不貼），這張商標(biāo)紙的面積至少是多少㎡？學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)商標(biāo)紙的面積就是長(zhǎng)方體4個(gè)側(cè)面的面積之和，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生想象并將商標(biāo)展開(kāi)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“立”起來(lái)的商標(biāo)竟可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方體的側(cè)面積也可以用底面周長(zhǎng)×高，同時(shí)也為六年級(jí)學(xué)習(xí)圓柱側(cè)面積計(jì)算方法做準(zhǔn)備。又如，練習(xí)八第四題：題中小正方體的棱長(zhǎng)數(shù)據(jù)剛好擺滿心愿墻，可以用“總體積÷每個(gè)積木體積”求出這面心愿墻用了多少塊積木。教師進(jìn)一步修改數(shù)據(jù)將學(xué)生的思維引向深入：如果心愿墻與積木一樣厚，則可以“化體為面”，再次體會(huì)轉(zhuǎn)化思想的妙用，達(dá)到“讓數(shù)學(xué)思想根植于兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”的目標(biāo)。

三、運(yùn)用推理，發(fā)展思維

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們生活中經(jīng)常使用的思維方式。曹培英老師用三棱錐圖表示九大核心詞及其關(guān)系，推理能力處在三角形底部的中心位置，可見(jiàn)其重要性。推理一般包括合情推理和演繹推理：合情推理用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，常見(jiàn)的形式有歸納推理和類比推理；演繹推理用于證明結(jié)論。兩種推理功能不同，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都很重要，不能厚此薄彼。例如，在學(xué)習(xí)體積單位時(shí)先回顧舊知：測(cè)量長(zhǎng)度用什么單位？測(cè)量面積用什么單位？進(jìn)一步進(jìn)行猜想：計(jì)量體積用什么單位？利用已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行類比推理，認(rèn)識(shí)到體積的測(cè)量也需要統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，形成概念體系。在長(zhǎng)方體的體積公式的探究過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、列表記錄，數(shù)形結(jié)合思考，用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)“每行的個(gè)數(shù)×行數(shù)×層數(shù)”與長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高之間的聯(lián)系，理解體積公式的由來(lái)，并繼續(xù)加以驗(yàn)證得到長(zhǎng)方體的體積V=abh，這些都是合情推理的運(yùn)用。正方體的體積公式推導(dǎo)則采用演繹推理：因?yàn)檎襟w是特殊的長(zhǎng)方體，所以正方體的體積也可以用V=abh，又因?yàn)檎襟w的長(zhǎng)=寬=高，所以V=a3。緊接著，學(xué)習(xí)容積時(shí)與體積進(jìn)行類比推理，發(fā)現(xiàn)二者的相同點(diǎn)，都是指物體的體積，再用表格進(jìn)行對(duì)比，梳理兩者的異同點(diǎn)，加深對(duì)二者本質(zhì)上的認(rèn)識(shí)，在解決問(wèn)題中能靈活進(jìn)行應(yīng)用。