定點恒久遠(yuǎn) 證明永流傳
——2019年北京卷理第18題

王 敏 陳 曦

(1.中國教育科學(xué)研究院豐臺實驗學(xué)校 100071；2.北京市大成學(xué)校 100141)

曲線過定點問題是高考數(shù)學(xué)的常見題型之一，是高考命題的一個熱點，也是圓錐曲線問題中的一個難點，在高考中出現(xiàn)的形式多變，沒有一定的模式．此類曲線過定點問題，充分展現(xiàn)解析幾何問題的“動”與“靜”的和諧統(tǒng)一，“形(幾何)”與“數(shù)(代數(shù))”的深度融合，是每年高考中非常常見的一類題型，倍受各方關(guān)注．

一、真題在線

試題(2019年北京卷理·18)已知拋物線C：x2=-2py經(jīng)過點(2，-1).

(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；

(2)設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=-1分別交直線OM，ON于點A和點B．求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點．

本題以拋物線為問題背景，先通過待定系數(shù)法確定拋物線的方程，并由此確定對應(yīng)的準(zhǔn)線方程，難度較低；進(jìn)一步加以合理設(shè)置，通過變化的焦點弦所在直線的建立，結(jié)合“動”直線的變化，確定直線間的交點，結(jié)合“動”線段AB的確定，利用其所對應(yīng)的直徑經(jīng)過y軸上的兩個定點的“靜”來完善設(shè)計，融合函數(shù)與解析幾何問題．破解時切入點眾多，可以從平面幾何的角度切入，從直線的角度切入，從圓的角度切入等，都可以達(dá)到完美解答，很好地考查學(xué)生的綜合能力與應(yīng)變能力，充分考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

二、真題解析

1.第(1)問解析

解析由拋物線C：x2=-2py經(jīng)過點(2，-1)，得p=2.

所以拋物線C的方程為x2=-4y，其準(zhǔn)線方程為y=1．

2.第(2)問解析

解法1 (官方標(biāo)答——數(shù)量積法)拋物線C的焦點為F(0，-1)，設(shè)直線l的方程為y=kx-1(k≠0)．

解法2 (直線的斜率法)拋物線C的焦點為F(0，-1)，很明顯直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx-1(k≠0)．

則x1+x2=-4k，x1x2=-4.

結(jié)合x1+x2=-4k，x1x2=-4，化簡,得(y+1)2+x2-4kx-4=0.令x=0，整理,得y2+2y-3=0，解得y=1或y=-3.故以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(0，1)和(0，-3)．

解法3(圓的標(biāo)準(zhǔn)方程法)拋物線C的焦點為F(0，-1)，很明顯直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx-1(k≠0)．

則x1+x2=-4k，x1x2=-4.

則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2k)2+(y+1)2=4(k2+1).

令x=0，整理得y2+2y-3=0，解得y=1或y=-3.

故以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(0，1)和(0，-3).

則x1+x2=-4k，x1x2=-4.

結(jié)合x1+x2=-4k，x1x2=-4，化簡,得x2-4kx-4+(y+1)2=0.

令x=0，整理,得y2+2y-3=0，解得y=1或y=-3.故以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(0，1)和(0，-3)．

點評在破解本題過程中，要直接求出定點存在一定的困難，而借助點的坐標(biāo)與直線方程的設(shè)置，從不同角度切入確定有關(guān)點A,B所對應(yīng)的圓的方程——二次方程，進(jìn)而結(jié)合條件確定出對應(yīng)的定點坐標(biāo)，達(dá)到證明的目的．

三、規(guī)律總結(jié)

1.曲線過定點問題有兩種比較常見的類型：一是直線過定點，二是圓過定點等．

2.曲線過定點問題有兩種比較常用的破解方法：一是“特殊探路，一般證明”，從特殊入手，確定對應(yīng)的定點，從而把問題轉(zhuǎn)化為有目標(biāo)、有方向的推理證明；二是“一般推理，特殊求解”，直接根據(jù)題設(shè)條件推理、運算，在此過程中消去變量或根據(jù)參數(shù)的任意性，推理或運算得出對應(yīng)的定點坐標(biāo)．

3.在具體破解曲線過定點問題中，借助解析幾何中的點、直線或圓錐曲線之間的關(guān)系，用變量表示出解析幾何中的點、直線或圓錐曲線等相關(guān)要素，通過變化過程中所表現(xiàn)出來的不變的量，加以合理確定相應(yīng)的定點．