小學(xué)數(shù)學(xué)思考題教學(xué)：以“結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)”的方式

胡德運

摘要：數(shù)學(xué)思考題是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的有效載體。以“結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)”的方式開展小學(xué)數(shù)學(xué)思考題教學(xué)，要合理設(shè)計主線，突出“整體關(guān)聯(lián)”;融通探索過程，凸顯“動態(tài)建構(gòu)”;聚力數(shù)學(xué)思考，促進“思維進階”。讓學(xué)生在系統(tǒng)中感受整體，在結(jié)構(gòu)中實現(xiàn)建構(gòu)，在思維中學(xué)會思維。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)思考題;整體關(guān)聯(lián);動態(tài)建構(gòu);數(shù)學(xué)思維

所謂“結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)”，是指建立在數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)和學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，以“整體關(guān)聯(lián)”為抓手，以“動態(tài)建構(gòu)”為核心，以“發(fā)展思維”為方向，以數(shù)學(xué)素養(yǎng)培育為目標(biāo)追求的學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)方式和方法。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中設(shè)有思考題，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的有效載體。很多教師教學(xué)時會將思考題當(dāng)成孤立的“點”，就題講題，導(dǎo)致學(xué)生停留在“解決問題”層面。本文以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊《三位數(shù)乘兩位數(shù)》單元“練習(xí)六”中的思考題（見圖1）為例，具體說明如何以“結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)”的方式開展小學(xué)數(shù)學(xué)思考題教學(xué)。

一、課前分析：瞻前顧后，明確“結(jié)構(gòu)化”的教學(xué)內(nèi)容

（一）追溯：學(xué)習(xí)的已有基礎(chǔ)

本課之前，學(xué)生在三年級上冊學(xué)習(xí)了“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)的計算”，并且在“練習(xí)四”中探究了“把2、3、5、7四個數(shù)字分別填入□里，寫成乘法算式。（1）要使積最大，應(yīng)該怎樣填？□□□×□;（2）要使積最小，應(yīng)該怎樣填？□□□×□”的思考題，明確了此類問題的思考方法。在三年級下冊，學(xué)生又學(xué)習(xí)了“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算”，初步感受了四個數(shù)字組成乘積最大和最小的兩位數(shù)乘兩位數(shù)算式的特點和規(guī)律。由于知識學(xué)習(xí)的相通性，學(xué)生對四個數(shù)字組成三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算式乘積最大和最小問題的解答，為本節(jié)課思考題的探究提供了經(jīng)驗基礎(chǔ)與方法支撐。

（二）勾連：知識的內(nèi)在聯(lián)系

將學(xué)過的知識以適當(dāng)?shù)姆绞竭M行“串聯(lián)”與“融合”，可以幫助學(xué)生在建立知識結(jié)構(gòu)、感悟知識過程的同時，進一步提升對新知識的理解與接納。對于三位數(shù)乘兩位數(shù)的算式乘積最大和最小的問題，學(xué)生確定兩個乘數(shù)最高數(shù)位上的數(shù)字并不難，難度在于其余數(shù)位上數(shù)字的確定，而理解的“瓶頸”是從數(shù)的組成及乘法算式意義的角度靈活比較大小并進行調(diào)整。因此，解決問題的突破口就在于激活學(xué)生三年級探究乘法算式積的大小的判斷經(jīng)驗。三位數(shù)乘兩位數(shù)算式乘積最大和最小問題的判斷方法要順承三位數(shù)乘一位數(shù)的算式乘積最大和最小問題的判斷方法。當(dāng)給定的數(shù)字中有“0”時，則要“鏈接”兩位數(shù)乘兩位數(shù)算式乘積最大和最小問題的判斷方法，同時利用“長方形的周長和面積”的有關(guān)知識進行直觀支撐、輔助理解。這樣，通過勾連新舊知識內(nèi)容和思考方法的內(nèi)在聯(lián)系，有效促進學(xué)生的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)。

（三）延展：思維的基本模型

數(shù)學(xué)解題需要從解“一道題”走向解“一類題”，尋求解決問題的方法也需要從“特殊”走向“一般”。三位數(shù)乘兩位數(shù)算式乘積最大和最小的問題，教學(xué)的著眼點不能僅僅放在此道題的解答上，而是要打通學(xué)生認(rèn)知的壁壘，著力理解并掌握這一類問題的解答。教師緊扣核心問題，通過合理的方法優(yōu)化和拓展，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)直覺，明晰三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)算式乘積最大和最小問題的思考方法同樣“適用”于新問題的探究。當(dāng)學(xué)生學(xué)會運用數(shù)學(xué)的思維方式進行思考并形成基本路徑時，也就主動構(gòu)建了從“一個”問題到“一類”問題的基本模型。

二、課中篤行：前引后和，開展“結(jié)構(gòu)化”的教學(xué)實踐

（一）激活經(jīng)驗，建立關(guān)聯(lián)

1.三位數(shù)乘一位數(shù)算式乘積最大和最小問題。

師 用1、2、3、4四個數(shù)字組成一個三位數(shù)乘一位數(shù)，要使乘積最大，應(yīng)是哪兩個數(shù)？要使乘積最小呢？

（學(xué)生獨立思考后，教師組織交流。）

生 要使組成的算式乘積最大，三位數(shù)百位上的數(shù)字和一位數(shù)要盡可能大。如果三位數(shù)百位上的數(shù)字是4，那么一位數(shù)就是3，算式是421×3;如果三位數(shù)百位上的數(shù)字是3，那么一位數(shù)就是4，算式是321×4;通過計算得到321×4的積最大。

師 如果不計算，你還能用別的辦法來說明321×4和421×3哪個大嗎？

生 321×4表示321個4，可以看成300個4加上21個4;421×3表示421個3，可以看成400個3加上21個3;因為300個4和400個3都等于1200，21個4是84，21個3是63，84>63，所以321×4>421×3。

師 運用算式的意義來比較兩個算式乘積的大小，既簡單又快速。那么你能用這種方法快速判斷出乘積最小的算式是什么嗎？

生 234×1<134×2，乘積最小的算式是234×1。

師 剛才我們解決了四個數(shù)字組成三位數(shù)乘一位數(shù)算式乘積最大和最小的問題，如果把這道題改編一下，你還會解答嗎？

2.兩位數(shù)乘兩位數(shù)算式乘積最大和最小問題。

師 用1、2、3、4四個數(shù)字組成一個兩位數(shù)乘兩位數(shù)，要使乘積最大，應(yīng)是哪兩個數(shù)？

（學(xué)生思考交流，共出現(xiàn)43×21、42×31和41×32三種情況。）

師 我們出現(xiàn)了三種不同的答案，能分別說說各自的想法嗎？

生 我先把兩個較大的數(shù)字4和3組成一個兩位數(shù)，再把剩下的2和1組成兩位數(shù)。

生 4和3比較大，分別放在兩個乘數(shù)的十位上，再把2和1分別放在個位上。

生 我也是把較大的4和3 放在兩個乘數(shù)的十位上，再把1和2分別放在個位上。

師 有什么辦法可以判斷這三個算式的乘積哪個最大？

生 可以用估算的方法，把43×21看成40×20，積大約是800;42×31和41×32都可以看成40×30，積大約是1200，所以可以先排除43×21。

師 42×31和41×32的積大約都是1200，有什么辦法可以準(zhǔn)確地比出它們的大??？

生 可以列豎式計算出結(jié)果，再進行比較。

（學(xué)生列豎式計算。）

師 42×31=1302，41×32=1312，42×31<41×32。42×31和41×32這兩道算式有什么不同？又有什么相同之處？

生 十位上的數(shù)字相同，個位上的數(shù)字交換了位置。

生 每道算式中的兩個乘數(shù)相加的和相等，都是73;兩個乘數(shù)的差不一樣，一個是11，一個是9。

師 我們能不能說，兩個數(shù)的和相等，那么這兩個數(shù)越接近，乘積就越大？用2、3、5、8組成兩個兩位數(shù)來驗證一下。

生 根據(jù)之前的經(jīng)驗，把較大的8和5放在兩個數(shù)的十位上，有82×53和83×52。82-53=29，83-52=31;（利用計算器）82×53=4346，83×52=4316，82×53>83×52?？梢宰C明我們的猜想。

師 請同學(xué)們再多舉幾個例子來驗證猜想。

（學(xué)生自主舉例驗證。）

3.借助直觀圖形理解乘積規(guī)律。

師 為什么兩個乘數(shù)越接近，乘積就越大？圖形可以幫助我們更直觀地理解和記憶算式中的規(guī)律。請同學(xué)們在方格紙中畫出周長是20厘米的長方形或正方形，并分別計算它們的面積。

（根據(jù)學(xué)生回答，教師依次出示圖形和算式，得到圖2。）

師 有什么發(fā)現(xiàn)？

生 長方形的一條長加一條寬都等于10，長方形的長和寬越接近，面積就越大;當(dāng)長方形的長和寬相等，也就是正方形時，面積最大。

師 那用1、2、3、4四個數(shù)字組成一個兩位數(shù)乘兩位數(shù)，要使乘積最小，應(yīng)是哪兩個數(shù)？

生 把較小的數(shù)字1和2分別放在兩個乘數(shù)的十位上，3和4分別放在個位上，得到13×24和14×23，24-13=11，23-14=9，（利用計算器）13×24=312<14×23=322。所以，我們也可以提出猜想：兩個數(shù)的和相等，如果這兩個數(shù)相差越大，那么乘積就越小。

生 我們同樣可以根據(jù)圖形來思考：長方形的一條長加一條寬都等于10，長方形的長和寬相差越大，面積就越小。

師 所以，我們可以得到結(jié)論：兩個兩位數(shù)的和相等，差越小，乘積就越大;差越大，乘積就越小。

（二）遷移方法，促進建構(gòu)

師 繼續(xù)深入思考：用1、2、3、4、5五個數(shù)字組成一個三位數(shù)乘兩位數(shù)，要使乘積最大，應(yīng)是哪兩個數(shù)？我們剛剛探究的三位數(shù)乘一位數(shù)以及兩位數(shù)乘兩位數(shù)算式中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，能否對尋找三位數(shù)乘兩位數(shù)有所幫助呢？

（學(xué)生討論：從大到小選擇四個數(shù)字5、4、3、2，按照組成兩位數(shù)乘兩位數(shù)算式的方法，得到乘積最大的算式是52×43。）

師 還有一個“1”放在什么位置？

生 可以放在52的后面，也可以放在43的后面。

師 得到的兩個算式521×43和52×431，哪個乘積更大？

生 （利用計算器）521×43=22403<52×431=22412。

師 我們可以結(jié)合豎式計算的過程進行思考。521×43可以分解為——

生 1與43相乘，52（個十）與43相乘。

師 52×431可以分解為——

生 1與52相乘，52與43（個十）相乘。

師 52（個十）與43相乘的積與52與43（個十）相乘的積是什么關(guān)系？

生 相等。

師 所以只要比較1與43相乘、1與52相乘的積就可快速判斷，即521×43<52×431，乘積最大的兩個數(shù)是431和52。我們也可以運用算式的意義來解釋，誰來試一試？

生 521×43表示521個43，可以看成520個43加上1個43，用算式表示是521×43=520×43+1×43;52×431表示431個52，可以看成430個52加上1個52，用算式表示是52×431=52×430+1×52;因為520×43=52×430，1×43<1×52，所以521×43<52×431。

師 真棒！遷移思考一下，用1、2、3、4、5五個數(shù)字組成一個三位數(shù)乘兩位數(shù)，要使乘積最小，應(yīng)是哪兩個數(shù)？

生 先選擇1、2、3、4四個數(shù)字，組成兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算式;再考慮“5”放在哪個兩位數(shù)的后面，得到算式145×23和14×235，通過比較得到14×235的乘積最小。

（師生共同總結(jié)尋找算式的基本方法：先確定首位上的數(shù)字，再確定下一位上的數(shù)字，得到兩位數(shù)乘兩位數(shù)，最后再確定剩下的一個數(shù)字配在哪一個兩位數(shù)的個位，通過適當(dāng)調(diào)整找到正確答案。）

（三）融通發(fā)散，發(fā)展思維

師 如果把上述題目中的“5”改成“0”，用0、1、2、3、4五個數(shù)字組成一個三位數(shù)乘兩位數(shù)，要使乘積最大，應(yīng)是哪兩個數(shù)？這五個數(shù)字中哪個數(shù)字比較特殊？

生 數(shù)字“0”比較特殊，但對于三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘積最大沒有影響，所以只要按照組成兩位數(shù)乘兩位數(shù)算式的方法進行思考就可以了。先得到 41×32 的積最大，最后把“0”放在41或者32的后面，兩種情況都可以，所以乘積最大的算式是410×32或41×320。

師 如果要使相乘的積最小呢？

生 如果要使相乘的積最小，則要把較小的數(shù)字盡可能放在高位上。由于0不能放在一個數(shù)的首位，所以先確定兩個數(shù)的首位是1和2，接下來是0和3，再比較10×23與13×20的大小;最后再考慮“4”作為哪個數(shù)的個位乘積最小，從而得到10×234=2340。

師 任意寫五個數(shù)字，按照要求試一試，看看是否符合前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

（學(xué)生隨意寫數(shù)字驗證規(guī)律，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧問題探究過程并總結(jié)。）

三、課后審思：鑒往知來，思考題教學(xué)的“結(jié)構(gòu)化”走向