培養(yǎng)“推理意識(shí)”：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的新要求

張昆

摘要：“推理意識(shí)”就是在判斷一個(gè)命題的真假時(shí)會(huì)自覺(jué)或者不自覺(jué)地使用的一種心理傾向性，它是推理能力的基礎(chǔ)。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的預(yù)審稿在已有“推理能力”的情況下新增“推理意識(shí)”，是為了凸顯推理能力的心理來(lái)源，細(xì)化推理的心理傾向性的萌生過(guò)程和推理能力的培養(yǎng)路徑。培養(yǎng)學(xué)生的“推理意識(shí)”，主要依托小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容完成。教師要充分利用小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容的算法（計(jì)算）與思辨（推理）“二重性”，發(fā)掘其中蘊(yùn)含的培養(yǎng)學(xué)生“推理意識(shí)”乃至“推理能力”的因素。

關(guān)鍵詞：推理意識(shí);小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)與代數(shù);算法;思辨

2021年3月，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的預(yù)審稿（以下簡(jiǎn)稱“預(yù)審稿”），結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出的6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)（2011年版）》提出的10個(gè)“核心詞”，抽繹出15個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，作為課程目標(biāo)。其中，除在“數(shù)感”的基礎(chǔ)上新增“量感”，在“符號(hào)意識(shí)”的基礎(chǔ)上新增“抽象能力”，還將3個(gè)“核心詞”演化為3對(duì)（6個(gè)）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，即將“推理能力”演化為“推理意識(shí)”和“推理能力”，將“數(shù)據(jù)分析觀念”演化為“數(shù)據(jù)意識(shí)”和“數(shù)據(jù)觀念”，將“模型思想”演化為“模型意識(shí)”和“模型觀念”。本文重點(diǎn)探討“推理意識(shí)”及其培養(yǎng)。

一、“推理意識(shí)”的內(nèi)涵

《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典（第7版）》將“推理”解釋為“邏輯學(xué)指思維的基本形式之一，是由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷（前提）推出新判斷（結(jié)論）的過(guò)程”。這里，“已知的判斷（前提）”指的是已知的定義、公理、定理等真命題，而“新判斷（結(jié)論）”也應(yīng)該是真命題，只不過(guò)在沒(méi)有經(jīng)過(guò)由“已知的判斷（前提）”的推證，無(wú)法確定其真假。此外，相對(duì)而言，意識(shí)主要是指基于經(jīng)驗(yàn)的感悟，而能力（觀念）主要是指基于概念的理解——當(dāng)然，意識(shí)與能力（觀念）之間不存在絕對(duì)的界線，意識(shí)會(huì)不自覺(jué)地過(guò)渡到能力，而能力是建立在意識(shí)的基礎(chǔ)上的。因此，所謂“推理意識(shí)”，就是在判斷一個(gè)命題的真假時(shí)會(huì)自覺(jué)或者不自覺(jué)地使用的一種心理傾向性。

預(yù)審稿指出：“推理意識(shí)主要是指對(duì)邏輯推理過(guò)程及其意義的初步感悟。知道可以從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題。能夠通過(guò)簡(jiǎn)單的歸納或者類比，猜想或者發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論;通過(guò)法則運(yùn)用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)從一般到特殊的論證過(guò)程;對(duì)自己及他人的問(wèn)題解決過(guò)程給出合理解釋。推理意識(shí)有助于養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣，增強(qiáng)交流能力，是形成推理能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)?！?/p>

二、新增“推理意識(shí)”的意圖：為初中階段培養(yǎng)“推理能力”做好鋪墊

既然“推理能力”是建立在“推理意識(shí)”的基礎(chǔ)上的，而“推理意識(shí)”會(huì)不自覺(jué)地過(guò)渡到“推理能力”，那么，預(yù)審稿為什么要在已有“推理能力”的情況下新增“推理意識(shí)”？其意圖在于，凸顯推理能力的心理來(lái)源，細(xì)化推理的心理傾向性的萌生過(guò)程和推理能力的培養(yǎng)路徑。作為一種工具性中介，推理意識(shí)最終服務(wù)于培養(yǎng)推理能力的課程目標(biāo)，同時(shí)體現(xiàn)了“螺旋上升”的課程理念。

因此，預(yù)審稿進(jìn)一步指出：培養(yǎng)學(xué)生的“推理意識(shí)”，主要依托小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容（多為算術(shù)計(jì)算性知識(shí)）完成;相應(yīng)地，培養(yǎng)學(xué)生的“推理能力”，主要依托初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容（多為平面幾何推理論證性知識(shí)）完成。由此，試圖改變主要依靠初中平面幾何知識(shí)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生“推理能力”的“一步到位”的現(xiàn)狀，引導(dǎo)一線教師開(kāi)拓利用小學(xué)算術(shù)乃至代數(shù)知識(shí)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的“推理意識(shí)”，進(jìn)而更好地（逐步地、充分地）培養(yǎng)學(xué)生的“推理能力”。

三、培養(yǎng)“推理意識(shí)”的方法：利用“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容的“二重性”

如何在小學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生的“推理意識(shí)”？首先需要選擇合適的課程內(nèi)容（教學(xué)資源）。

過(guò)去，一些教師習(xí)慣性地認(rèn)為，小學(xué)的算術(shù)乃至代數(shù)知識(shí)偏向于計(jì)算，不適合培養(yǎng)學(xué)生的“推理意識(shí)”乃至“推理能力”。這種觀點(diǎn)是不正確的。

實(shí)際上，著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾經(jīng)揭示“算法數(shù)學(xué)”與“思辨數(shù)學(xué)”的聯(lián)系與區(qū)別，指出：很多數(shù)學(xué)問(wèn)題（知識(shí)）既可以通過(guò)計(jì)算解決（得到），也可以通過(guò)推理（當(dāng)然免不了一些必要的計(jì)算）解決（得到）。史寧中教授也曾強(qiáng)調(diào)，小學(xué)階段的很多“數(shù)與代數(shù)”知識(shí)和問(wèn)題都存在“二重性”：既可以培養(yǎng)學(xué)生的“運(yùn)算能力”，也可以培養(yǎng)學(xué)生的“推理意識(shí)”和“推理能力”。

因此，教師要充分利用這些內(nèi)容的“二重性”，發(fā)掘其中蘊(yùn)含的培養(yǎng)學(xué)生“推理意識(shí)”乃至“推理能力”的因素，做好培養(yǎng)學(xué)生的“運(yùn)算能力”與“推理意識(shí)”乃至“推理能力”的平衡，發(fā)揮這些內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值。這樣，也有助于教師理解“有了直接計(jì)算的方程方法，為什么還要教費(fèi)力思考的算術(shù)方法”和“有了直接計(jì)算的解析幾何方法，為什么還要教費(fèi)力思考的平面幾何方法”——因?yàn)樗鼈兲N(yùn)含著不同的教學(xué)價(jià)值。

例如，有教師在一節(jié)五年級(jí)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上，通過(guò)四道“數(shù)與代數(shù)”例題的思辨（算術(shù)）解法，嘗試培養(yǎng)學(xué)生的“推理意識(shí)”乃至“推理能力”。教學(xué)過(guò)程及簡(jiǎn)要說(shuō)明如下：

（教師出示例1。）

例1 兩個(gè)同學(xué)的錢都以元為最小單位，且至少有1元。他們準(zhǔn)備各買一個(gè)數(shù)字計(jì)算器。當(dāng)他們知道計(jì)算器的價(jià)格時(shí)，第一個(gè)同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己缺35元，第二個(gè)同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己缺2元。于是，兩個(gè)同學(xué)決定將兩人的錢合在一起買一個(gè)計(jì)算器，可惜所帶的錢依然不夠。問(wèn)：計(jì)算器的價(jià)格是多少？?jī)扇烁鲙Я硕嗌馘X？

師 如何解答這個(gè)問(wèn)題？

（學(xué)生沉默。）

師 計(jì)算器的價(jià)格是不是可以用35+2=37（元）來(lái)計(jì)算呢？

生 顯然不是。因?yàn)檫@是兩個(gè)同學(xué)買一個(gè)計(jì)算器各自所缺的錢數(shù)，所以不是計(jì)算器的價(jià)格。

師 仔細(xì)觀察題中的兩個(gè)數(shù)據(jù)“35”與“2”，探討其內(nèi)涵：第一個(gè)同學(xué)缺35元，距離買一個(gè)計(jì)算器的錢數(shù)很遠(yuǎn);而第二個(gè)同學(xué)只缺2元，距離買一個(gè)計(jì)算器的錢數(shù)就很近了。這兩個(gè)條件給了我們什么啟示呢？

生 我產(chǎn)生了一種想法：假如第一個(gè)同學(xué)帶了2元，將其借給第二個(gè)同學(xué)，此時(shí)，第二個(gè)同學(xué)就可以買一個(gè)計(jì)算器了，所以，第一個(gè)同學(xué)帶了不到2元。加上第一個(gè)同學(xué)至少有1元錢的條件，可以判斷第一個(gè)同學(xué)只有1元錢。

師 他產(chǎn)生了獨(dú)到的想法，其實(shí)使用了一種從已知到未知的判斷，也就是推理，由此確定了第一個(gè)同學(xué)僅有1元錢。那么，在這種情況下，剩下的問(wèn)題如何解決呢？

生 由于第一個(gè)同學(xué)缺35元，現(xiàn)在只有1元，因此，每個(gè)計(jì)算器的價(jià)格為35+1=36（元）。而第二個(gè)同學(xué)缺2元，可知其現(xiàn)有的錢數(shù)為36-2=34（元）。

師答：每只計(jì)算器的價(jià)格為36元，第一個(gè)同學(xué)有1元，第二個(gè)同學(xué)有34元。

顯然，解這道題的思維活動(dòng)與其說(shuō)是計(jì)算，不如說(shuō)是推理（其實(shí)，具體數(shù)字推理占據(jù)了很重要的成分），計(jì)算很簡(jiǎn)單（35+1=36，36-2=34），都是推理的直接結(jié)果。當(dāng)然，初中生可以通過(guò)設(shè)未知數(shù)（計(jì)算器的價(jià)格），列不等式，結(jié)合取值范圍和取整要求得到最終結(jié)果，但是對(duì)小學(xué)生而言，這種解法不太現(xiàn)實(shí)，也不能培養(yǎng)“推理意識(shí)”。

（教師出示例2。）

例2 一桶水，丈夫獨(dú)飲可飲14天，夫妻同飲可飲10天，若妻子獨(dú)飲，則可飲多少天？

師 如何解答這個(gè)問(wèn)題？

（學(xué)生思考。）

師 注意“丈夫獨(dú)飲可飲14天，夫妻同飲可飲10天”這個(gè)條件具有怎樣的內(nèi)涵？

生 我發(fā)現(xiàn)這句話中隱含著“丈夫4天所喝的水等于妻子10天所喝的水”。

師 有價(jià)值的發(fā)現(xiàn)。在他發(fā)現(xiàn)的內(nèi)涵下，如何解決這個(gè)問(wèn)題呢？

生 這道題可以改寫為一道等價(jià)的題目：丈夫4天所喝的水等于妻子10天所喝的水，那么丈夫14天所喝的水等于妻子多少天所喝的水？或者更簡(jiǎn)單一點(diǎn)：丈夫2天所喝的水等于妻子5天所喝的水，那么丈夫14天所喝的水等于妻子多少天所喝的水？在這種情況下，問(wèn)題的解決便十分容易了：丈夫14天所喝的水等于妻子7×5=35（天）所喝的水。

師答：妻子獨(dú)飲這桶水，可飲35天。

顯然，這道題的成功解決主要也是推理的結(jié)果：從已知條件出發(fā)，推理得到“丈夫4天所喝的水等于妻子10天所喝的水”，進(jìn)一步推理得到“丈夫2天所喝的水等于妻子5天所喝的水”。由此，這道題的計(jì)算便十分簡(jiǎn)單了。當(dāng)然，初中生也可以通過(guò)設(shè)未知數(shù)（妻子獨(dú)飲的天數(shù)），列分式方程解決……

（教師出示例3。）

例3 輪船順?biāo)叫兴俣葹?0千米/小時(shí)，逆水航行速度為15千米/小時(shí)，從A地駛往B地比從B地駛往A地少用5小時(shí)，則A地與B地之間的距離是多少？

師 如何解答這個(gè)問(wèn)題？

（學(xué)生沉默。）

師 輪船航行速度20千米/小時(shí)與15千米/小時(shí)中的時(shí)間是以“小時(shí)”為單位的，這個(gè)單位比較大，可能不利于探究問(wèn)題解決的思路，可以將它轉(zhuǎn)化為小一些的時(shí)間單位嗎？

生 我是這樣想的：可以將速度單位中的“小時(shí)”轉(zhuǎn)化為“分鐘”。在這種情況下，輪船的速度其實(shí)就是，順?biāo)叫?千米需要3分鐘，逆水航行1千米需要4分鐘。

師 輪船順?biāo)叫?千米需要3分鐘，逆水航行1千米需要4分鐘，說(shuō)明了什么問(wèn)題？

生 這句話的內(nèi)涵是，輪船逆水航行1千米比順?biāo)叫?千米需要多花1分鐘。而題目中，輪船在A地與B地之間逆水航行比順?biāo)叫卸嗷?小時(shí)，即300分鐘。因此，A地與B地之間的距離為300千米。

師答：A地與B地之間的距離為300千米。

顯然，這道題的成功解決也是建立在推理基礎(chǔ)上的：從已知條件出發(fā)，推理得到“輪船逆水航行1千米比順?biāo)叫?千米需要多花1分鐘”。由此，這道題的計(jì)算便十分簡(jiǎn)單了。當(dāng)然，初中生也可以通過(guò)設(shè)未知數(shù)（兩地之間的距離），列一次方程解決——這里，特別值得一提的是，預(yù)審稿將原來(lái)安排在小學(xué)高年級(jí)的簡(jiǎn)易方程（一元一次方程）知識(shí)安排到了初中階段，可能也有在小學(xué)階段充分培養(yǎng)學(xué)生“推理意識(shí)”的考慮吧。

（教師出示例4。）

例4 說(shuō)明形如213213、356356、875875的數(shù)都可以被13整除。

師 如何解答這個(gè)問(wèn)題？

生 我將這三個(gè)數(shù)作為被除數(shù)，13作為除數(shù)，進(jìn)行除法運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)這三個(gè)數(shù)都可以被13整除。

師 但是，這三個(gè)數(shù)不能代表所有這種形式的數(shù)。因此，我們首先必須解決怎樣的問(wèn)題？

生 我想，首先應(yīng)該找到形如213213、356356、875875這樣的數(shù)的一般表達(dá)式。

師 非常好！那么，這些數(shù)的一般表達(dá)式究竟是什么呢？

（學(xué)生沉默。）

師 我們假設(shè)一個(gè)十位數(shù)，其個(gè)位上的數(shù)字為2，十位上的數(shù)字為5，那么這個(gè)十位數(shù)可以寫成25。這個(gè)25本質(zhì)上是如何得來(lái)的呢？

生 應(yīng)該是十位上的數(shù)字2乘10與個(gè)位上的數(shù)字的和，即2×10+5。

師 那么，應(yīng)該如何表達(dá)形如213213、356356、875875這樣的數(shù)的一般形式呢？

生 我想，如果使用字母a表示形如213213、356356、875875的數(shù)的兩個(gè)循環(huán)節(jié)中的一個(gè)，即使用字母a表示213、356、875，那么213213=213×1000+213，356356=356×1000+356，875875=875×1000+875，于是這種由兩個(gè)循環(huán)節(jié)組成的六位數(shù)的一般表達(dá)式為1000a+a。……

師 他提供了很好的想法。下面只要說(shuō)明表達(dá)式1000a+a能夠被13整除，問(wèn)題就解決了。如何說(shuō)明表達(dá)式1000a+a能夠被13整除呢？

生 這是容易辦到的。對(duì)于表達(dá)式1000a+a，逆用乘法對(duì)加法的分配律，可知1000a+a=（1000+1）a=1001a。因?yàn)?001÷13=77，所以1001a可以被13整除。

這是一道真正需要使用演繹推理論證的數(shù)學(xué)題。探究這道題的困難之處（也是關(guān)鍵之處）在于從213213、356356、875875這三個(gè)具體的數(shù)中得出一般形式的表達(dá)式，這就需要對(duì)這種形式的數(shù)進(jìn)行抽象表達(dá)，從而完成從“幾個(gè)具體數(shù)據(jù)”的命題成立過(guò)渡到“一切這種形式的數(shù)據(jù)”的命題都成立的過(guò)程。很明顯，解答這道題不僅需要“推理意識(shí)”，而且需要“推理能力”。

四、結(jié)束語(yǔ)

1963年，《全日制小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（草案）》指出：“小學(xué)算術(shù)的教學(xué)目的是，使學(xué)生牢固地掌握算術(shù)與珠算的基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生正確、迅速地進(jìn)行四則計(jì)算的能力，正確地解答應(yīng)用題的能力，以及具有初步的邏輯推理的能力和空間觀念?！币囵B(yǎng)學(xué)生正確、迅速地進(jìn)行計(jì)算的能力，就必須站在算理的高度審視問(wèn)題的內(nèi)涵，由算理過(guò)渡到算法，最后進(jìn)行具體的數(shù)據(jù)處理。這里的算理主要指的應(yīng)該就是推理。推理與計(jì)算如影隨形、亦步亦趨，解決復(fù)雜一些的數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題時(shí)，離開(kāi)推理，計(jì)算便寸步難行。因此，小學(xué)高年級(jí)的計(jì)算內(nèi)容通常都能作為推理的素材，這正是“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容“二重性”的突出體現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 程嶸，練冬蘭，廖運(yùn)章.高中生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題策略及表征偏向的調(diào)查研究[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2018（7）.

[2] 克魯捷茨基.中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力心理學(xué)[M].李伯黍，洪寶林，艾國(guó)英，等譯.上海：上海教育出版社，1983.

[3] 課程教材研究所.20世紀(jì)中國(guó)中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·教學(xué)大綱匯編：數(shù)學(xué)卷[M]. 北京：人民教育出版社，2001.