Dedekind和與四次高斯和的混合均值

劉艷艷

(西藏民族大學(xué) 教育學(xué)院, 陜西 咸陽 712082)

對(duì)任意正整數(shù)q≥2及整數(shù)h滿足(q,h)=1,經(jīng)典Dedekind和S(h,q)定義為

其中

這個(gè)和式揭示了η函數(shù)的對(duì)數(shù)在模變換下的深刻性質(zhì)[1-2],因而受到數(shù)論學(xué)者的高度關(guān)注, 并研究了它的各種性質(zhì),獲得了一系列有意義的結(jié)果[3-15]。例如,文獻(xiàn)[7]得到了S(h,k)的互反定理,即對(duì)兩個(gè)互素的正整數(shù)h和q,有恒等式

文獻(xiàn)[8]研究了S(h,k)的均值分布, 并證明了如下的漸近公式：

其中ζ(s)是黎曼ζ-函數(shù)。

文獻(xiàn)[11]研究了如下混合均值的分布性質(zhì):

并給出了一些有趣的恒等式，其中二項(xiàng)指數(shù)和C(m,n,k,h;q)定義為

且e(y)=e2πiy。文獻(xiàn)[11]證明了

文獻(xiàn)[12]研究了Dedekind和與一類Kloosterman和混合均值的計(jì)算問題，并給出了一個(gè)較為精確的漸近公式,即證明了

其中：p為奇素?cái)?shù)；φ(n)為Euler函數(shù)；ω(n)表示n的不同素因子的個(gè)數(shù)；A(p)表示區(qū)間[1,p]中模p所有原根的集合；C(m,n;p)定義為

本文考慮了Dedekind和與四次高斯和A(m)的混合冪均值問題,其中A(m)=A(m,p)定義為

其中：p是奇素?cái)?shù)；m是與p互素的整數(shù)。

我們將關(guān)注如下形式混合冪均值的計(jì)算問題:

(1)

其中：p是素?cái)?shù)且滿足p≡5 mod 8；k是任意正整數(shù)。本文利用初等及解析方法以及經(jīng)典Gauss和的性質(zhì)研究了混合均值Ck(p)的計(jì)算問題, 并給出了它的一個(gè)有趣的四階線性遞推公式，即證明了以下兩個(gè)結(jié)果。

定理1設(shè)p為奇素?cái)?shù)且滿足p≡5 mod 8，則對(duì)任意正整數(shù)k≥4，有四階線性遞推公式

Ck(p)=(4pα2-9p2)Ck-4(p)+

8pαCk-3(p)-2pCk-2(p),

且它的前四項(xiàng)初值為

C0(p)=0,

定理2設(shè)p為奇素?cái)?shù)且滿足p≡5 mod 8，則對(duì)任意正整數(shù)k≥4，有四階線性遞推公式

2pC-(k-2)-8pαC-(k-1)(p)],

且它的前四項(xiàng)初值為

C0(p)=0,

由以上定理可推出如下推論。

推論1設(shè)p為奇素?cái)?shù)且滿足p≡5 mod 8,則有

推論2設(shè)p為奇素?cái)?shù)且滿足p≡5 mod 8，則有

推論3設(shè)p為奇素?cái)?shù)且滿足p≡5 mod 8，則有

|L(1,χ4)|2。

推論4設(shè)p為奇素?cái)?shù)且滿足p≡5 mod 8，則有

|L(1,χ4)|2。

推論5設(shè)p為奇素?cái)?shù)且滿足p≡5 mod 8，則有

推論6設(shè)p為奇素?cái)?shù)且滿足p≡5 mod 8，則有

注定理中只考慮了p滿足p≡5 mod 8的情況。事實(shí)上,當(dāng)p≡3 mod 4或p≡1 mod 8時(shí),對(duì)所有的正整數(shù)k有Ck(p)=0,因此在這些情況下結(jié)果是平凡的。

此外,定理中的整數(shù)α=α(p)有特殊含義。若p≡1 mod 4，則有(見參考文獻(xiàn)[10]的定理4-11)

1 幾個(gè)簡(jiǎn)單的引理

本節(jié)將給出幾個(gè)簡(jiǎn)單的引理。為簡(jiǎn)單起見, 其中用到的一些初等數(shù)論及解析數(shù)論知識(shí)不再一一列舉, 可參閱文獻(xiàn)[10-12]。

引理1設(shè)q>2為整數(shù),則對(duì)任意整數(shù)a滿足(a,q)=1,有恒等式

其中L(1,χ)表示對(duì)應(yīng)于特征χmodd的狄利克萊L-函數(shù)。

證明參閱文獻(xiàn)[7] 的引理2。

引理2設(shè)p為奇素?cái)?shù)且滿足p≡1 mod 4,χ4為模p的任意四階特征,則有恒等式

其中τ(χ)表示經(jīng)典高斯和，其定義為

且α=α(p)同定理1中定義。

證明參閱文獻(xiàn)[14]中的引理2.2。

引理3設(shè)p為素?cái)?shù)且滿足p≡5 mod 8，則對(duì)任意與p互素的整數(shù)m,有恒等式

A4(m,p)=4pα2-9p2-2pA2(m,p)+

8pαA(m,p)。

(2)

(3)

應(yīng)用(2)、(3)式和引理2可得

(4)

由(2)、(3)式和引理2可得

4pα2-8p2+8pαA(m,p)

或

A4(m,p)=4pα2-9p2+8pαA(m,p)-

2pA2(m,p)。

(5)

結(jié)合(2)—(5)式可得引理3。

2 定理的證明

設(shè)p為奇素?cái)?shù)且滿足p≡5 mod 8,則由引理1可得

(6)

顯然若λ為模p的任意偶特征,則由模p特征的正交性可得

(7)

(8)

由(7)式和引理3可得

(9)

結(jié)合(8)、(9)式可得

(10)

若k≥4，則由(7)—(10)式及引理3可得

8pαA(m,p)-2pA2(m,p))·

Ak-4(m)|L(1,χ)|2=

(4pα2-9p2)Ck-4(p)+

8pαCk-3(p)-2pCk-2(p)。

(11)

顯然有C0(p)=0。結(jié)合(8)—(11)式可推出定理1。

現(xiàn)證定理2。由引理3可得

2pA2-k(m,p)-8pαA1-k(m,p)]。

(12)

因此對(duì)任意整數(shù)k≥4，由(12)式及C-k(p)的定義可得

8pαC-(k-1)(p)]。

(13)

由定理1可得

(14)

8pαC-1(p)]=

(15)

(16)

結(jié)合(13)—(16)式即得定理2。

由恒等式

即證所有結(jié)果。

3 結(jié)論

本文的主要結(jié)果是2個(gè)定理和6個(gè)推論。定理1給出了當(dāng)p≡5 mod 8且k≥1時(shí),Ck(p)的一個(gè)四階線性遞推公式。定理2給出了當(dāng)p≡5 mod 8時(shí),C-k(p)的一個(gè)四階線性遞推公式。作為這些定理的應(yīng)用,我們也給出了|Ck(p)|和|C-k(p)|的一些精確值。