一般化的D.H.Lehmer問題及其證明

王婧哲

(內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院, 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010070)

文獻(xiàn)[2]對(duì)這一問題進(jìn)行了首次研究,并證明了漸近公式:

其中exp(y)=ey。

本文的主要目的是將D.H.Lehmer問題進(jìn)行一般化，即研究N(h,k;q)的漸近性質(zhì)。我們將利用初等方法以及三角和的估計(jì)給出N(h,k;q)的一個(gè)較強(qiáng)的漸近公式,即證明以下定理。

定理設(shè)q>2為整數(shù)，1

其中：φ(q)表示Euler函數(shù)；d(q)表示Dirichlet除數(shù)函數(shù)。

特別當(dāng)q=p,k=2且h=1時(shí),有以下推論。

推論對(duì)任意奇素?cái)?shù)p,有漸近公式

注本文使用的初等證明方法雖然非常簡潔,但是也有其缺陷, 即不能建立其誤差項(xiàng)與DirichletL-函數(shù)加權(quán)均值間的密切聯(lián)系,因而利用這種方法很難給出類似文獻(xiàn)[5]中誤差項(xiàng)均值的一個(gè)漸近公式。如何建立這種一般化漸近公式中的誤差項(xiàng)與DitichletL-函數(shù)加權(quán)均值間的密切聯(lián)系也是一個(gè)很有趣的數(shù)論問題。

1 定理的直接證明

本節(jié)利用初等方法以及三角和的估計(jì)給出定理的直接證明。文中需要初等數(shù)論以及三角和估計(jì)的有關(guān)內(nèi)容,這些均可以參閱文獻(xiàn)[9-10], 此處不再重復(fù)。 對(duì)任意正整數(shù)q>1以及整數(shù)n,有三角恒等式

(1)

其中e(y)=e2πiy。

應(yīng)用(1)式，有恒等式

N(h,k;q)=

W1+W2+W3+W4。

(2)

現(xiàn)在分別估計(jì)(2)式中的Wi(i=1,2,3,4)。首先，估計(jì)主項(xiàng)W4。注意到

以及

h+1+k-1-(h+1)+1=k,

并考慮到k為給定的正整數(shù),所以有漸近式

(3)

為估計(jì)(2)式中的其他和式，需要用到解析數(shù)論中關(guān)于Kloosterman和的上界估計(jì),有關(guān)內(nèi)容可參閱文獻(xiàn)[11-13],相關(guān)工作也可以參考文獻(xiàn)[14-15],此處不再重復(fù)。

(4)

其中：d(q)表示Dirichlet除數(shù)函數(shù)；(m,n,q)表示m、n及q的最大公約數(shù)。

對(duì)任意正整數(shù)1

可得估計(jì)式

(5)

當(dāng)(k,q)=1時(shí),結(jié)合(4)、(5)式及W1的定義可得

(6)

(7)

同理,可得估計(jì)式

(8)

及

(9)

現(xiàn)在結(jié)合公式(2)以及估計(jì)式(3)—(9),即可推出漸近公式

于是完成了定理的證明。

2 結(jié)語

本文的主要結(jié)果是將D.H.Lehmer提出的一個(gè)問題進(jìn)行了進(jìn)一步的推廣, 并利用初等方法以及三角和估計(jì)對(duì)其計(jì)數(shù)函數(shù)給出了一個(gè)較強(qiáng)的漸近公式。這一工作是對(duì)已有工作的進(jìn)一步豐富和完善,其中的研究方法對(duì)相關(guān)問題的研究有借鑒作用。