一類廣義Dedekind和的上界估計(jì)

徐哲峰,王健康

(西北大學(xué) 數(shù)論及其應(yīng)用研究中心, 陜西 西安 710127)

1 主要結(jié)果

設(shè)q>0為整數(shù),h是與q互素的任意整數(shù),經(jīng)典的Dedekind和s(h,q)定義如下:

其中((x))表示一種鋸齒形函數(shù)

這里(h,q)=1且h>0。

一些學(xué)者研究了與Dedekind和相類似的和式。2000年,Todd Cochrane介紹了如下Cochrane和:

其中d(q)是除數(shù)函數(shù)。Dedekind和與Cochrane和還有許多有趣的性質(zhì), 它們與著名的Kloosterman和也有聯(lián)系[6-17]。

文獻(xiàn)[9]定義了如下的高維Cochrane和

并給出了如下上界估計(jì)。

命題1設(shè)整數(shù)q≥2且整數(shù)h滿足(h,q)=1。對任意固定的正整數(shù)k滿足(q,k(k+1))=1,有

這里ω(q)表示q的不同素因子的個(gè)數(shù)。

文獻(xiàn)[6]利用高維Kloosterman和的上界改進(jìn)了命題1中的結(jié)果，并得到如下結(jié)果。

命題2設(shè)整數(shù)q≥2且整數(shù)h滿足(h,q)=1。對任意固定的正整數(shù)k,有估計(jì)

本文定義了一類新型的廣義Dedekind和。對給定的正整數(shù)m,定義

有趣的是，Cφ(q)-1(h,q)=C(h,q)和C1(h,p)=s(h,p),這里φ(q)表示Euler函數(shù)。這說明Cm(h,q)是Dedekind和與Cochrane和的廣義形式。定義

很明顯S1(h,q)=s(h,q),Sp-1(h,p)=C(h,p)，并有上述兩者廣義Dedekind和Cm(h,q)與Sm(h,q)之間的關(guān)系如下：

本文利用特征和的一些性質(zhì)將Cm(h,q)與包含Gauss和的Dirichlet級數(shù)建立了聯(lián)系, 并利用二項(xiàng)指數(shù)和估計(jì),得到了廣義Dedekind和Cm(h,q)的上界, 結(jié)論如下。

定理1設(shè)整數(shù)q≥2且整數(shù)h滿足(h,q)=1。對任意固定的正整數(shù)m≠1,有上界估計(jì)

特別地,如果m是偶數(shù), 則Cm(h,q)=0。

由定理1與兩者新型廣義Dedekind和之間的關(guān)系可直接得到如下推論。

推論1設(shè)整數(shù)q≥2是無平方因子數(shù)且整數(shù)h滿足(h,q)=1。對任意固定的正整數(shù)m≠1, 有上界估計(jì)

特別地,如果m是偶數(shù),則Sm(h,q)=0。

2 一些引理及定理的證明

本節(jié)將給出一些引理并完成定理的證明。

引理1令m≥2是任意固定的正整數(shù)且整數(shù)n1、n2滿足(n1,n2,q)=1,有上界估計(jì)

引理2設(shè)整數(shù)q≥2且整數(shù)h滿足(h,q)=1。對任意固定的奇數(shù)m,有

證明由Dirichlet特征的正交性, 可得

如果m是奇的，由于

Gm(-n,χ)=χ(-1)Gm(n,χ),

因此有

由此可得

“通過類比思想，分別過B、E、C三點(diǎn)向坐標(biāo)軸引垂線段，可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到坐標(biāo)系內(nèi)的線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式。如圖3。

特別地,如果m是偶數(shù),則

即證明了引理2。

引理3設(shè)整數(shù)q≥2且整數(shù)h滿足(h,q)=1,Gm(n,χ)是引理2中定義的函數(shù)。對任意固定的奇數(shù)m≠1,有

證明對固定的參數(shù)N≥q和正整數(shù)m,根據(jù)Abel恒等式,有

顯然有平凡估計(jì)

(1)

且由三角和估計(jì)可得

這里(ham)q表示ham模q的最小正剩余。因此有

(2)

(3)

和

(4)

結(jié)合(1)—(4)式，可得

(5)

已知

對于m≠1，根據(jù)特征和的正交性，有

由此，再根據(jù)引理1，取(n1,hn2,q)=d1,(n1,-hn2,q)=d2,有

Ω1+Ω2。

(6)

先估計(jì)Ω1，已知

(n1,hn2,q)=(n1,(hn2,q))=(n1,(n2,q))，

因此，有

(7)

類似地，有

(8)

令N=q3,由(5)—(8)式可得引理3。

現(xiàn)在，結(jié)合引理2和3，有

即完成了定理1的證明。