基于深度學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想建構(gòu)
——以圖形與幾何的教學(xué)為例

江蘇省昆山市玉峰實(shí)驗(yàn)學(xué)校 顧英杰

“模型思想”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》提出的十大核心概念之一，也是新增加的一個(gè)核心概念，它指出“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”。深度學(xué)習(xí)更多注重學(xué)習(xí)者積極主動(dòng)，深層次理解、構(gòu)建和遷移知識(shí)的學(xué)習(xí)狀態(tài)和過程，更注重學(xué)習(xí)者自身對學(xué)習(xí)意義的探索，進(jìn)而促成學(xué)習(xí)者學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)。本文以圖形與幾何的教學(xué)為例，談一些實(shí)踐和思考。

一、深度學(xué)習(xí)下的感知與體驗(yàn)

數(shù)學(xué)模型都是具有生活背景的，特別是圖形與幾何的教學(xué)，教師可以從生活中找到數(shù)學(xué)實(shí)例充分利用，將情境與生活結(jié)合起來設(shè)計(jì)有效的教學(xué)活動(dòng)，在感知與體驗(yàn)中自然建構(gòu)模型。如在“用數(shù)對確定位置”一課的教學(xué)中，可設(shè)計(jì)如下教學(xué)活動(dòng)：

環(huán)節(jié)一：在直線上確定位置（一維）

師：這是一堵白色的墻壁，墻上爬來了一只蜘蛛。如果要表示出蜘蛛現(xiàn)在的位置，可以怎么表示呢？（蜘蛛爬到底邊離左邊較近處，這時(shí)學(xué)生有不同的描述）

師：老師給你們一把尺，現(xiàn)在誰能說清楚蜘蛛的位置？

生：在1 厘米處。

師：我們就用1 來表示，下面請同學(xué)們快速地說出蜘蛛的位置。

生：5，3，0，2.5。

小結(jié)：看來，只要蜘蛛在這條線段上移動(dòng)，我們就可以用一個(gè)數(shù)來表示它的位置。

環(huán)節(jié)二：在平面上確定位置（二維）

師：現(xiàn)在又來了一只藍(lán)蜘蛛和一只黃蜘蛛，它們也爬到這堵墻上，不過，現(xiàn)在墻壁上沒有尺了，你能在這堵墻上做些什么準(zhǔn)備工作，使得它們一爬過去，就能快速地說出對應(yīng)的位置呢？

學(xué)生自主探究，教師巡視了解，然后組織展示。

生1：我在墻壁的左邊標(biāo)上了數(shù)字，這樣豎著看、橫著看，就能看出蜘蛛的位置了。

生2：我還畫出了橫著的線和豎著的線，有了交叉點(diǎn)，看起來就更方便了。

師：在數(shù)學(xué)上，豎著的這些線叫做列，橫著的這些線叫做行?，F(xiàn)在請同學(xué)們看著墻，你能用列和行說說紅蜘蛛、藍(lán)蜘蛛和黃蜘蛛的位置嗎？

學(xué)生交流，指名回答。

師：老師想特別介紹一下這只黃蜘蛛，它有一個(gè)超能力，能夠瞬間移動(dòng)，接下來，老師想請同學(xué)們想辦法盡可能多的記錄下它每次移動(dòng)后的位置，總共會(huì)移動(dòng)六次。

交流記錄方法，引出數(shù)對。

通過設(shè)計(jì)蜘蛛上墻這一富有趣味性的生活情境，讓學(xué)生真正經(jīng)歷了從“一維”描述到“二維”描述的過程。這樣的學(xué)習(xí)過程，才是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提升學(xué)生的創(chuàng)造力，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的有效學(xué)習(xí)過程。

二、課本素材下的建模及創(chuàng)新

在小學(xué)階段，不是所有的內(nèi)容都適合培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，需要對六個(gè)年段的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整理和歸納，這也是我們課題研究中的一個(gè)子課題。在適合建模教學(xué)的內(nèi)容中，尤其是圖形與幾何的教學(xué)，我們要充分利用好課本提供的素材，創(chuàng)造性地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多層次的模型建構(gòu)。如在“釘子板上的多邊形”教學(xué)中，可以設(shè)計(jì)這樣的教學(xué)活動(dòng)：

師：四人小組，在釘子板上任意圍出了不同的多邊形，再計(jì)算出面積。下面，我們來展示不同小組的作品。比一比，看看誰計(jì)算面積的速度快。

分別展示作品，并比賽計(jì)算面積。

生：這里面肯定隱藏了可以快速計(jì)算面積的方法。

師：你們覺得釘子板上多邊形的面積會(huì)與什么有關(guān)呢？

生1：圖形邊上的釘子數(shù)量。

生2：圖形內(nèi)部的釘子數(shù)量。

師：那釘子板上多邊形的面積與它邊上的釘子數(shù)和內(nèi)部的釘子數(shù)到底有什么關(guān)系呢？請這一列的三組同學(xué)先分別在釘子板上圍一個(gè)內(nèi)部沒有釘子的圖形，交流討論后填寫活動(dòng)單，其他幾列的同學(xué)分別研究內(nèi)部有一個(gè)、兩個(gè)和三個(gè)釘子的圖形，交流討論后填寫活動(dòng)單。

各指定一組同學(xué)上臺(tái)交流，并說說各組的猜想。s 表示多邊形的面積，n 表示多邊形邊上的釘子數(shù)，a 表示內(nèi)部的釘子數(shù)。

猜想一：a=0，s=n÷2-1猜想二：a=1，s=n÷2+0猜想三：a=2，s=n÷2+1猜想四：a=3，s=n÷2+2

師：現(xiàn)在，有了這些結(jié)論，請同學(xué)們作進(jìn)一步的猜想，如果內(nèi)部釘子數(shù)就是a，多邊形的面積s 可以怎么表示呢？

生：s=n÷2+a-1。

師：你是怎么思考的？

生：我發(fā)現(xiàn)后面的數(shù)都比內(nèi)部的釘子數(shù)少1。

師：你們同意這個(gè)想法嗎？下面我們來進(jìn)行驗(yàn)證，請每個(gè)小組任意選一個(gè)內(nèi)部釘子數(shù)是3 以上的來進(jìn)行驗(yàn)證。

各組分別交流各自驗(yàn)證的結(jié)果，最后得出結(jié)論：s=n÷2+a-1。

這樣的教學(xué)，不僅使學(xué)生構(gòu)建起了內(nèi)容層面的模型，即“釘子板上多邊形的面積=多邊形邊上的釘子數(shù)÷2+多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)-1”，而且從方法層面構(gòu)建了一個(gè)“觀察猜想—操作驗(yàn)證—構(gòu)建模型”形式化進(jìn)行探究活動(dòng)的方法模型。從思想層面來說，學(xué)生學(xué)會(huì)探究釘子板上的多邊形這一問題并不是我們教學(xué)的最終目標(biāo)，我們的目標(biāo)是要讓學(xué)生把探究的方法和思路進(jìn)行擴(kuò)展運(yùn)用，從而解決一類問題。由此，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多層次的模型構(gòu)建才能真正提升學(xué)生的建模意識(shí)，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的模型思想。

三、模型思想下的探究和發(fā)現(xiàn)

數(shù)學(xué)建模思想下的探究和發(fā)現(xiàn)可以融合分類與比較的思想，借助這兩者的相互結(jié)合，設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)活動(dòng)，能幫助學(xué)生積累更多數(shù)學(xué)思想方法。分類與比較是確定事物異同，辨別事物相同點(diǎn)與不同點(diǎn)的基本思維過程和方法，是分析觀察等活動(dòng)交織在一起的復(fù)雜性智力活動(dòng)。圖形與幾何的教學(xué)中，通過比較與分類相結(jié)合能凸顯數(shù)學(xué)概念的共性與特性，幫助學(xué)生獲得新的感受與體驗(yàn)，以及新的思維視角，從而拓展和提高對已有知識(shí)的認(rèn)知度。如在“三角形的內(nèi)角和”教學(xué)中，可設(shè)計(jì)這樣的教學(xué)活動(dòng)：

師：請第一組同學(xué)任意畫一個(gè)銳角三角形，第二組同學(xué)任意畫一個(gè)鈍角三角形，第三組同學(xué)任意畫一個(gè)直角三角形，第四組同學(xué)任意畫一個(gè)三角形，用量角器量一下所畫三角形的三個(gè)角的度數(shù)，并進(jìn)行記錄，具體內(nèi)容如下：

角1 角2 角3 三個(gè)內(nèi)角和A 同學(xué) 51。 80。 50。 181。B 同學(xué) 58。 104。 22。 184。C 同學(xué) 90。 45。 45。 180。D 同學(xué) 39。 79。 61。 179。

師：你們發(fā)現(xiàn)任意三角形三個(gè)內(nèi)角和有什么特點(diǎn)？

生：都接近180 度。

師：你們有什么好辦法驗(yàn)證，四人小組里交流。

生1：可以通過拼接的方法驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和。

師：以上的驗(yàn)證存在誤差，并不嚴(yán)格，誰有更好的驗(yàn)證方法？

生2：可以將任意三角形分割成兩個(gè)直角三角形，這時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)三角形三個(gè)內(nèi)角的和就是：90°+90°=180°。

師：真聰明！我們用幾何畫板更直觀地來演示，任意拖動(dòng)這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：通過幾何畫板能清楚地發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和是180°。

這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)，將單個(gè)三角形實(shí)驗(yàn)研究拓展到所有三角形的研究中，能將一般與特殊相互結(jié)合起來設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生對三角形以及其他圖形規(guī)律有新的概括和認(rèn)識(shí)。歸納出三角形內(nèi)角和是180 度這一模型后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用同樣的思想方法繼續(xù)探索研究四邊形的內(nèi)角和、五邊形的內(nèi)角和，從而促使學(xué)生積累更多學(xué)習(xí)方法，并且適時(shí)地遷移運(yùn)用拓展。

總之，教師要將模型思想有效滲透于圖形與幾何內(nèi)容的教學(xué)中，基于深度學(xué)習(xí)，將情境與生活結(jié)合起來設(shè)計(jì)有效的教學(xué)活動(dòng)，從教材提供的素材出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從內(nèi)容、方法和思想等多個(gè)層面進(jìn)行思考，并結(jié)合分類與比較等多種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行探究和發(fā)現(xiàn)，才能幫助學(xué)生建立有效的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生逐漸形成運(yùn)用模型來解決問題的習(xí)慣和技能，為終身學(xué)習(xí)和可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。