由“烙餅”問題引發(fā)的思考

高彩云

中圖分類號(hào)：A ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ?文章編號(hào)：（2021）-29-328

“烙餅”問題是人教版教材四年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)內(nèi)容，教材中的主題圖只有三段對(duì)白，也就提供了三個(gè)條件：1.每次最多烙兩張餅，正面和反面都要烙，烙熟每面費(fèi)時(shí)3分鐘;2.父母和女兒三人，每人一張餅;3.如何在最短的時(shí)間內(nèi)烙熟所有餅。

教材設(shè)計(jì)這種形式的素材無(wú)非就是要傳導(dǎo)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生從生活實(shí)際出發(fā)優(yōu)化行動(dòng)方案;但除了傳導(dǎo)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化行動(dòng)方案外，是否能讓學(xué)生獲得更長(zhǎng)足的發(fā)展呢？現(xiàn)參照本校教師執(zhí)教“烙餅問題”的交流課談一些淺見。

一、教學(xué)中帶來的疑惑

執(zhí)教老師對(duì)教材做了適當(dāng)改編，并在課前指示學(xué)生自制學(xué)具，用硬幣充當(dāng)烙餅，給硬幣編號(hào)：餅1、餅2、餅3。其中硬幣字面視為正面，花紋面視為背面;用圓形的硬紙充當(dāng)平底鍋。將全班學(xué)生分為6個(gè)探究小組，導(dǎo)入問題情境之后呈現(xiàn)第一個(gè)問題：一次只能烙兩張餅，每張餅都要分別烙兩面，烙熟餅的一面耗時(shí)3分鐘，那么徹底烙熟一張餅需要花費(fèi)多長(zhǎng)時(shí)間？要求學(xué)生仔細(xì)審題并回答：解決這個(gè)問題時(shí)，你已經(jīng)知道什么？需要弄清什么？生1：“我已知三個(gè)條件：1.一個(gè)鍋里一次最多放置兩張餅;2.每張餅兩面都要分開烙才能熟透;3.烙熟餅的一面費(fèi)時(shí)3分鐘。需要弄清的問題是：徹底烙熟一張餅需要花費(fèi)長(zhǎng)時(shí)間？”師：“你們覺得這位同學(xué)說得有理嗎？有無(wú)異議？”全體學(xué)生：“有理。完全同意，無(wú)異議?！睅煟骸袄蠋熞操澩?，我們?yōu)樗恼??！苯又處熥寣W(xué)生動(dòng)手操作來驗(yàn)證這個(gè)問題，然后拋出第二個(gè)問題：每回只能烙兩張餅，每張餅的正反面要分別烙，烙熟一面用時(shí)3分鐘，問烙熟兩張餅需要多久？師：“請(qǐng)你們仔細(xì)對(duì)比前后兩個(gè)問題，有什么異樣？”生2：“已知條件完全相同，問題有區(qū)別，第二次是烙兩張餅?！苯處煴?yè)P(yáng)生2，再次讓學(xué)生動(dòng)手操作實(shí)踐，小組合作探究，然后匯報(bào)展示。結(jié)果6個(gè)小組得到的答案都是“6分鐘”。師：“我有兩種烙餅的方法，方法A：先烙熟第一張餅的正面，再烙熟它的反面;然后烙熟第二張餅的正面;最后烙熟第二張餅的背面。方法B：先烙熟第一張餅的正面，然后烙熟第二張餅的正面，再同時(shí)一次性烙熟兩張餅的背面。你們覺得以上兩種方案合理嗎？分別需要花費(fèi)多長(zhǎng)時(shí)間？跟你們策劃的方法相比，誰(shuí)更好？為什么？”生3：“這兩種方法都可行，分別耗時(shí)12分鐘和9分鐘。”生4：“我們小組策劃的操作方案更好，更省時(shí)?！睅煟骸澳銈兌己苡兄饕?，那么怎么做才省時(shí)？省時(shí)有什么好處？”生5：“我們每次烙餅時(shí)平底鍋的鍋底都充分利用了，擠滿了兩張餅;而之前采用的方法烙餅鍋底仍有空閑空間，這樣效率降低?！鄙?：“省時(shí)當(dāng)然好，可以提前吃到餅;節(jié)省下來的時(shí)間，可以做別的事，還可以節(jié)省燃煤燃?xì)??！?/p>

二、用表格數(shù)據(jù)總結(jié)淺顯的規(guī)律

教師呈現(xiàn)第三個(gè)問題：每次只能烙兩張餅，每張餅的正反面分別烙熟，烙熟一面耗時(shí)3分鐘，如果要烙熟三張餅，共需花費(fèi)幾分鐘？教師讓學(xué)生先獨(dú)立思考，大膽猜想，然后動(dòng)手驗(yàn)證，交流學(xué)習(xí)，并把烙餅方法形成文字材料，最后指派學(xué)生代表演示烙餅方法。第1、3、4、6組：花費(fèi)12分鐘。開始同時(shí)烙餅1、2的正面，待正面烙熟后，再烙餅1、2的反面，然后分兩次烙熟餅3的正反面。第2、5組：花費(fèi)9分鐘。先烙熟餅1、2的正面，然后同時(shí)烙熟餅1的反面和餅3的正面，最后烙熟餅2、3的反面。師：“通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，第2、5組的烙餅方法更精妙，請(qǐng)這兩組的同學(xué)陳述一下設(shè)計(jì)思路?！鄙骸拔覀兘M開始也采用常規(guī)方法，但是發(fā)現(xiàn)烙餅3時(shí)，鍋底有閑置空間;后來反復(fù)琢磨發(fā)現(xiàn)：如果第二次撤下一張餅的反面，代之以餅3的正面，那么最后就可以同時(shí)烙兩張餅的反面?！睅煟骸把灾欣?，看來烙餅時(shí)我們應(yīng)該統(tǒng)籌考慮、合理規(guī)劃，盡量每次都是烙兩張餅，有效利用鍋底空間?！敝链吮菊n的教學(xué)難點(diǎn)已經(jīng)突破，教材中的問題得以解決。教師還設(shè)計(jì)了表格數(shù)據(jù)以揭示規(guī)律。

教師指導(dǎo)學(xué)生分析餅的數(shù)量與烙制時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：當(dāng)餅的數(shù)量多于1張時(shí)，最少時(shí)間=餅的數(shù)量×烙餅一面所需的時(shí)間。

聽到這里，筆者心里打鼓，這個(gè)規(guī)律有必要?dú)w納出來嗎？這個(gè)規(guī)律不具有普遍性，如果每次烙餅的條件都是“一次只能烙兩張餅”，那肯定適用，但是限制條件一旦有變，又該怎么辦？

三、延伸拓展，尋求通用性公式

可以說執(zhí)教老師已經(jīng)成功地完成教學(xué)，她合理地加工改編了課本素材，讓學(xué)生深入理解烙餅問題的意思，然后通過提取主干，使學(xué)生能自覺思索、主動(dòng)操作、歸納總結(jié)。倘若把限制條件“一次只能烙兩張餅”改成“一次能烙3張（或者更多張）餅”，最短用時(shí)又是多少呢？此時(shí)，前面總結(jié)出的規(guī)律早已失效，如果再次進(jìn)行拓展研究，二次實(shí)踐驗(yàn)證，時(shí)間不夠，也超出了學(xué)生的接受能力。那么能否在“一次只能烙兩張餅”的限制下，總結(jié)出更普遍的規(guī)律呢？

四、思維升華，建立一般模型

經(jīng)過深思熟慮，筆者發(fā)現(xiàn)可以定性地得出更一般的規(guī)律。在限制條件是“一次只能烙兩張餅”時(shí)已經(jīng)得出：當(dāng)每次烙餅時(shí)煎鍋里隨時(shí)保持兩張餅的任務(wù)量，所費(fèi)時(shí)間最短。此時(shí)可以引發(fā)三問：（1）所有烙餅需要烙制的總面數(shù)是多少？學(xué)生會(huì)很快得出結(jié)果：餅的張數(shù)×2。（2）為了提高效率，每次保證鍋底有兩張餅，需要烙幾次？這也很容易求解：總面數(shù)÷每回能烙的面數(shù)。（3）烙完所有餅面需要多久？也很容易算出結(jié)果：烙的總次數(shù)×烙熟一面所需時(shí)間。這個(gè)時(shí)間即是最優(yōu)化的時(shí)間。回答完這三個(gè)問題，就大致可以建立起烙餅所需時(shí)間模型：（1）需烙的面數(shù)=餅數(shù)×2;（2）需烙餅的次數(shù)=需烙餅的面數(shù)÷每次能烙的面數(shù)（有余數(shù)則采用“進(jìn)一法”取近似值）;（3）最少時(shí)間=需烙的總次數(shù)×烙一面餅需花費(fèi)的時(shí)間（模型適用的條件是：煎鍋一次性放不下所有烙餅，煎鍋一次性能放下所有烙餅，一律烙兩次）。這個(gè)模型不但適用于一次只能烙兩張餅的限制條件，對(duì)于“一次能烙3張（或者更多張）餅”的限制條件一樣適用。模型中的第二步計(jì)算會(huì)出現(xiàn)余數(shù)，一旦有余數(shù)就要采用“進(jìn)一法”核算，這樣這個(gè)模型就具有普適性。只要這個(gè)模型建立起來，且只是求算最短時(shí)間，還是很好掌握的。

最后，筆者還發(fā)現(xiàn)，這個(gè)模型還能反推烙制流程，結(jié)論是：在模型中的第二步計(jì)算，算出總次數(shù)=總面數(shù)÷每次同時(shí)烙的面數(shù)，（1）當(dāng)這個(gè)結(jié)果沒有余數(shù)，且是偶數(shù)時(shí)，就一正一反一直烙到最后所有反面;如果是奇數(shù)，則必須在倒數(shù)第二次烙制上一批所有反面時(shí)撤換面餅;（2）當(dāng)這個(gè)次數(shù)有余數(shù)，商是偶數(shù)時(shí)，必須在倒數(shù)第二次時(shí)調(diào)換正反面下鍋次序;若商是奇數(shù)，則按照先正后反的順序逐步烙完。對(duì)于這些在此就不一一展開講解了。