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      反常積分的一題多解

      2021-09-22 02:30:55王雅婧王琳
      關(guān)鍵詞:一題多解

      王雅婧 王琳

      【摘 要】本文討論了兩類(lèi)反常積分的多種求解方法,旨在幫助學(xué)生熟悉、掌握計(jì)算積分中用到的換元積分法和分部積分法,從而提高學(xué)生的解題能力。

      【關(guān)鍵詞】反常積分;一題多解;換元積分法;分部積分法

      【中圖分類(lèi)號(hào)】G642? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437(2021)22-0001-03

      一元函數(shù)積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)[1]和數(shù)學(xué)分析[2]課程中的重要組成部分。反常積分是一元函數(shù)積分的一種類(lèi)型,反常積分包含無(wú)窮積分和瑕積分。無(wú)窮積分是積分區(qū)間無(wú)限的反常積分;瑕積分是被積函數(shù)帶有瑕點(diǎn)的反常積分,是無(wú)界函數(shù)的反常積分。對(duì)于反常積分,可借助牛頓-萊布尼茨公式求解,也可以通過(guò)換元積分法和分部積分法求解。本文先簡(jiǎn)單地介紹反常積分的概念,接著分別從無(wú)窮積分和瑕積分的題目入手,給出多種不同的解法,從而拓展學(xué)生的解題思路,希望能給予學(xué)生一定的

      啟發(fā)。

      1? ?反常積分的概念

      反常積分的概念可以通過(guò)定積分的概念深入理解。定積分存在有兩個(gè)必要條件:一是積分區(qū)間有限,二是被積函數(shù)有界。若破壞了積分區(qū)間的有限性,即積分區(qū)間是無(wú)限區(qū)間,就引出了無(wú)窮限的反常積分,簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮積分;若破壞了被積函數(shù)的有界性,即被積函數(shù)在積分區(qū)間的某點(diǎn)無(wú)界,就引出了無(wú)界函數(shù)的反常積分,簡(jiǎn)稱(chēng)瑕積分。下面給出兩類(lèi)反常積分的具體定義。

      無(wú)窮積分的定義:設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間[a,+∞)上連續(xù),任取t>a,若極限存在,則稱(chēng)此極限為函數(shù) f(x)在無(wú)窮區(qū)間[a,+∞)上的反常積分,記作,

      此時(shí)稱(chēng)反常積分收斂;否則,稱(chēng)為發(fā)散。

      瑕積分的定義:設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間[a,b)上連續(xù),

      點(diǎn)b為 f(x)的瑕點(diǎn)(即 f(x)在點(diǎn)b的任一鄰域內(nèi)無(wú)界),任取t

      2? ?無(wú)窮積分舉例

      例1:計(jì)算積分。

      分析:此積分為無(wú)窮積分,下面筆者用不同的方法來(lái)計(jì)算此積分。

      方法一:湊微分法

      。

      由此看出,此積分是收斂的,并且積分的值為。

      湊微分法是換元積分法的一種,是計(jì)算積分最基本也是應(yīng)用最廣泛的方法。此方法的關(guān)鍵在于如何適當(dāng)?shù)貙⒈环e表達(dá)式湊成易得出原函數(shù)的形式的微分,以更簡(jiǎn)便地計(jì)算。所以,想要熟練地掌握湊微分法,必須掌握不同函數(shù)的微分公式。

      方法二:根式代換

      令=t,則dx=2tdt,且當(dāng)x=1時(shí),t=1;x→+∞時(shí),t→+∞。

      。

      面對(duì)被積函數(shù)含有一次根式的積分,直接對(duì)一次根式進(jìn)行變量代換是非常有效的方法。通過(guò)變量代換后得到的積分,直接用積分公式即可得到結(jié)果。

      方法三:三角函數(shù)代換

      令x=tan2 t,則dx=2tan tsec2tdt,且當(dāng)x=1時(shí),

      t=;x→+∞時(shí)t=。

      。

      根據(jù)被積函數(shù)的形式對(duì)要計(jì)算的積分進(jìn)行適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)代換,把無(wú)窮積分轉(zhuǎn)換成了定積分,并且大大地簡(jiǎn)化了積分的計(jì)算過(guò)程。

      方法四:倒代換

      令x=,則,且當(dāng)x=1時(shí),t=1;x→+∞時(shí),x→0+。

      。

      被積函數(shù)分母的最高次冪高于分子的最高次冪時(shí),倒代換也是非常有用的計(jì)算方法。對(duì)此積分進(jìn)行倒代換后,把原來(lái)的無(wú)窮積分轉(zhuǎn)換成了被積函數(shù)完全相同的瑕積分。雖沒(méi)有簡(jiǎn)化積分的計(jì)算,但這說(shuō)明位于曲線 y=之下,x軸之上以及x ≥1的圖形的面積位于曲線 y=之下,x軸之上,x=0以及x=1之間的圖形的面積是相等的。

      方法四的計(jì)算過(guò)程比其他方法要復(fù)雜一些,不過(guò)在計(jì)算過(guò)程中,能夠進(jìn)一步加深對(duì)無(wú)窮積分和瑕積分的幾何意義的理解。

      3? ?瑕積分舉例

      例2:計(jì)算積分。

      分析:被積函數(shù)在區(qū)間[0,2)上連續(xù),但。點(diǎn)x=2是 f(x)的瑕點(diǎn),此積分為瑕積分。接下來(lái)筆者用不同的方法來(lái)計(jì)算此積分。

      方法一:分母代換

      令x=2?u,則dx=?du,且當(dāng)x=0時(shí),u=2;x→2時(shí),u→0。

      =π。

      由此看出,此積分是收斂的,并且積分的值為π。

      此方法的巧妙之處在于作變量代換后,再把兩式加起來(lái)除以2得到一個(gè)較簡(jiǎn)單的根式函數(shù)的積分,通過(guò)配方可直接利用積分公式計(jì)算。

      方法二:分母根式代換

      令,則dx=?2tdt,且當(dāng)x=0時(shí),;x→2時(shí),t=0。

      =π。

      對(duì)部分根式作變量代換是換元法中常用的方法。通過(guò)這次變量代換后,直接把瑕積分轉(zhuǎn)換成了熟悉的定積分,根據(jù)積分公式可得結(jié)果。另外,對(duì)于這種含有二次根式的定積分,可用三角代換來(lái)進(jìn)行計(jì)算。

      對(duì)于積分

      令t=sin u,則dt=cos udu,當(dāng)t=0時(shí),u=0;t=時(shí)u=。

      。

      方法三:分子根式代換

      令=t,則dx=2tdt當(dāng)x=0時(shí),t=0;x→2時(shí),t=。

      =π。

      方法三用的方法與方法二類(lèi)似,都是部分根式代換。需關(guān)注變量代換后得到的被積函數(shù)的特點(diǎn),通過(guò)對(duì)分子加一項(xiàng)減一項(xiàng),從而得出兩個(gè)容易計(jì)算的積分。這種對(duì)分子加項(xiàng)減項(xiàng)來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的方法也是計(jì)算積分時(shí)常用的方法。

      方法四:三角函數(shù)代換

      令x=2sin2 t,則dx=4sin tcos tdt,且當(dāng)x=0時(shí),t=0;x→2時(shí),t=。

      =π。

      通過(guò)三角函數(shù)代換來(lái)計(jì)算此積分,能夠在很大程度上簡(jiǎn)化積分的計(jì)算過(guò)程。此外,通過(guò)變量代換得到的關(guān)于三角函數(shù)的定積分,除了用三角函數(shù)的降冪以及湊微分法來(lái)計(jì)算,也可用定積分公式直接得到結(jié)果。

      方法五:整體根式代換

      令,則dx=,且當(dāng)x=0時(shí),t=0;x→2時(shí)t→+∞。

      =2π?π=π。

      其中,令=π。

      對(duì)于含有一次函數(shù)的整體根式,作變量代換進(jìn)行計(jì)算是求此類(lèi)積分非常有效的方法。作變量代換后將此積分轉(zhuǎn)換為被積函數(shù)有有理函數(shù)的無(wú)窮積分,從而利用求有理函數(shù)的積分理論進(jìn)行計(jì)算。相對(duì)而言,此方法計(jì)算過(guò)程要復(fù)雜一些,需作兩次變量代換。

      方法六:換元法與分部積分法相結(jié)合

      令,則x=,當(dāng)x=0時(shí),t=0;x→2時(shí)t→+∞。

      ==π。

      此方法是在作與方法五相同的變量代換后,將所求積分化成udv的形式,直接利用分部積分法來(lái)計(jì)算。在此過(guò)程中同樣用到了對(duì)分子加一項(xiàng)減一項(xiàng)的方式,從而簡(jiǎn)化了微分dv的形式,這樣能使接下來(lái)的計(jì)算更簡(jiǎn)便。對(duì)于有的積分而言,多種方法結(jié)合使用也會(huì)有良好的

      效果。

      總之,求反常積分的關(guān)鍵與定積分相同,要利用換元積分法和分部積分法來(lái)進(jìn)行計(jì)算。與定積分不同的是,在換元函數(shù)單調(diào)的假定下,如果換元后依然是反常積分,在代入上下限時(shí)需要求極限。若極限存在,則反常積分收斂,并稱(chēng)此極限是反常積分的值。在求積分時(shí),可能有多種解法,有的題多種方法結(jié)合使用會(huì)便于計(jì)算。因此,要想熟練地掌握不同的方法,必須多加練習(xí),拓展解題思路,掌握解題技巧,從而達(dá)到良好的學(xué)習(xí)效果。

      【參考文獻(xiàn)】

      [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2014.

      [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2010.

      【作者簡(jiǎn)介】

      王雅婧(1986~),女,山西忻州人,碩士,講師。研究方向:應(yīng)用數(shù)學(xué)。

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