自聚焦透鏡的像差模擬

翟龍華，時(shí)國(guó)平，張玉峰

(池州學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，安徽 池州 247000)

自聚焦透鏡的尺寸極小，改變自聚焦透鏡長(zhǎng)度，能夠使自聚焦透鏡的焦距[1]和其他光學(xué)特性發(fā)生變化。只需調(diào)整折射率分布的梯度深度和透鏡的長(zhǎng)度就可實(shí)現(xiàn)超短焦距，采用普通光學(xué)透鏡則無(wú)法實(shí)現(xiàn)。實(shí)際應(yīng)用中，不可能存在所謂的絕對(duì)光學(xué)儀器，即任何像差都沒(méi)有的光學(xué)系統(tǒng)，自聚焦透鏡在成像時(shí)也不可避免存在像差。由于光線在自聚焦透鏡內(nèi)是彎曲的，所以它的像差計(jì)算公式較普通透鏡要復(fù)雜的多，然而它的像差公式也是有一定規(guī)律的，本文結(jié)合自聚焦透鏡像差的一些規(guī)律計(jì)算自聚焦透鏡的像差并進(jìn)行了模擬仿真。

1 三級(jí)光線追跡法推導(dǎo)初級(jí)像差公式

三級(jí)光線追跡[2]時(shí)，折射率分布表達(dá)式只保留到四次方項(xiàng)即可。

(1)

其中，h4為四階折射率變化常數(shù)，為求解方便，作變量變換，令t=gL，然后推導(dǎo)能夠普遍表達(dá)媒質(zhì)中光的傳播徑跡的方程式，即光線微分方程，其表達(dá)式為：

X″+X=2h4XR2Y″+Y=2h4YR2

(2)

其中，R=gr，X=gx，Y=gy，Z=gz。上式中的求導(dǎo)都是表示對(duì)t的求導(dǎo)。將上述微分方程組簡(jiǎn)化為一個(gè)，即：

Y″+Y=2h4Y3

(3)

為求解這個(gè)方程，首先對(duì)該方程的齊次方程進(jìn)行求解：

Y″+Y=0

(4)

根據(jù)式(4)得出的解即為一級(jí)近似解，然后把它代入三級(jí)近似方程中，解之即可得到三級(jí)近似解。對(duì)式(4)進(jìn)行拉普拉斯變換，求解后即可得到原方程的解，即一級(jí)近似解Y(1)、V(1)：

(5)

式中，V=Y′=dY/dt≈q/n0，即任意點(diǎn)的方向余弦，Y0、V0為光線初值。把一級(jí)解代入方程(3)中，得到：

Y″+Y=2h4(Y0c+V0s)

(6)

其中，c=cost，s=sint。由于上式右端只是t的函數(shù)，可表示為f(t)，則存在：

Y″+Y=f(t)

(7)

用拉普拉斯變換法求解，得到三級(jí)近似解：

Y(3)=Y(1)+f(t)×sint

(8)

其中：

(9)

上式中的積分只含有三角函數(shù)，很容易得到解析解。若將上述卷積式中的各個(gè)積分積出并且用下列符號(hào)表示，即：

(10)

其中，c=cosgL，s=singL。則可以將三級(jí)解寫(xiě)成：

(11)

其中：

(12)

式中：

(13)

如圖1所示，自聚焦透鏡光學(xué)軌跡方程由表達(dá)式(14)描述。

圖1 光線在子午面的軌跡

(14)

當(dāng)物體相對(duì)透鏡的物方參數(shù)確定后，可利用上述光線追跡方程計(jì)算由該透鏡所成像的像方參數(shù)[6-7]，則像高為Y′：

Y′=Y+gl2tanγ′sinγ′=q′=q=n0Vtanγ′=q(1-q2)-1/2?q+q3/2+3q5/8

(15)

對(duì)于近軸光線，其放大率為：

(16)

2 自聚焦透鏡像差定義

上述研究?jī)?nèi)容中，利用三級(jí)光線追跡法推導(dǎo)了自聚焦透鏡的初級(jí)像差公式，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合自聚焦透鏡成像的規(guī)律，推導(dǎo)并模擬計(jì)算自聚焦透鏡成像時(shí)的球差、慧差、畸變以及場(chǎng)曲，然后根據(jù)光學(xué)系統(tǒng)的像差理論計(jì)算各類像差的容限，從而更準(zhǔn)確地計(jì)算自聚焦透鏡像差的公差，使得自聚焦透鏡的像差模擬結(jié)果更可靠。

2.1 球差

設(shè)物平面軸上點(diǎn)發(fā)出的與軸夾角為u的光線，經(jīng)透鏡后與其相應(yīng)像平面相交，該交點(diǎn)一般不在軸上像點(diǎn)處。如圖2所示，定義與理想像平面的交點(diǎn)到軸的距離為垂軸球差S，軸向交點(diǎn)到理想像平面的距離為軸向球差S′。若該光線與軸的夾角為u′，則這兩種球差有如下關(guān)系：

S=S′tanu′

(17)

球差：令物高y=0，同時(shí)將Y0用V0表示，即可得到球差與V0之間的關(guān)系

(18)

由此可得垂軸球差：

(19)

軸向球差為：

S′=S/tanu′=Sm/n0v0

(20)

球差結(jié)構(gòu)面如圖2所示。

圖2 球差

用Mathematic數(shù)學(xué)軟件對(duì)系統(tǒng)中應(yīng)用的自聚焦透鏡的像差進(jìn)行仿真分析。仿真條件如下：中心折射率為1.5924，折射率分布系數(shù)為0.577/mm，半徑為0.5 mm，長(zhǎng)度為2.72 mm，四級(jí)折射率分布為3.7/mm，物距為3000 mm，物高為1000 mm。

根據(jù)以上參數(shù)我們模擬出球差曲線。軸向球差曲線圖如圖3所示，垂軸球差圖如圖4所示。

圖3 軸向球差曲線圖

圖4 垂軸球差曲線圖

其中，縱坐標(biāo)為軸上點(diǎn)對(duì)入射自聚焦透鏡高度與自聚焦透鏡半徑的比值，橫坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)球差。圖中正負(fù)只表示方向，不表示大小。從圖中可以看出軸向球差、垂軸球差隨著高度增加而單調(diào)增加。當(dāng)入射自聚焦透鏡高度與自聚焦透鏡半徑的比值為1時(shí)，軸向球差與垂軸球差分別達(dá)到最大值-0.323 mm、0.149 mm。

2.2 慧差

慧差是一種軸外物點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的像差，與入射光瞳的大小和位置有關(guān)。如圖5所示，在子午面上考慮三條代表性的光線：分別通過(guò)入瞳的中心、上、下兩端。主光線，或p光線，通過(guò)入瞳的中心；第二主光線，即a光線和b光線，分別通過(guò)入瞳的上、下兩端。經(jīng)過(guò)透鏡后獲得它們與理想像平面的交點(diǎn)的高度，則定義子午慧差為：

圖5 子午慧差

C=(Ya+Yb)/2-Yp

(21)

慧差與入瞳位置和半徑有密切關(guān)系，入瞳半徑為：

(22)

其中，r為自聚焦透鏡的半徑。于是求慧差時(shí)初始值可以寫(xiě)為：

(23)

其中，E=gρ/(L+Ze)，H=gy/(L+Ze)。用同樣的參數(shù)條件可模擬子午慧差曲線，如圖6所示。

圖6 慧差曲線圖

圖6中，縱坐標(biāo)為軸外點(diǎn)的孔徑角與最大孔徑角的比值，橫坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)子午慧差。從圖中可以看出子午慧差隨著孔徑角增加而單調(diào)增加。當(dāng)孔徑角達(dá)到最大值時(shí)，子午慧差達(dá)到最大值0.213 mm。

將上述主光線與理想像平面的交點(diǎn)Yp與對(duì)應(yīng)的像高h(yuǎn)′比較，于是得到相對(duì)畸變?yōu)椋?/p>

D=(Yp-h′)/h′

(24)

D>0時(shí)，稱為枕形畸變；D<0時(shí)，稱為桶形畸變。當(dāng)主光線初值為0時(shí)，存在：

(25)

用同樣的參數(shù)條件可模擬畸變曲線，如圖7所示。

圖7 畸變曲線圖

圖7中，縱坐標(biāo)為軸外點(diǎn)的孔徑角與最大孔徑角的比值，橫坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)畸變。從圖中可以看出畸變隨著孔徑角增加而單調(diào)增加。當(dāng)孔徑角達(dá)到最大值時(shí)，畸變值達(dá)到最大值14.8%。

2.3 場(chǎng)曲與象散

場(chǎng)曲與象散是成像產(chǎn)生的像差。發(fā)自軸外點(diǎn)的一束光線，一般不會(huì)聚于相應(yīng)的理想像點(diǎn)。對(duì)稱于入瞳中心的子午光線會(huì)聚于子午像點(diǎn)；對(duì)稱于子午面的弧矢光線會(huì)聚于弧矢像點(diǎn)。這兩點(diǎn)一般并不在理想像面上，而是在一個(gè)像面上，該像面上第一點(diǎn)的子午和弧矢曲率均不相等。子午像點(diǎn)和理想像面的距離為子午場(chǎng)曲，弧矢像點(diǎn)與理想像面的距離為弧矢場(chǎng)曲，這兩個(gè)場(chǎng)曲的差即為象散。

如圖8所示，設(shè)物體在無(wú)窮遠(yuǎn)處，某一傾角為u的光線p以及在子午面內(nèi)平行于p并上移一微小偏量σm的另一光線。于是，可用如下公式表示子午場(chǎng)曲：

圖8 子午場(chǎng)曲

(26)

再利用下式表示子午場(chǎng)曲變化情況，過(guò)程如下：

(27)

然后求極限得子午場(chǎng)曲：

(28)

(30)

用同樣的參數(shù)條件可以模擬出子午場(chǎng)曲、弧矢場(chǎng)曲曲線分別如圖10、11所示：其中，縱坐標(biāo)為軸外點(diǎn)的孔徑角與最大孔徑角的比值，橫坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)子午場(chǎng)曲、弧矢場(chǎng)曲。從圖中可以看出子午場(chǎng)曲、弧矢場(chǎng)曲及像散隨著孔徑角增加而單調(diào)增加。當(dāng)孔徑角達(dá)到最大值時(shí)，子午場(chǎng)曲、弧矢場(chǎng)曲分別達(dá)到最大值0.316 mm、0.074 mm。

圖10 子午場(chǎng)曲圖

圖11 弧矢場(chǎng)曲曲線圖

3 自聚焦透鏡像差的公差計(jì)算

根據(jù)光學(xué)系統(tǒng)的像差理論[8]，可得出各類像差的容限如下：

(3)畸變?chǔ)≤5%。

自聚焦透鏡像差與公差結(jié)果如表1所示。

表1 自聚焦透鏡像差與公差

從表1可以看出，自聚焦透鏡的各類像差均大于其像差公差。其中，以彗差和畸變最為明顯，它會(huì)破壞軸外視場(chǎng)的成像清晰度。所以自聚焦透鏡在大視場(chǎng)角成像時(shí)，務(wù)必要校正它的慧差與畸變。校正像差的常用方法主要有光焦度法、合理設(shè)置孔徑光闌的位置以及采用對(duì)稱式的結(jié)構(gòu)。光焦度法使光學(xué)系統(tǒng)的正、負(fù)透鏡的光焦度滿足某個(gè)特定的方程，這可校正系統(tǒng)中的球差與色差。合理設(shè)置孔徑光闌的位置，使孔徑光闌與系統(tǒng)中心重合，可校正系統(tǒng)的畸變。對(duì)稱式的結(jié)構(gòu)，可校正系統(tǒng)的慧差，亦可校正軸外點(diǎn)的垂軸球差。

4 結(jié)論

本研究根據(jù)光線的三級(jí)追跡法推導(dǎo)了自聚焦透鏡的光線軌跡方程。在定義自聚焦透鏡的各種像差的基礎(chǔ)上，根據(jù)光線軌跡方程給出計(jì)算自聚焦透鏡的像差公式，對(duì)自聚焦透鏡的單色像差進(jìn)行了數(shù)值模擬并計(jì)算了自聚焦透鏡的像差結(jié)果。給出了光學(xué)系統(tǒng)中可存在的像差公差，并與模擬結(jié)果進(jìn)行比較。結(jié)果表明自聚焦透鏡的各類像差均大于其像差公差。