守正創(chuàng)新 行穩(wěn)致遠(yuǎn)

編者按：隨著高考改革的深入推進(jìn)，新高考的范圍逐漸擴(kuò)大. 2021年高考數(shù)學(xué)試卷共有8套（10份），分別是全國(guó)甲卷（文、理科）、全國(guó)乙卷（文、理科）、全國(guó)新高考Ⅰ卷、全國(guó)新高考Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷和浙江卷. 其中，新高考試卷共有6套. 本刊“高考專(zhuān)題”秉著繼承和發(fā)展的理念，在延續(xù)往年策劃方案的基礎(chǔ)上，適度創(chuàng)新，立足教學(xué)，全方位、多角度研究，幫助教師理解新高考的命題理念和考查要求. 文章中所用高考試題如有出入，以官方發(fā)布為準(zhǔn). 本專(zhuān)題文章持續(xù)刊登，歡迎廣大教師圍繞本專(zhuān)題內(nèi)容踴躍投稿！

2021年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試卷共8套（10份），分別是全國(guó)甲卷（文、理科）、全國(guó)乙卷（文、理科）、全國(guó)新高考Ⅰ卷、全國(guó)新高考Ⅱ卷，以及北京卷、天津卷、上海卷、浙江卷. 筆者對(duì)全國(guó)甲卷（云南、廣西、貴州、四川、西藏使用）、全國(guó)乙卷（河南、山西、江西、安徽、青海、甘肅、內(nèi)蒙古、黑龍江、吉林、寧夏、新疆、陜西使用）、全國(guó)新高考Ⅰ卷（山東、廣東、福建、江蘇、湖北、湖南、河北使用）、全國(guó)新高考Ⅱ卷（海南、重慶、遼寧使用）這10份高考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行了初步分析，歸納出若干試題特點(diǎn)，并提出一些教學(xué)建議.

一、試題特點(diǎn)：守正創(chuàng)新，體現(xiàn)“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性”的協(xié)調(diào)統(tǒng)一

2021年高考數(shù)學(xué)命題貫徹德智體美勞全面發(fā)展的教育方針，落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)，反映高考內(nèi)容改革的總體要求，體現(xiàn)科學(xué)的選拔功能和育人導(dǎo)向，發(fā)揮深化數(shù)學(xué)教學(xué)改革的引領(lǐng)作用. 高考數(shù)學(xué)試題把核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力和必備知識(shí)融為一體，把基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性協(xié)調(diào)統(tǒng)一，具有“注重情境、適度開(kāi)放、穩(wěn)中求變、守正創(chuàng)新”的鮮明特色.

1. 注重基礎(chǔ)性，凸顯根深葉茂

數(shù)學(xué)教育具有連續(xù)性、連貫性，對(duì)進(jìn)入高校的學(xué)生來(lái)說(shuō)，擁有堅(jiān)實(shí)牢固的高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)格外重要. 有鑒于此，新課程、新教材已從模塊式的內(nèi)容結(jié)構(gòu)調(diào)整為反映數(shù)學(xué)學(xué)科規(guī)律的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，建立了“主線—主題—核心內(nèi)容”的體系，這方面的一個(gè)重要考量是與大學(xué)接軌. 高中數(shù)學(xué)新教材有4條主線：函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng). 其中，函數(shù)、幾何與代數(shù)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)主線與大學(xué)“微積分”接軌;幾何與代數(shù)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)主線與大學(xué)“解析幾何與線性代數(shù)”接軌;幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)主線與大學(xué)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”接軌;函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)主線與大學(xué)“數(shù)學(xué)建?！苯榆? 這樣，能夠?qū)崿F(xiàn)高中生具備在生產(chǎn)生活實(shí)踐探索中所需的基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力和基本素養(yǎng)，具備高校專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)和自我終身發(fā)展所需的必備知識(shí)、關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng).

高考數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性包括數(shù)學(xué)內(nèi)容的基本性、通用性及問(wèn)題情境的典型性，也就是我們通常所說(shuō)的“四基”，即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 基礎(chǔ)知識(shí)反映在“三算”（集合運(yùn)算、復(fù)數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算）、“三圖”（函數(shù)圖象、立體幾何圖形和方程的曲線）上;基本技能涵蓋集合、排列、組合中的列舉，函數(shù)、平面向量中的圖解，數(shù)列、二項(xiàng)式定理中的賦值，直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的聯(lián)立消元等;基本思想體現(xiàn)為函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、等價(jià)轉(zhuǎn)換等思想方法的運(yùn)用;基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)包括觀察猜想、聯(lián)想類(lèi)比、換元分離等解題心得，以及見(jiàn)微知著、迷途知返、以美啟真等學(xué)習(xí)感悟.

全國(guó)新高考Ⅰ卷第10題是多選題，主要考查平面向量的模、數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，以及學(xué)生的運(yùn)算求解等基本技能. 全國(guó)甲卷理科第18題考查等差數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、求和公式等知識(shí)，以及學(xué)生的邏輯思維能力，既有開(kāi)放性，更具基礎(chǔ)性. 全國(guó)甲卷文科第18題是理科第18題的姊妹題，重點(diǎn)考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的證明等核心概念和重要方法.

例1 （全國(guó)新高考Ⅰ卷·10）已知點(diǎn)[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)，[P1cosα，sinα，P2cosβ，-sinβ，P3cosα+β，sinα+β，][A1，0]，則（? ? ）.

（A）[OP1=OP2]

（B）[AP1=AP2]

（C）[OA · OP3=OP1 · OP2]

（D）[OA · OP1=OP2 · OP3]

例2 （全國(guó)甲卷·文18）記[Sn]為數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和，已知[an>0，a2=3a1]，且數(shù)列[Sn]是等差數(shù)列，證明：[an]是等差數(shù)列.

2. 突出綜合性，強(qiáng)化融會(huì)貫通

高考數(shù)學(xué)要求學(xué)生既能夠在同一層面上橫向觸類(lèi)旁通，形成完整的知識(shí)塊、結(jié)構(gòu)網(wǎng)、方法鏈，又能夠在不同層面之間縱向融會(huì)貫通，進(jìn)行知識(shí)的交叉、能力的復(fù)合、素養(yǎng)的融合. 綜合性不僅針對(duì)必備的知識(shí)內(nèi)容，還包括復(fù)雜的問(wèn)題情境，它以相互關(guān)聯(lián)、交織成網(wǎng)的情境作為載體，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生綜合素養(yǎng)的全面考查.

高考數(shù)學(xué)命題通常在高中數(shù)學(xué)知識(shí)章節(jié)的交會(huì)處、初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)進(jìn)行設(shè)置，交會(huì)處和銜接點(diǎn)正是強(qiáng)調(diào)綜合性的突破口，通過(guò)采用思維聚斂等手段，形成綜合題的“點(diǎn)線面體”. 主要表現(xiàn)在以分段函數(shù)為條件，以集合、平面向量、導(dǎo)數(shù)等為載體，以“絕對(duì)值”語(yǔ)言為背景，以“自定義”方式為紐帶，花樣翻新不斷出現(xiàn). 它們?cè)滩?，靈活多變，全面考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的綜合能力，以及學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)水平.

全國(guó)甲卷文科第21題、理科第20題考查拋物線與圓的方程、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，以及學(xué)生的理性思維、數(shù)學(xué)探索、以美啟真等學(xué)科素養(yǎng). 天津卷第9題考查二次函數(shù)、三角函數(shù)及分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)等主干知識(shí)，綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 浙江卷第9題跨越章節(jié)主線對(duì)函數(shù)、數(shù)列與圓錐曲線軌跡問(wèn)題進(jìn)行全面考查. 浙江卷第17題綜合性較強(qiáng)，主要考查平面向量數(shù)量積、向量投影、運(yùn)用不等式求最值等知識(shí)方法，以及學(xué)生的運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力.

例3 （全國(guó)甲卷·文21 / 理20）拋物線[C]的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)[O]，焦點(diǎn)在[x]軸上，直線[l：x=1]交[C]于[P，Q]兩點(diǎn)，且[OP⊥OQ]，已知點(diǎn)[M2，0]，且圓[M]與[l]相切.

（1）求[C]，圓[M]的方程;

（2）設(shè)[A1，A2，A3]是[C]上的三個(gè)點(diǎn)，直線[A1A2]，[A1A3]均與圓[M]相切，判斷直線[A2A3]與圓[M]的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

例4 （天津卷·9）設(shè)[a∈R]，函數(shù)[fx][=][cos2πx-2πa，x<a，x2-2a+1x+a2+5，x≥a，] 若[fx]在區(qū)間[0，+∞]內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則[a]的取值范圍是（? ? ）.

（A）[2， 94?52， 114]

（B）[74，2?52， 114]

（C）[2， 94?114，3]

（D）[74，2?114，3]

例5 （浙江卷·9）已知[a，b∈R，ab>0]，函數(shù)[fx=ax2+b x∈R]. 若[fs-t，fs，fs+t]成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)[s，t]的軌跡是（? ? ）.

（A）直線和圓 （B）直線和橢圓

（C）直線和雙曲線 （D）直線和拋物線

3. 聚焦應(yīng)用性，提倡學(xué)以致用

高考數(shù)學(xué)要求學(xué)生關(guān)注與我國(guó)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展、科學(xué)技術(shù)進(jìn)步、生產(chǎn)生活實(shí)際等緊密聯(lián)系的內(nèi)容;能夠解決與數(shù)學(xué)密切關(guān)聯(lián)的日常生活、科學(xué)研究、經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人類(lèi)進(jìn)步所面臨的問(wèn)題;能夠古為今用、推陳出新，弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化，挖掘人文價(jià)值，浸潤(rùn)科學(xué)精神.

高考數(shù)學(xué)試題以我國(guó)社會(huì)發(fā)展、經(jīng)濟(jì)建設(shè)和科技進(jìn)步的重大成就作為背景題材，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注我國(guó)社會(huì)現(xiàn)實(shí)與進(jìn)步發(fā)展，增強(qiáng)民族自豪感與自信心，增強(qiáng)理想信念與愛(ài)國(guó)情懷. 全國(guó)新高考Ⅱ卷第4題以我國(guó)衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)為背景設(shè)置立體幾何問(wèn)題，考查學(xué)生的空間想象能力，以及閱讀理解、數(shù)學(xué)建模的能力. 全國(guó)甲卷理科第8題以測(cè)量珠穆朗瑪峰高程的方法之一——三角高程測(cè)量法為背景設(shè)計(jì)，要求學(xué)生運(yùn)用立體幾何知識(shí)構(gòu)建計(jì)算模型，情境真實(shí)可靠. 全國(guó)乙卷理科第6題以北京冬奧會(huì)志愿者的培訓(xùn)為背景，考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng). 全國(guó)新高考Ⅰ卷第18題以“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽為背景，考查學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的理解與運(yùn)用. 全國(guó)甲卷文、理科第2題以我國(guó)脫貧攻堅(jiān)工作取得全面勝利和農(nóng)村振興為背景，考查學(xué)生的分析理解和數(shù)據(jù)處理能力.

高考數(shù)學(xué)命題堅(jiān)持理論聯(lián)系實(shí)際，以貼近時(shí)代、貼近社會(huì)、貼近生活的情境為載體，選取和設(shè)計(jì)有意義的實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)、能力和素養(yǎng)分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美. 全國(guó)新高考Ⅱ卷第21題取材于生命科學(xué)中真實(shí)的問(wèn)題，體現(xiàn)概率在生命科學(xué)中的應(yīng)用，考查學(xué)生運(yùn)用概率、數(shù)列、方程、函數(shù)等知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，以及數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng). 全國(guó)乙卷文、理科第17題以芯片生產(chǎn)中的刻蝕速率為背景設(shè)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用題，考查學(xué)生對(duì)平均數(shù)、方差等知識(shí)的理解和應(yīng)用. 全國(guó)新高考Ⅱ卷第6題以某物理量的測(cè)量為背景，考查學(xué)生對(duì)正態(tài)分布知識(shí)的理解與應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn). 全國(guó)甲卷理科第4題、文科第6題以社會(huì)普遍關(guān)注的青少年視力問(wèn)題為素材，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)理解和運(yùn)算求解能力. 北京卷第18題以加快新冠肺炎檢測(cè)效率為載體，分析探究“[k]合1檢測(cè)法”，著重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

我國(guó)古代涌現(xiàn)過(guò)秦九韶、劉徽、祖沖之等一大批數(shù)學(xué)家，擁有《九章算術(shù)》《數(shù)書(shū)九章》《算數(shù)書(shū)》《算法統(tǒng)宗》等數(shù)學(xué)瑰寶. 高考試題從我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中汲取營(yíng)養(yǎng)，讓學(xué)生感受“典”的魅力、弘揚(yáng)“史”的文化，這也是學(xué)以致用的一種生動(dòng)體現(xiàn). 全國(guó)乙卷理科第[9]題以劉徽《海島算經(jīng)》中的測(cè)量方法為背景，考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，使他們感悟我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的聰明才智. 浙江卷第11題以趙爽用弦圖證明勾股定理的史料為素材，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)經(jīng)典之奇妙. 全國(guó)新高考Ⅰ卷第16題以我國(guó)傳統(tǒng)文化剪紙藝術(shù)為背景，使學(xué)生體驗(yàn)探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題的能力.

例6 （全國(guó)新高考Ⅱ卷·21）一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第[0]代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第[1]代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第[2]代，……，該生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)[X]表示[1]個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù). [PX=i=pi i=0，1，2，3].

（1）已知[p0=0.4]，[p1=0.3]，[p2=0.2]，[p3=0.1]，求[EX];

（2）設(shè)[p]表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，[p]是關(guān)于[x]的方程[p0+p1x+p2x2+p3x3=x]的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)[EX≤1]時(shí)，[p=1]，當(dāng)[EX>1]時(shí)，[p<1];

（3）根據(jù)你的理解說(shuō)明第（2）小題結(jié)論的實(shí)際含義.

例7 （全國(guó)甲卷·理8）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為[8 848.86]（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一. 如圖1是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有[A，B，C]三點(diǎn)，且[A，B，C]在同一水平面上的投影[A，B，C]滿足[∠A′C′B′=45°]，[∠ABC=60°]. 由點(diǎn)[C]測(cè)得點(diǎn)[B]的仰角為[15°]，[BB]與[CC]的差為100;由點(diǎn)[B]測(cè)得點(diǎn)[A]的仰角為[45°]，則[A，C]兩點(diǎn)到水平面[ABC]的高度差[AA-CC]約為（? ? ）.（[3≈1.732].）

[C][B][A][圖1]

（A）346? （B）373? （C）446 ? （D）473

例8 （全國(guó)乙卷·理9）魏晉時(shí)期劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海島的高. 如圖2，點(diǎn)[E]，[H]，[G]在水平線[AC]上，[DE]和[FG]是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱(chēng)為“表高”，[EG]稱(chēng)為“表距”，[GC]和[EH]都稱(chēng)為“表目距”，[GC]與[EH]的差稱(chēng)為“表目距的差”，則海島的高[AB]的值為（? ? ）.

[H][G][F][E][D][C][B][A][圖2]

（A）[表高×表距表目距的差+]表高

（B）[表高×表距表目距的差-]表高

（C）[表高×表距表目距的差+]表距

（D）[表高×表距表目距的差-]表距

例9 （全國(guó)新高考Ⅰ卷·16）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折，規(guī)格為[20 dm×12 dm]的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到[10 dm×12 dm]，[20 dm×6 dm]兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和[S1=240 dm2]，對(duì)折2次共可以得到[5 dm×12 dm]，[10 dm×6 dm]，[20 dm×3 dm]三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和[S2=180 dm2]，依此類(lèi)推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為? ? ? ;如果對(duì)折[n]次，那么[k=1nSk]等于? ? ? .

4. 體現(xiàn)創(chuàng)新性，鼓勵(lì)標(biāo)新立異

素質(zhì)教育的一個(gè)突出特征就是創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，高考數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新性體現(xiàn)了科教興國(guó)和人才強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略對(duì)創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的總體要求. 發(fā)散思維、逆向思考、構(gòu)造思想、推測(cè)設(shè)想、質(zhì)疑意識(shí)、批判觀念等都是創(chuàng)新思維的重要組成部分.

高考數(shù)學(xué)命題考查學(xué)生大膽猜想、周密論證的能力，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)漏洞、彌補(bǔ)缺陷的能力，以及探尋新知、探索奧秘的能力，鼓勵(lì)學(xué)生擺脫思維定勢(shì)，勇于大膽創(chuàng)新，敢于標(biāo)新立異. 數(shù)學(xué)命題呈現(xiàn)新的問(wèn)題情境，采用新的設(shè)問(wèn)方式，讓學(xué)生在新穎的或陌生的環(huán)境中解決開(kāi)放性問(wèn)題，并從中發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、找到新規(guī)律、得出新結(jié)論.

“改變相對(duì)固化的試題形式，增強(qiáng)試題開(kāi)放性，減少死記硬背和‘機(jī)械刷題’現(xiàn)象”是高考數(shù)學(xué)試題命制的新要求. 增強(qiáng)試題開(kāi)放性主要有“舉例問(wèn)題”靈活開(kāi)放，“結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題”適度開(kāi)放，“存在問(wèn)題”有序開(kāi)放. 全國(guó)新高考Ⅱ卷第14題要求學(xué)生在理解函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上從抽象到具體構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)，它有多個(gè)答案，給不同水平的學(xué)生提供充分發(fā)揮數(shù)學(xué)能力水平的空間. 全國(guó)乙卷文、理科第16題考查學(xué)生的空間想象能力，它有多種解題方案可供選擇，并出現(xiàn)不同的正確結(jié)果，頗具選拔功能. 全國(guó)甲卷理科第18題給出三個(gè)條件，選取其中兩個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論構(gòu)造一個(gè)命題并加以證明，三種不同的組合方案體現(xiàn)了不同的思考角度和方向. 全國(guó)新高考Ⅱ卷第18題設(shè)計(jì)也具有開(kāi)放性，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解等素養(yǎng).

高考數(shù)學(xué)通過(guò)“自定義”信息題，考查學(xué)生收集分析信息、提煉加工信息、靈活運(yùn)用信息等即時(shí)學(xué)習(xí)的能力. 這種題型能夠有效考查學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，已經(jīng)成為創(chuàng)新性命題的熱點(diǎn). 北京卷第21題采用自定義數(shù)列方式，綜合考查數(shù)列、集合、充要條件等知識(shí)，突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng). 上海卷第21題自定義函數(shù)性質(zhì)，著重考查函數(shù)的性質(zhì)、解不等式等知識(shí)方法，以及學(xué)生的理性思維、推理論證等數(shù)學(xué)能力.

例10 （北京卷·16）在[△ABC]中，[c=2bcosB，][∠C=2π3].

（1）求[∠B];

（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使[△ABC]存在且唯一確定，求[BC]邊上中線的長(zhǎng).

條件①：[c=][2b];條件②：[△ABC]的周長(zhǎng)為[4+23];條件③：[△ABC]的面積為[334].

例11 （全國(guó)新高考Ⅱ卷·22）已知函數(shù)[fx=][x-1ex-ax2+b].

（1）討論[fx]的單調(diào)性;

（2）從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，證明：[fx]有一個(gè)零點(diǎn). ① [12<a≤e22，b>2a];② [0<][a<12，b≤2a].

例12 （上海卷·21）若對(duì)任意[x1，x2∈R]，當(dāng)[x2-x1∈S]時(shí)，都有[fx2-fx1∈S]，則稱(chēng)[fx]是[S]關(guān)聯(lián)的.

（1）判斷并證明[fx=2x-1]是否是[0，+∞]關(guān)聯(lián)的，是否是[0，1]關(guān)聯(lián)的;

（2）設(shè)[fx]是[3]關(guān)聯(lián)的，當(dāng)[x∈0，3]時(shí)，[fx=][x2-2x]，解不等式[2≤fx≤3];

（3）證明“[fx]既是[1]關(guān)聯(lián)的，又是[0，+∞]關(guān)聯(lián)的”當(dāng)且僅當(dāng)“[fx]是[1，2]關(guān)聯(lián)的”.

二、教學(xué)啟示：行穩(wěn)致遠(yuǎn)，適應(yīng)“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”的轉(zhuǎn)變

高考命題理念從傳統(tǒng)的“知識(shí)立意”“能力立意”評(píng)價(jià)向“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”綜合評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)變，這種轉(zhuǎn)變將促進(jìn)教學(xué)理念提升、教學(xué)方法更新、學(xué)習(xí)方式變革.

1. 以教學(xué)到位為落腳點(diǎn)，打造高效課堂

高考復(fù)習(xí)教學(xué)的“鼓點(diǎn)”應(yīng)敲在“到位”上，重錘應(yīng)落在“優(yōu)化”上. 高考結(jié)束后又有教師在嘆息：某個(gè)知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有強(qiáng)調(diào)，哪種解題方法沒(méi)有特別加以訓(xùn)練. 例如，浙江卷第22題考查以[a]為底的指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，這個(gè)教材中的基本公式易被忽視，平時(shí)往往側(cè)重以e為底的指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式運(yùn)用，這道試題恰好擊中了高考復(fù)習(xí)教學(xué)的軟肋.

教學(xué)到位是打造高效課堂的落腳點(diǎn). 首先，要重視“四基”，將基礎(chǔ)夯實(shí)到位. 緊扣教材，既深化核心概念的學(xué)習(xí)，又重視知識(shí)的回顧，包括空集、零向量、二次方程的根與二次函數(shù)的表達(dá)式、抽象函數(shù)的定義域與值域、二項(xiàng)分布、條件概率、獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件、立體幾何的截面、共軛復(fù)數(shù)、以[a]為底的對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)等. 其次，要強(qiáng)化“四能”，將方法鞏固到位. 重視本原本法，強(qiáng)調(diào)通性、通法，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 最后，要關(guān)注理解，將過(guò)程體驗(yàn)到位. 落實(shí)“以學(xué)生為中心”，摒棄“教師自我表演”，讓學(xué)生在“做中悟，悟中學(xué)”，把分析、判斷、選擇、調(diào)整、改變、突破、確認(rèn)、檢驗(yàn)、反思等活動(dòng)貫穿于課堂教學(xué)的始終.

2. 以微專(zhuān)題課為生長(zhǎng)點(diǎn)，提升思維品質(zhì)

微專(zhuān)題課是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的主要課型，是理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、技能的有效手段，是促進(jìn)學(xué)生實(shí)現(xiàn)由懂到會(huì)、由會(huì)達(dá)熟、由熟及化的有效途徑. 微專(zhuān)題教學(xué)對(duì)核心概念深度挖掘，對(duì)主干知識(shí)延伸拓展，對(duì)重要方法精雕細(xì)琢，讓學(xué)生在研究性學(xué)習(xí)中感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)和規(guī)律.

微專(zhuān)題課是提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”“催化劑”“助推器”. 首先，要發(fā)揮微專(zhuān)題的突破性功能，引導(dǎo)學(xué)生把握重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，找準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn)，聚焦轉(zhuǎn)折點(diǎn)，克服易錯(cuò)點(diǎn)，攻破薄弱點(diǎn). 其次，要發(fā)揮微專(zhuān)題的延拓性功能，以變式教學(xué)為支撐，充分發(fā)揮例題的示范作用，有效挖掘典型例題和習(xí)題的潛在價(jià)值，適當(dāng)拓展“極化恒等式”等結(jié)論，嚴(yán)格控制“極值點(diǎn)偏移”等難度. 最后，要發(fā)揮微專(zhuān)題的過(guò)程性功能，注重教學(xué)情境設(shè)計(jì)，關(guān)注數(shù)學(xué)題的“前世今生”，強(qiáng)調(diào)過(guò)程性學(xué)習(xí)，重視過(guò)程性評(píng)價(jià).

3. 以問(wèn)題鏈教學(xué)為著力點(diǎn)，引領(lǐng)“四能”提升

數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)之源是問(wèn)題式學(xué)習(xí). 問(wèn)題式學(xué)習(xí)的內(nèi)涵是情境化、過(guò)程性、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、主動(dòng)學(xué)習(xí)，而問(wèn)題鏈教學(xué)的特征是目標(biāo)指向的高階性、問(wèn)題設(shè)置的適切性、分析探究的深刻性、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的伴隨性. 問(wèn)題鏈教學(xué)回應(yīng)了培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教育價(jià)值訴求，在教學(xué)理想與現(xiàn)實(shí)之間取得了動(dòng)態(tài)平衡，為新課程、新教材的落地生根開(kāi)辟了新的路徑.

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)如果以眾多例題裝“模樣”、以變式手段作“門(mén)面”、以合作討論充“胖子”，那就會(huì)造成課堂一盤(pán)散沙、學(xué)生一無(wú)所獲. 首先，要扎實(shí)開(kāi)展基于問(wèn)題鏈的深度學(xué)習(xí)，努力減負(fù)、提質(zhì)、增效. 復(fù)習(xí)教學(xué)不要太多的所謂橫向“變式”，高三學(xué)生亟需主題式、專(zhuān)題性的縱向問(wèn)題鏈探究. 其次，要結(jié)合具體情境加快知識(shí)之間的微結(jié)構(gòu)聯(lián)結(jié)，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力源;通過(guò)課堂有效組織保持思維躍動(dòng)，發(fā)展元認(rèn)知水平;圍繞開(kāi)放性教學(xué)活動(dòng)培養(yǎng)綜合能力，形成知識(shí)宏結(jié)構(gòu). 最后，要以猜想為啟發(fā)點(diǎn)，構(gòu)建多元思維的發(fā)展空間;以過(guò)程為深耕點(diǎn)，夯實(shí)創(chuàng)新能力的生長(zhǎng)基礎(chǔ);以結(jié)果為表征點(diǎn)，探尋思維品質(zhì)的提升路徑.

4. 以大數(shù)據(jù)運(yùn)用為切入點(diǎn)，促進(jìn)精準(zhǔn)教學(xué)

立足高中數(shù)學(xué)教育實(shí)際，針對(duì)高三數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀，以培育學(xué)生核心素養(yǎng)、促進(jìn)可持續(xù)發(fā)展為著眼點(diǎn)，以打造數(shù)學(xué)精準(zhǔn)課堂教學(xué)為目標(biāo)，開(kāi)展基于大數(shù)據(jù)運(yùn)用的高考試題研究，探究精準(zhǔn)課堂的教學(xué)特點(diǎn)、實(shí)現(xiàn)路徑和行動(dòng)策略.

實(shí)施數(shù)學(xué)課堂精準(zhǔn)教學(xué)，常態(tài)課是立足點(diǎn)，課后答疑是關(guān)鍵點(diǎn)，借助大數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)是增長(zhǎng)點(diǎn). 首先，要常態(tài)下提效，反思中精準(zhǔn). 在第一輪復(fù)習(xí)常態(tài)課教學(xué)中對(duì)知識(shí)梳理、高考頻道、例題精選、歸納提煉等環(huán)節(jié)中的優(yōu)劣得失進(jìn)行比較與反思，探索在“精準(zhǔn)”中“提效”的常態(tài)課復(fù)習(xí)教學(xué)經(jīng)驗(yàn). 其次，課后答疑是精準(zhǔn)課堂的必要補(bǔ)充、提高質(zhì)量的有效手段. 要研究答疑目標(biāo)、答疑現(xiàn)狀、答疑動(dòng)因，拷問(wèn)“何以致疑”“疑歸何處”，形成學(xué)生為先、把脈為要、化大為小、化難為易、化生為熟等答疑策略. 最后，要充分利用大數(shù)據(jù)技術(shù)，發(fā)揮數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)的作用，改變傳統(tǒng)作業(yè)批改方式，精準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，及時(shí)調(diào)整教師的教學(xué)策略，靈活便捷地進(jìn)行資源共享，共同提高整體復(fù)習(xí)效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部考試中心制定. 中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[2]教育部考試中心. 中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[3]唐恒鈞，張維忠. 數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)的理論與實(shí)踐[M]. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.

[4]陳延付，朱恒元. 注重素養(yǎng)導(dǎo)向? 開(kāi)展精準(zhǔn)教學(xué)：2019年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試卷的特點(diǎn)及啟示[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2019（7 / 8）：3-9.

[5]朱恒元，吳連成. 落實(shí)根本任務(wù)? 適應(yīng)深度轉(zhuǎn)變：2020年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試卷的特點(diǎn)及啟示[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2020（9）：2-12.