初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的具體實施

趙齊猛

摘要：體驗式教學(xué)符合人腦的功能特征：右腦（感性腦）決定了人可以靠經(jīng)驗、直覺去思考和判斷;左腦（理性腦）決定了人可以靠證據(jù)、邏輯推理去思考和判斷。從腦體并用、知行合一的特征出發(fā)，結(jié)合多年實踐，在“明確的教學(xué)目標(biāo)”“適切的教學(xué)內(nèi)容”“主動的具身參與”等實施要件的基礎(chǔ)上，形成初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的有效實施途徑，即突出學(xué)生主體地位的“看、做、想、說”體驗系統(tǒng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)體驗;教學(xué)實施;體驗系統(tǒng)

一、初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的實施依據(jù)

中共中央、國務(wù)院《關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見》指出，要積極探索基于情境、問題導(dǎo)向的互動式、啟發(fā)式、探究式、體驗式等課堂教學(xué)。如何實施體驗式教學(xué)？皮亞杰認(rèn)為，知識來源于動作。杜威指出，一切理性思維都是以身體經(jīng)驗為基礎(chǔ)的。布魯納認(rèn)為，人類認(rèn)知要經(jīng)歷從動作表征到圖像表征再到符號表征的過程。這些理論的提出其實符合人腦的功能特征：右腦（感性腦）決定了人可以靠經(jīng)驗、直覺去思考和判斷;左腦（理性腦）決定了人可以靠證據(jù)、邏輯推理去思考和判斷。

在波利亞、徐利治等國內(nèi)外數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家看來，數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)、生物等學(xué)科一樣，既需要經(jīng)驗和直覺，也需要證據(jù)和邏輯推理。同時，數(shù)學(xué)有自身的學(xué)科特點，許多數(shù)學(xué)概念、定理和法則等都有孕育、生長和形成的動力、原因，學(xué)習(xí)者只有將內(nèi)心世界與外部世界通過內(nèi)省體驗融為一體，才能獲得其真知，悟出其真理。作為一種學(xué)習(xí)方式，數(shù)學(xué)體驗不僅關(guān)注外部的感受、操作和探索，而且關(guān)注由此而引發(fā)的內(nèi)隱認(rèn)知、建構(gòu)和領(lǐng)悟。

二、初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的實施要件

（一）明確的教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)就是教學(xué)活動中所期待得到的學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果。從體驗教學(xué)的內(nèi)容及其內(nèi)部邏輯來看，初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的目標(biāo)主要包括行為性目標(biāo)、認(rèn)知性目標(biāo)和情感性目標(biāo)。

1.行為性目標(biāo)：親身經(jīng)歷看、聽、做等活動，以具體、實際的動作作為支柱，借助形象、直觀形成抽象的數(shù)學(xué)對象和數(shù)學(xué)猜想。

2.認(rèn)知性目標(biāo)：親身經(jīng)歷想、議、說等活動，以概念作為支柱，借助判斷、推理的形式揭示事物的本質(zhì)屬性和內(nèi)在規(guī)律，通過抽象、推理和建模獲得問題解決的能力。

3.情感性目標(biāo)：在環(huán)境刺激和主體參與下，激發(fā)好奇心、求知欲和成就感、自信心，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維方式和理性精神，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（二）適切的教學(xué)內(nèi)容

目前，各版本初中數(shù)學(xué)教材中的“操作”“嘗試”“思考”和“數(shù)學(xué)實驗”等欄目，為數(shù)學(xué)體驗教學(xué)提供了豐富的內(nèi)容資源。初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)應(yīng)該依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，整合現(xiàn)行各版本教材，結(jié)合個人設(shè)計，重點針對那些學(xué)生認(rèn)識和掌握有難度，但通過特定的體驗卻易于理解和領(lǐng)悟的教學(xué)內(nèi)容。無論是理解知識的基礎(chǔ)性內(nèi)容，還是運用知識的拓展性內(nèi)容，都要貼近學(xué)生的實際，有利于學(xué)生經(jīng)歷與探索。只有教學(xué)內(nèi)容適切，才能便于實施，高效實施。

（三）主動的具身參與

“實踐出真知”，說明真正的知識只有從實踐中獲得。試舉兩例：

如圖1所示，取1張A4紙，對折后撕掉其中的一半，對剩下的一半做同樣的操作，如此依次進(jìn)行下去，問：這樣的操作能進(jìn)行幾次？對此，有人說與紙的厚度有關(guān)，有人說與紙的柔軟度有關(guān)，還有人說可以操作10次以上。其實，如果沒有親歷操作體驗，那么很難得到正確結(jié)論。

如圖2所示，將兩枚同樣大小的硬幣放在桌上，固定其中一枚，讓另一枚沿著其邊緣無滑動滾動一周，問：滾動的硬幣自轉(zhuǎn)了幾圈？對此，許多人覺得，由于兩枚硬幣大小相等，滾動的硬幣在固定的硬幣上滾過的弧長等于固定的硬幣的周長，因此滾動的硬幣自轉(zhuǎn)了1圈。其實，如果親手操作一遍，便會發(fā)現(xiàn)實驗結(jié)果與直覺猜想不一樣。

具身認(rèn)知理論認(rèn)為，在特定環(huán)境下的具身體驗?zāi)茉斐蓮?qiáng)烈的心理刺激，有利于弄清數(shù)學(xué)問題和知識的來龍去脈，有利于養(yǎng)成數(shù)學(xué)的思維方式。在某種意義上，“體驗”就是實踐，就是具身。身體是刺激的感受器和行為的效應(yīng)器，塑造了人們看待世界的方式，身體在活動中的感受、知覺為人們的思維和表達(dá)提供了最初的內(nèi)容。人的心理感覺激活于生理體驗，思維認(rèn)知發(fā)端于身體感知，品格素養(yǎng)形成于具身領(lǐng)悟。

三、初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的實施途徑

基于腦體并用、知行合一的特征，結(jié)合多年實踐，我們認(rèn)為，LDTS（Look、Do、Think、Say），即“看、做、想、說”體驗系統(tǒng)是初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的有效實施途徑。

（一）在“看”中體驗數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)和驗證

科學(xué)研究表明，大腦接受的感覺信息80%以上來自視覺，因此視覺信息的準(zhǔn)確獲取、正確加工（編碼和解碼）是大腦進(jìn)行高效認(rèn)知的基礎(chǔ)。所以，“看”是初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)最基本的實施途徑。

廣義地理解，“看”是輸入信息，包括閱讀材料（主要是符號表征）。閱讀材料既要聚焦，又要兼顧;既要看到表象，更要看到實質(zhì)。因此，要按信息的主次梳理、分類和整合，合理忽略不相關(guān)的和不重要的，充分挖掘派生信息和隱含信息。例如：已知關(guān)于x的方程kx²-2x+1=0有實數(shù)根，求k的取值范圍。對此，許多學(xué)生會有思維定式，直接用判別式Δ≥0求解，而未看出材料所蘊(yùn)含的需要對k的值是否為0分類討論的信息。

聚焦數(shù)學(xué)體驗教學(xué)，“看”主要是看操作的過程和結(jié)果（動作表征和圖像表征），即直觀的東西?！皟?nèi)行看門道，外行看熱鬧”，意即內(nèi)行人看事情主要看本質(zhì)，而外行人看事情只能看外表?？床僮鞯倪^程和結(jié)果，要看懂各個環(huán)節(jié)和要素之間的順序和關(guān)系，把實際操作抽象成數(shù)學(xué)變換，思考數(shù)學(xué)變換背后的數(shù)學(xué)原理及結(jié)論。

（二）在“做”中體驗數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)和驗證

“做”是“看”的基礎(chǔ)（所“看”的東西通常是“做”出來的），“做”也是看的深入（在“做”的過程中，除了視覺，還會接受其他感覺信息，獲得更為具身的體驗）。數(shù)學(xué)體驗教學(xué)，不僅要讓學(xué)生“看”，而且要讓學(xué)生“做”，從中更好地發(fā)現(xiàn)和驗證數(shù)學(xué)對象和結(jié)論。

從目的性和方向性來看，操作有兩個層次：一是隨意操作，看具象和表象中的特征，結(jié)合自己的經(jīng)驗產(chǎn)生臆想;二是在數(shù)學(xué)思維的參與引導(dǎo)下操作，看直觀抽象中的本質(zhì)屬性和內(nèi)在規(guī)律，借助判斷、推理的形式探索、猜想、驗證、證明。此外，“做”既包括實物操作，也包括信息技術(shù)操作，甚至包括畫圖、演算等。

例如，教學(xué)“圓周角的概念和性質(zhì)”，可以設(shè)計和使用“圓周角體驗器”——當(dāng)然，也可以利用動態(tài)幾何軟件模擬。

圓周角體驗器如圖7所示，由直軌道和圓軌道構(gòu)成，兩個軌道的中央都有可供鉚釘運動的燕尾槽（直軌道外端密封，圓軌道在兩個固定鉚釘之間的優(yōu)弧上），直軌道可以繞圓軌道的圓心自由轉(zhuǎn)動;活動鉚釘帶動細(xì)彈簧，可以在兩個軌道交叉處變軌，固定鉚釘和圓軌道的圓心之間有細(xì)線連接。

教學(xué)中，首先可以讓學(xué)生隨意操作。如下頁圖8所示，將細(xì)彈簧和活動鉚釘構(gòu)成的∠BAC的頂點A從圓心O出發(fā)，在直軌道上自由移動，在移動的過程中感受∠BAC的大小隨點A的位置變化而變化的特征;還可以變軌，將∠BAC的頂點A在圓軌道上自由移動。在操作中產(chǎn)生臆想：∠BAC的大小可能與頂點A的位置有關(guān)，應(yīng)該小于圓心角∠BOC。這一臆想不僅為圓周角“兩要素”的概括提供了原生性指向，也為后續(xù)利用圓心角研究圓周角的大小提供了合理性暗示。自主操作中無意間的發(fā)現(xiàn)很重要。

再如，教學(xué)“將軍飲馬問題”（比如：如圖10所示，要在一條筆直的路邊，即直線l上建一個燃?xì)庹荆騦同側(cè)的兩個城鎮(zhèn)A、B分別鋪設(shè)管道輸送燃?xì)?，試確定燃?xì)庹镜奈恢茫沟娩佋O(shè)管道的路線最短），可以引入皮筋張力模型和光線反射模型，引導(dǎo)學(xué)生操作實物——當(dāng)然，也可以利用動態(tài)幾何軟件模擬。

首先是隨意操作。如下頁圖11所示，把一根皮筋的兩端系在A、B兩點（皮筋長度接近線段AB的長度），用彈簧秤掛鉤鉤住皮筋（可以使用少許潤滑油，確保掛鉤能在皮筋上流暢滑動，兩側(cè)皮筋對掛鉤的拉力一致），將掛鉤拖到直線l上，移動掛鉤的位置，觀察彈簧秤讀數(shù)的變化，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)掛鉤移動到A、B兩點在直線l上的射影之間的某點C處時，彈簧秤的讀數(shù)最小，說明此時折線ACB最短?；蛘?，如圖12所示，將一塊平面境放在直線l處，讓一束光線從點A射向直線l，調(diào)整入射的角度，觀察反射光線何時經(jīng)過點B，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)光線射向A、B兩點在直線l上的射影之間的某點C處時，反射光線經(jīng)過點B，說明此時折線ACB最短（在同一種介質(zhì)中，光沿最短路線傳播）。在上述操作中可以產(chǎn)生直覺猜想：使得路線ACB最短的點C位于A、B兩點在直線l上的射影之間（并且離到直線l更近一些的點A的射影更近一些）的某處。

其次是在數(shù)學(xué)思維的參與引導(dǎo)下操作。學(xué)生學(xué)過的數(shù)學(xué)中判斷長度最短的重要結(jié)論是“兩點之間線段最短”，但是這里的ACB始終是一條折線（兩條線段），沒有辦法判斷什么時候最短。怎么讓ACB有可能變成一條線段？發(fā)現(xiàn)是點A、B在直線l的同側(cè)導(dǎo)致ACB始終是一條折線，同時受到平面鏡成像原理的啟發(fā)，可以想到把點A、B放到直線l的異側(cè)，并且保持它們到直線l上任意一點的距離不變。為此，不難想到作點A（或B）關(guān)于直線l的對稱點A′（或B′），如圖13所示。從而，可以進(jìn)一步結(jié)合操作（這時最好利用動態(tài)幾何軟件，更加直接地看出長度的變化），得到解題結(jié)果：燃?xì)庹镜奈恢脼锳′B與l的交點C處。

（三）在“想”中體驗數(shù)學(xué)知識的證明和生長

“看”和“做”是感官從外部輸入信息，而“想”則是大腦在內(nèi)部處理信息。“想”是初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)關(guān)鍵的實施途徑?！翱础焙汀白觥钡倪^程都離不開“想”，數(shù)學(xué)體驗學(xué)習(xí)實際上是“看”或“做”和“想”相輔相成、相互交融的學(xué)習(xí)方式。除了與“看”或“做”結(jié)合在一起，理解“看”或“做”的內(nèi)容，找到“看”或“做”的角度和方法，“想”最重要的功能是證明猜想和變式遷移（拓展應(yīng)用）。

例如，為了發(fā)展學(xué)生的空間觀念，可以引導(dǎo)學(xué)生探究正方體截面的形狀：用一個平面截正方體，截面的形狀可能是什么？對此，可以引導(dǎo)學(xué)生用小刀切正方體橡皮，觀察切面的形狀;或在可密閉的全透明的正方體盒子中注水，觀察水面的形狀。在學(xué)生歸納發(fā)現(xiàn)切面或水面可能是三角形、四邊形、五邊形和六邊形后，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：截面三角形是銳角三角形;截面四邊形至少有一組對邊平行，即可以是正方形、矩形、平行四邊形、梯形;截面五邊形有兩組對邊平行，截面六邊形三組對邊都平行。由此，可以引導(dǎo)學(xué)生思考如何證明這些結(jié)論。

“想”完猜想的證明也就解決了最初的問題（證明是數(shù)學(xué)思維的理性精神最重要的體現(xiàn)），接著可以“想”問題的變式和經(jīng)驗的遷移：變式就是變更問題的非本質(zhì)特征，而遷移就是運用解題的本質(zhì)（不變）規(guī)律。這是因為數(shù)學(xué)知識總是相互聯(lián)系形成結(jié)構(gòu)的，數(shù)學(xué)問題總是相互關(guān)聯(lián)生長變化的——正如波利亞所說的“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找找，很可能附近就有好幾個”，而這樣“想”可以充分發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升思維的深刻性和靈活性等，還能及時評價之前數(shù)學(xué)體驗學(xué)習(xí)的效果。

上面的案例中，證明截面三角形是銳角三角形后，可以繼續(xù)思考如下變式問題：如圖15所示，在截去三棱錐“角塊”S-ABC剩下的“正方體”上再截下一個三棱錐“角塊”B-DEF，則截面△DEF還一定是銳角三角形嗎？為什么？比較遷移之前的經(jīng)驗，結(jié)合利用動態(tài)幾何軟件的操作，可以發(fā)現(xiàn)：之前“角塊”的頂點S處的三個面角都是直角，頂點S沿著一條棱移動后形成的截面三角形的內(nèi)角都比面角小，因而都是銳角;現(xiàn)在“角塊”的頂點B處的三個面角兩個是鈍角和一個是銳角，頂點B沿著一條棱移動后形成的截面三角形的內(nèi)角雖然比面角小，但是可以很接近面角（考慮極端的情形），因此可以是鈍角，當(dāng)然也可以是直角或銳角，也就是說，截面△DEF可能是銳角三角形或直角三角形或鈍角三角形。

其實，前面的案例中，解決基本的（或者說經(jīng)典的）“將軍飲馬問題”后，可以繼續(xù)思考這樣兩個變式問題：如圖16、圖17所示，要在A、B兩個城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個生態(tài)保護(hù)區(qū)，燃?xì)夤艿啦荒艽┻^該區(qū)域，請分別確定燃?xì)庹镜奈恢?，設(shè)計鋪設(shè)管道的路線，使之最短。

（四）在“說”中完成數(shù)學(xué)體驗的升華和檢驗

如果“看”和“做”是輸入，“想”是處理，那么“說”就是輸出。如果“看”“做”和“想”是自己搞懂，那么“說”就是讓他人也懂。看似通過“看”“做”和“想”已經(jīng)完成的數(shù)學(xué)體驗學(xué)習(xí)其實需要通過“說”來升華和檢驗。因為“說”需要通過反省體悟和提煉組織，使得內(nèi)容更加重點突出和條理清晰，從而更好理解。有些時候，我們以為自己想清楚了，但說出來的卻不清楚，這就說明我們沒有真正地想清楚，也就倒逼我們再去想，乃至看和做。所以，“學(xué)習(xí)金字塔”理論認(rèn)為，“說”（“教別人”）是最好的學(xué)習(xí)方式。結(jié)合數(shù)學(xué)體驗學(xué)習(xí)的過程，“說”的內(nèi)容可以分為三類。

一是經(jīng)驗性理解，也就是基于直觀的“看”和“做”的理解。例如，對于a²-b²=（a+b）（a-b）的因式分解及其逆向變形的乘法公式，可以借助“從大正方形的角上割去一個小正方形，重新拼成一個矩形”的操作（如下頁圖18所示）來理解。學(xué)習(xí)了這一內(nèi)容后，可以設(shè)計變式問題，讓學(xué)生說一說自己的經(jīng)驗性理解。如何研究a³-b³的因式分解及其逆向變形的乘法公式？由a²、b²表示正方形的面積想到a³、b³表示正方體的體積，于是可以從大正方體的角上割去一個小正方體，然后類比“拼成矩形”的方法拼成一個柱體（如下頁圖19所示），從而得到a³-b³=（a-b）（a²+b²+ab）及其逆向變形。

三是結(jié)構(gòu)化理解，即基于數(shù)學(xué)知識之間聯(lián)系的理解。例如，學(xué)習(xí)了“平行四邊形”一章后，可以讓學(xué)生回答以下問題：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫作箏形（也可定義為：一條對角線垂直平分另一條的四邊形叫作箏形），如何在如圖20所示的文氏圖中給箏形安個“家”？要正確安“家”，必須搞清楚箏形與其他對象的聯(lián)系和差異。首先，箏形是四邊形，所以“家”在“四邊形”集合內(nèi)。其次，箏形的對邊可能相等，也可能不相等，若相等，則為菱形;若不相等，則不是平行四邊形。所以，其“家”的一部分與“菱形”集合重合，而另一部分在“平行四邊形”集合外。這樣，我們就不難給箏形安“家”了：圖21中的陰影部分。

最后需要指出的是，LDTS只是一種探索性主張，具體的教學(xué)方法依教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)情境等因素的不同而變化;初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的探索無止境，根本宗旨是轉(zhuǎn)變育人方式、提高育人水平。

參考文獻(xiàn)：

[1] 呂林海.數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)與教學(xué)：文化的視角[M].北京：教育科學(xué)出版社，2013.

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點資助課題“初中數(shù)學(xué)體驗校本課程的開發(fā)研究”（編號：Ra/2018/07）的階段性研究成果。