二維渦流的反饋與操控

劉皓天，馮杰成，康現(xiàn)偉

(1. 北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875；2. 北京師范大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京 100875)

電磁渦流是最常見的電磁感應(yīng)現(xiàn)象之一，在電子電氣工程領(lǐng)域有著重要的地位和廣泛的應(yīng)用，但在精度和適用范圍方面都存在著許多局限.通過對(duì)其物理本質(zhì)的探索和近些年來材料領(lǐng)域的飛速進(jìn)步，人們認(rèn)為渦流在不同領(lǐng)域還具備更大的潛力.

1 渦流探測(cè)的唯一性證明

渦流探傷可以說是渦流最重要的應(yīng)用之一，其正確性由這一類“逆問題”的唯一性所保證.其中，最受人關(guān)注的是“對(duì)于一個(gè)反饋信號(hào),被探測(cè)物體是否只存在一種電磁結(jié)構(gòu)？”倘若答案是否定的，那么這樣的探測(cè)方法必定會(huì)受到很大的局限.

想要回答這個(gè)問題，首先要回答“是否存在一種電流，其外部產(chǎn)生的磁場(chǎng)為0？”這樣的情況的確存在.1910年，Ehrenfest[1]首先提出了該想法，并做出了初步數(shù)學(xué)驗(yàn)證.1989年，Gamliel, Kim, Nachman和Wolf[2]給出了一個(gè)十分有用的結(jié)論：有界源在區(qū)域A分布，形成的電磁場(chǎng)滿足

(1)

其中，q(r)表示隨r衰減的源函數(shù).

式(1)的解為[3]

(2)

積分區(qū)域?yàn)锳.

當(dāng)源q(r)在外界區(qū)域B不產(chǎn)生電磁波輻射時(shí)，一定滿足邊界條件

u(r)|r∈S=0

(3)

(4)

其中，S表示A和B的邊界，如圖1所示.即在邊界處，若源產(chǎn)生的場(chǎng)平滑地趨于0，這個(gè)源是不會(huì)在區(qū)域B發(fā)出輻射的.設(shè)總磁場(chǎng)H(r,t)為

H(r,t)=Hi(r,t)+Hr(r,t)

(5)

其中，Hi(r,t)表示激勵(lì)磁場(chǎng)，由檢測(cè)探頭上的交流電產(chǎn)生，可令被探物體產(chǎn)生渦流，該渦流對(duì)應(yīng)上文提及的有界源.Hr(r,t)表示反饋磁場(chǎng)，由被探物體的渦流產(chǎn)生，作為探測(cè)信號(hào)由檢測(cè)探頭接收.

圖1 邊界S示意圖

渦流擴(kuò)散方程

(6)

其中，μ(r)表示為磁化率，σ(r)表示電導(dǎo)率.初始條件為

H(r,0)=Hi(r,0)

(7)

令H(r,t)=H(r)eiωt，方程(6)可化簡(jiǎn)為

(8)

令k2=-iω

(9)

(10)

將式(5)代入式(10)得

(11)

(12)

式(12)與(1)類似，其解可寫為

(13)

積分區(qū)域?yàn)锳.當(dāng)μ(r)、σ(r)為常數(shù)，即F(r′)為常數(shù)時(shí)，Hr(r)|r∈S≠0.因此，渦流在區(qū)域B中會(huì)產(chǎn)生反饋磁場(chǎng).而當(dāng)μ(r)、σ(r)不為常數(shù)時(shí)，渦流產(chǎn)生的反饋磁場(chǎng)在邊界S處有平滑地趨于0的可能.

由于渦流探測(cè)最主要的用途是對(duì)大型金屬原件探傷，通常面對(duì)的材料都是各向同性的，因此不存在上文提及的在外部產(chǎn)生磁場(chǎng)為0的電流.現(xiàn)在，假設(shè)在外部產(chǎn)生磁場(chǎng)為0的電流I′r存在.當(dāng)被探物體的電磁結(jié)構(gòu)改變，激勵(lì)磁場(chǎng)Hi引起的渦流由Ir變?yōu)镮r+I′r時(shí)，而在外部產(chǎn)生的反饋磁場(chǎng)Hr不變.即導(dǎo)致一種反饋磁場(chǎng)對(duì)應(yīng)兩種電磁結(jié)構(gòu)，唯一性被破壞.然而，當(dāng)在外部產(chǎn)生磁場(chǎng)為0的電流不存在時(shí)，唯一性得到保障.

2 渦流探測(cè)在工業(yè)應(yīng)用

在工業(yè)應(yīng)用中，通過監(jiān)測(cè)渦流在樣品中的變化可以來探測(cè)樣品的各種性質(zhì)：電導(dǎo)率、硬度，是否有裂痕，區(qū)分純材料和合金等.

2.1 渦流探測(cè)原理

工作原理為檢測(cè)探頭通入交流電，由于電磁感應(yīng)在樣品中形成渦流，渦流再次形成反饋磁場(chǎng)，對(duì)探頭的阻抗產(chǎn)生影響.監(jiān)測(cè)探頭阻抗的變化即可實(shí)現(xiàn)對(duì)樣品的檢測(cè)[4].設(shè)未受影響時(shí)的探頭阻抗為

Z0=R0+i2πfL0

(14)

其中，R0表示電阻，i表示虛數(shù)單位，f表示測(cè)試頻率，L0表示探頭電感.受反饋磁場(chǎng)影響后的探頭新阻抗為

Zc=Rc+i2πfLc

(15)

Rcn>Rcn+crack，Lcn

這是因?yàn)楫?dāng)樣品中有裂痕時(shí)，會(huì)阻礙渦流，導(dǎo)致生成的反饋磁場(chǎng)減小，使得阻抗實(shí)部減??；激勵(lì)磁場(chǎng)和反饋磁場(chǎng)的疊加之和增大，使得阻抗的虛部增大.

2.2 趨膚效應(yīng)對(duì)渦流探測(cè)的影響

在工業(yè)運(yùn)用中，考慮到趨膚效應(yīng)，通常會(huì)通過改變測(cè)試頻率來適應(yīng)不同的檢測(cè)材料.

(16)

其中，J(z)表示樣品深度為z的電流面密度，Jmax表示樣品表面最大電流密度，δ表示標(biāo)準(zhǔn)滲透深度，α0表示為初始相位，ex表示電流方向.

(17)

其中，ω=2πf.由式(17)得，測(cè)試頻率越低，電磁探傷可以達(dá)到的深度就越大.

2.3 電導(dǎo)率、磁導(dǎo)率對(duì)渦流探測(cè)的影響

在工業(yè)應(yīng)用中，對(duì)于電導(dǎo)率高的樣品，產(chǎn)生的渦流強(qiáng)度更高，導(dǎo)致探頭接收到的信號(hào)電平更高.有助于分辨究竟是由于材料自身厚度不均導(dǎo)致的信號(hào)變化，還是材料自身存在裂痕導(dǎo)致的信號(hào)變化.但是由式(17)可知，高導(dǎo)電率樣品的標(biāo)準(zhǔn)滲透深度δ較小，能夠檢測(cè)的深度有限.

鐵磁材料由于磁導(dǎo)率變化大，對(duì)渦流會(huì)產(chǎn)生較大影響，導(dǎo)致檢測(cè)難度增大.可以通過平均化磁導(dǎo)率來降低不均衡磁導(dǎo)率的影響.將樣品足夠靠近通入大電流的磁化盤，使樣品磁化即可.

3 渦流操控

渦流在工程上的重要性不言而喻，利用相關(guān)原理的設(shè)計(jì)也是應(yīng)用廣泛.因此，如果能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)渦流的操控，例如在某一特定激勵(lì)磁場(chǎng)下，通過設(shè)計(jì)負(fù)載的屬性，令其產(chǎn)生符合人們預(yù)期的渦流，會(huì)對(duì)相關(guān)領(lǐng)域很有幫助.

渦流操控，很早就被應(yīng)用于產(chǎn)品中.例如為了減小渦流帶來的損耗，變壓器的鐵芯經(jīng)常由鋼片壓制而成，中間的空氣間隙有效地減弱了渦流.為了更加精細(xì)地操控，改變材料的磁導(dǎo)率和介電常數(shù)是最直接的方法[5].

首先，推導(dǎo)最基本的渦流方程.本構(gòu)方程:

J=σE

(18)

B=μH

(19)

麥克斯韋方程組:

(20)

其中，ε表示介電常數(shù).

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

稱式(25)為渦流的擴(kuò)散方程.同理，還可以得到關(guān)于電場(chǎng)的擴(kuò)散方程

(26)

實(shí)際上這一方程只適用于電導(dǎo)率σ和磁導(dǎo)率μ為常數(shù)情況.完整描述導(dǎo)體中磁場(chǎng)的方程應(yīng)該修改為[6]

(27)

做以下簡(jiǎn)化：

2) 電導(dǎo)率σ和磁導(dǎo)率μ變化相對(duì)平緩，在高頻情況下，其梯度的變化相對(duì)于磁場(chǎng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化很小，忽略式(27)后面兩項(xiàng);

3) 激勵(lì)磁場(chǎng)的邊界條件：固定頻率為ω的正弦場(chǎng);

4) 考慮無窮大二維平面.

則得到了更加簡(jiǎn)單的渦流方程:

(28)

令z=x+iy，方程寫成

(29)

設(shè)γ=μσ，做一次保角變換，令ζ=ζ(z)

(30)

通過在不同區(qū)域設(shè)計(jì)不同大小的γ，可以從z坐標(biāo)系中的磁場(chǎng)變換到ζ坐標(biāo)系中的目標(biāo)磁場(chǎng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)渦流的操控.以上只是簡(jiǎn)略的數(shù)學(xué)近似，該方法只適用于借助對(duì)稱可以化為二維的系統(tǒng).

另一種由Pendry[7]提出的方法可以適用于三維空間.本文將其應(yīng)用在簡(jiǎn)化的二維渦流上.假設(shè)新的坐標(biāo)為q1(x,y)、q2(x,y),定義

(31)

作為簡(jiǎn)寫形式.

由于麥克斯韋方程組的協(xié)變性，滿足方程組的解在新坐標(biāo)下形式保持不變，只需將介電常數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ改為張量形式(對(duì)應(yīng)各向異性材料的情況).此時(shí)渦流擴(kuò)散方程的形式會(huì)變得更加復(fù)雜，所以在這里做一個(gè)限定

J=σE

(32)

始終成立，即二者始終保持線性關(guān)系.在新的正交坐標(biāo)系下，磁導(dǎo)率μ′qi，介電常數(shù)ε′qi為

(33)

(34)

磁場(chǎng)強(qiáng)度H′qi，電場(chǎng)強(qiáng)度E′qi變?yōu)?/p>

E′qi=QqiEi

(35)

H′qi=QqiHi

(36)

計(jì)算得到Qqi，帶入變換后的渦流方程中，便可理論上求得各個(gè)位置的磁導(dǎo)率和介電常數(shù).這里嘗試計(jì)算幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子.

未進(jìn)行任何操作時(shí)，在均勻介電常數(shù)、磁導(dǎo)率、電導(dǎo)率的材料上，渦流是對(duì)稱的圓形，如圖2所示.

圖2 未進(jìn)行操作的渦流示意圖

如果希望渦流效應(yīng)只產(chǎn)生在R1～R2的范圍，內(nèi)部不會(huì)受到渦流的影響,如圖3所示.

圖3 范圍為R1～R2的渦流示意圖

(37)

(38)

(39)

(40)

在新的正交坐標(biāo)r′、θ′中，按照式(37)—(40)求得的磁導(dǎo)率和介電常數(shù)設(shè)計(jì)樣品.得到的樣品在激勵(lì)磁場(chǎng)中產(chǎn)生的渦流將只分布在R1～R2的范圍.相似方法可以得到渦流效應(yīng)只產(chǎn)生在0～R1的范圍，外部不會(huì)受到渦流的影響, 如圖4所示.

圖4 范圍為0～R1的渦流示意圖

這種操縱渦流的方法在理論上可以生成復(fù)雜的圖案.但圖案越復(fù)雜，材料的性質(zhì)也越復(fù)雜.所以操控渦流的精度很大程度上取決于材料加工技術(shù).

4 結(jié)論

本文論證了渦流探測(cè)逆問題的唯一性.研究了渦流探測(cè)在工業(yè)中的各種影響因素.理論證明了通過改變磁導(dǎo)率、介電常數(shù)，可以達(dá)到改變渦流形狀的目的.