注重數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

曹 陽

（南京市第二十八中學(xué)，江蘇 南京 210004）

數(shù)學(xué)知識不僅包括數(shù)學(xué)內(nèi)容，還包括這些內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法，它們隱藏在數(shù)學(xué)概念、法則公式、定理等知識的背后，它們比一般的數(shù)學(xué)概念具有更高的概括性和抽象性。重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是數(shù)學(xué)知識運用的核心，是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂。就初中數(shù)學(xué)而言，常用的數(shù)學(xué)思想方法有：符號、分類、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、類比等等。本文以初中數(shù)學(xué)為例，結(jié)合自己的教學(xué)實踐對上述思想方法作進一步的闡述。

一、初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)思想方法

1.符號的思想

研究數(shù)學(xué)問題時，為使問題簡明，常常要引進數(shù)學(xué)符號，這種引進數(shù)學(xué)符號來簡化問題的思想就是符號思想，用字母表示數(shù)的思想就屬于符號思想。符號既可表示數(shù)，亦可表示量、關(guān)系、運算、圖形等，符號思想在初中數(shù)學(xué)各章節(jié)都出現(xiàn)，可以說沒有符號就沒有代數(shù)、沒有幾何，它是簡化問題最基本的方法，利用它可以提高我們的記憶力，起到化繁為簡的目的，因此我們在教學(xué)中要貫穿這個思想，提高學(xué)生的思維能力。

例：把（a+b）2-（a-b）2分解因式

學(xué)生A：解：原式=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=4ab

學(xué)生 B：解：原式=（a+b+a-b）（a+b-a+b）=4ab

分析：剛學(xué)分解因式時，有一部分學(xué)生會采用學(xué)生A的做法，因為他們還沒有深刻地理解公式a2-b2=（a+b）（a-b）里的a，b的意義，所以不會想到學(xué)生B的做法。但是如果把題目變?yōu)椋?a+b）2-（a+2b）2，學(xué)生們會發(fā)現(xiàn)用學(xué)生A的方法分解因式困難，而采取學(xué)生B的做法，運用公式卻能分解因式。此時，教師可強調(diào)公式里的a，b不僅可以表示實數(shù)，還可以表示單項式或多項式。

2.分類討論的思想

分類思想指的是一種依據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點和差異點，將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同種類的數(shù)學(xué)思想方法。分類在解題中是一種很重要的方法，掌握分類思想，有助于學(xué)生提高理解知識、整理知識和獨立獲得知識的能力。運用這種方法解決數(shù)學(xué)問題要注意兩點：一是不能遺漏，二是不能重復(fù)。

例：如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=4cm，CD=8cm，點P從A開始沿AB邊向B以3cm/s的速度移動，點Q從C開始沿CD邊向D以1cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達終點時，另一點也停止運動。設(shè)運動時間為t（s）。如果⊙P和⊙Q的半徑都是2cm，那么t為何值時，⊙P和⊙Q外切？

圖1

分析：因為⊙P和⊙Q的半徑都是2cm，所以當(dāng)PQ=4cm時，⊙P和⊙Q外切。而當(dāng)PQ=4cm時，如果PQ//AD，那么四邊形APQD是平行四邊形；如果PQ與AD不平行，那么四邊形APQD是等腰梯形。本題應(yīng)該分成兩類討論，最后可得當(dāng)t為2s或3s時，⊙P和⊙Q外切。有些學(xué)生經(jīng)常會漏解，教師在教學(xué)中要把重點放在教會學(xué)生如何去分類，不要就題講題。

3.轉(zhuǎn)化的思想

轉(zhuǎn)化思想又稱化歸思想，是最常用的數(shù)學(xué)思想方法，它實際上貫穿于解題的全過程，它是根據(jù)已有的知識、經(jīng)驗把問題進行變換，轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的或容易解決的思想方法，最終目的是：化繁為簡，化抽象為直觀，化隱為顯，化難為易，化未知為已知等等。如在數(shù)的運算中，將減法化成加法，除法化成乘法，冪的運算可變成指數(shù)的加減運算；在分式計算中，把異分母分式化成同分母分式。在解方程中，把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”；分式方程變?yōu)檎椒匠獭Ｔ谧C明中，也常常用到轉(zhuǎn)化的思想。

圖2

例：如圖 2，已知?ABCD 中，AB=2AD，∠BAD=60°，E、F分別是AB和CD的中點。求證：EF、BD互相垂直平分。

分析：因為菱形的對角線互相垂直平分，所以可以轉(zhuǎn)化為證明四邊形BFDE是菱形，顯然要連接BF和DE，由已知條件，很容易先證得四邊形BFDE是平行四邊形。接著要證一組鄰邊相等，可轉(zhuǎn)化為先證△AED是等邊三角形，再根據(jù)已知AB=2AD，即可得到BE=DE。有些學(xué)生對幾何證明題甚感頭痛，主要是因為他們沒有掌握解決證明題的思想方法。

4.數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，因而數(shù)學(xué)研究總是圍繞著數(shù)與形進行的?！皵?shù)”就是方程、函數(shù)、不等式及表達式等，“形”就是圖形、圖象、曲線等。數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì)，幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是抓住數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，以“形”直觀地表達數(shù)，以“數(shù)”精確地研究形。華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微?！蓖ㄟ^深入的觀察、聯(lián)想，由形思數(shù)，由數(shù)想形，利用圖形的直觀誘發(fā)直覺。

例：若 a＞0，b＜0 且 a+b＜0，則把 a，-a，b，-b 小到大的排序。

分析：如果從“數(shù)”的范圍去討論這個問題頗顯困難，但若從“形”的角度去考慮，利用數(shù)軸很容易得到b＜-a＜a＜-b。

5.函數(shù)與方程的思想

函數(shù)與方程的思想就是用函數(shù)的觀點、方法研究問題，將非函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過對函數(shù)的研究，使問題得以解決。通常是這樣進行的：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，建立函數(shù)關(guān)系，研究這個函數(shù)，得出相應(yīng)的結(jié)論。中學(xué)數(shù)學(xué)中，方程、不等式等問題都可利用函數(shù)思想得以簡解。

例：如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，線段EF=10。在EF上取一點M，分別以EM，MF為一邊作矩形EMNH、矩形MFGN，使得矩形MFGN∽矩形ABCD。令MN=x，當(dāng)x為何值時，矩形EMNH的面積S有最大值？最大值是多少？

分析：因為矩形MFGN∽矩形ABCD，可得MF=2x，那么 EM=EF-MF=10-2x，所以，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，易得當(dāng)時，S有最大值為

二、在教學(xué)實踐中加強數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

中學(xué)數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容是由具體的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法組成的有機整體，現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材的編排一般是沿知識的縱方向展開的，大量的數(shù)學(xué)思想方法只是蘊涵在數(shù)學(xué)知識的體系之中，并沒有明確的揭示和總結(jié)。這樣就產(chǎn)生了如何處理數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的問題。進行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，必須在實踐中探索規(guī)律，以構(gòu)成數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的指導(dǎo)原則。數(shù)學(xué)思想方法的構(gòu)建有三個階段：潛意識階段、明朗和形成階段、深化階段。一般來說，應(yīng)以貫徹滲透性原則為主線，結(jié)合落實反復(fù)性、系統(tǒng)性和明確性的原則。它們相互聯(lián)系，相輔相成，共同構(gòu)成數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的指導(dǎo)思想。

1.滲透性原則

在具體知識教學(xué)中，一般不直接點明所應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法，而是通過精心設(shè)計的學(xué)習(xí)情境與教學(xué)過程，著意引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會蘊涵在其中的數(shù)學(xué)思想和方法，使他們在潛移默化中達到理解和掌握。數(shù)學(xué)思想方法與具體的數(shù)學(xué)知識雖然是一個有機整體，它們相互關(guān)聯(lián)，相互依存，協(xié)同發(fā)展，但是具體數(shù)學(xué)知識的教學(xué)并不能替代數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。一般來說，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)總是以具體數(shù)學(xué)知識為載體，在知識的教學(xué)過程中實現(xiàn)的。如果說數(shù)學(xué)方法尚具有某種外在形式或模式，那么作為一類數(shù)學(xué)方法的概括的數(shù)學(xué)思想，卻只表現(xiàn)為一種意識或觀念，很難找到外在的固定形式。因此，數(shù)學(xué)思想方法的形式絕不是一朝一夕可以實現(xiàn)的，必須日積月累，長期滲透才能逐漸為學(xué)生所掌握。如：在“有理數(shù)及其運算”一章中，可以結(jié)合“數(shù)軸”教學(xué)，進行數(shù)形結(jié)合思想的滲透；在“有理數(shù)的混合運算”中可以滲透轉(zhuǎn)化的思想方法。

2.反復(fù)性原則

學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會和掌握只能遵循從個別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級到高級的認識規(guī)律。因此，這個認識過程具有長期性和反復(fù)性的特征。從一個較長的學(xué)習(xí)過程看，學(xué)生對每種數(shù)學(xué)方法的認識都是在反復(fù)理解和運用中形成的，其間有一個由低級到高級的螺旋上升過程。如對同一數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)該注意其在不同知識階段的再現(xiàn)，以加強學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認識。另外，由于個體差異的存在，與具體的數(shù)學(xué)知識相比，學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的掌握往往表現(xiàn)出更大的不同步性。在教學(xué)中，應(yīng)注意給中差生更多的思考，接受理解的時間，逾越了這個過程，或人為地縮短，會導(dǎo)致學(xué)生囫圇吞棗，長此以往，會形成好的更好，差的更差的兩極分化局面。

3.系統(tǒng)性原則

與具體的數(shù)學(xué)知識一樣，數(shù)學(xué)思想方法只有形成具有一定結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，才能更好地發(fā)揮其整體功能。數(shù)學(xué)思想方法有高低層次之別，對于某一種數(shù)學(xué)思想而言，它所概括的一類數(shù)學(xué)方法，所串聯(lián)的具體數(shù)學(xué)知識，也必須形成自身的體系，才能為學(xué)生理解和掌握，這就是數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的系統(tǒng)性原則。

對于數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)性的研究，一般需要從兩個方面進行：一方面要研究在每一種具體數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中可以進行哪些數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。另一方面，又要研究一些重要的數(shù)學(xué)思想方法可以在哪些知識點的教學(xué)中進行滲透，從而在縱橫兩個維度上整理出數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)。如：“二元一次方程組”這一章，就體現(xiàn)了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想以及待定系數(shù)法、消元法、等基本的數(shù)學(xué)方法。