數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)

王利勇

（河源市紫金縣古竹中學(xué)，廣東 河源 517400）

數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)

王利勇

（河源市紫金縣古竹中學(xué)，廣東 河源 517400）

培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)是發(fā)展思維能力的突破口，是提高教學(xué)質(zhì)量的有效途徑。多年來，我在教學(xué)中，廣泛采用剖析“錯(cuò)在哪里”、尋找“解題新法”、注重“一題多變”、鼓勵(lì)“大膽猜想”等教法，提高學(xué)生思維的深刻性、廣闊性、靈活性和直覺性，從而有效地培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。現(xiàn)結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談幾點(diǎn)粗淺的認(rèn)識和體會。

一、剖析“錯(cuò)在哪里”，培養(yǎng)思維的深刻性

學(xué)生的學(xué)習(xí)和思考，是在不斷產(chǎn)生錯(cuò)誤和糾正錯(cuò)誤的過程中進(jìn)行的。因此，教學(xué)中要允許學(xué)生出錯(cuò)，并根據(jù)學(xué)生在解題中存在的問題，多問“錯(cuò)在哪里？”，引導(dǎo)學(xué)生對解題過程進(jìn)行反思。這樣做有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

【例 1】過雙曲線3x2-y2=3的右焦點(diǎn)F2作傾斜角為π的直線AB，6交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，求△ABF1的周長（F1是雙曲線的左焦點(diǎn)）。

圖1

圖2

對此題的解答結(jié)果，我不急于表態(tài)，而是引導(dǎo)學(xué)生對解題過程進(jìn)行反思：（1）這個(gè)結(jié)果是否有錯(cuò)？（2）如有錯(cuò)誤，錯(cuò)在哪里，如何糾正？

在整個(gè)教學(xué)過程中，我都堅(jiān)持引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程，剖析“錯(cuò)在哪里”，從而有效地提高了學(xué)生思維的批判性、深刻性。

二、尋找“解題新法”，培養(yǎng)思維的廣闊性

對同一個(gè)問題能從多個(gè)方面加以思考，對同一個(gè)對象能從多種角度加以觀察，這就是思維的廣闊性。在教學(xué)中，我喜歡采用不同形式，引導(dǎo)學(xué)生尋找“解題新法”。通過用不同的方法解決同一道數(shù)學(xué)問題，拓寬了解題思路，鞏固了所學(xué)知識，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣闊性。

【例2】如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積成反比例，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問a、b各為多少時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中的該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小?

這題我首先引導(dǎo)學(xué)生加工、檢索、提煉題中的數(shù)學(xué)模型關(guān)系：（1）2ab+2a+4b=60，（2）y=，從而把問題轉(zhuǎn)化為求解給定條件（1）下的函數(shù)y=的最值問題。由于最值問題的求解過程有極具開放性。于是我采用多種形式，啟發(fā)學(xué)生不斷另辟蹊徑，尋找“解題新法”。

緊接著，我提出新的解題方向，要求學(xué)生應(yīng)用“均值不等式”尋找“解題新法”。借鑒于第一種解法，同學(xué)們經(jīng)過類比、遷移，找到了兩種新的解法：

解法 2（簡解）：由（1）得 30=a+2b+ab≥2+ab0＜ab≤18。當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=6時(shí)等號成立。

比較、講評、總結(jié)了上面三種解法后，我把應(yīng)用“判別式法”和“導(dǎo)數(shù)法”解這一道題的任務(wù)，作為家庭作業(yè)布置給學(xué)生。作業(yè)批改時(shí)，我發(fā)現(xiàn)絕大部分學(xué)生較好地完成了這一尋找“解題新法”的任務(wù)，給出了本題的第四、第五種解法（解法略）。

家庭作業(yè)的完成，燃起了學(xué)生尋求“解題新法”的激情。我趁熱打鐵，在任教班板報(bào)的“點(diǎn)將臺”專欄上，給出了新的解題任務(wù)：“誰能在最短時(shí)間內(nèi)，分別用‘換元法’和‘?dāng)?shù)形結(jié)合法’給出98年高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的第六、第七種解法?！苯Y(jié)果，第二天早修課，便有12位學(xué)生找到了滿足要求的兩種解法：

為了優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，對類似于這一試題的典型數(shù)學(xué)題，我從不放過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“解題新法”開放性研究的機(jī)會。通過多角度、多方位的思考研究，集多種解法于一題，既匯集了大量的信息，又覆蓋了廣闊的知識，活躍了學(xué)生的思維，培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣闊性。

三、注重“一題多變”，培養(yǎng)思維的靈活性

思維的靈活性表現(xiàn)為對知識的運(yùn)用自如，既表現(xiàn)在不拘泥于陳舊的解題方法，能標(biāo)新立異探索解題新法上，還表現(xiàn)在善于概括、遷移、觸類旁通、舉一反三，以深遂的洞察力應(yīng)對一題的“千變?nèi)f化”上。因此，我在教學(xué)中既重視“一題多解”，更重視“一題多變”，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際，有目的選擇一些題目，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行延伸探索，借此提高學(xué)生思維的靈活性。

【例3】從一個(gè)正方體中，如圖那樣截去四個(gè)三棱錐后，得到一個(gè)正三棱錐，求它的體積是正方體的體積的幾分之幾？（高中《立體幾何》（必修）習(xí)題十三的第1題）。

概括、歸納了這道題的解題思想和方法后，為拓展、延伸學(xué)生的知識視野，我補(bǔ)了兩道變形練習(xí)題：

變形題1：如圖，正方體的棱長為a，求點(diǎn)A到截面BDC的距離。

變形題2：如查一個(gè)三棱錐的各棱長都為a，它的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，求這個(gè)球的半徑。

這兩道練習(xí)題，學(xué)生對例3的解題方法稍加變化遷移，很快就找到了答案。為進(jìn)一步激活學(xué)生的思維，我加了變化梯度，給出了兩道新的變形題：

變形題 3：在球面上有四個(gè)點(diǎn) P、A、B、C，如果 PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=a學(xué)，求這個(gè)球的面積。

學(xué)生反思例3解題過程，經(jīng)過類比、聯(lián)想，悟出了解題思路：把三棱錐還原為一個(gè)正方體。于是很快找到了答案：

變形題 4、如圖，ABCD、ABEF是正方形，二面角DAB-F的大小為60°，求異面直線AE、BD所成角的余弦值。

AE、BD兩異面直線所成的角，根據(jù)常規(guī)方法不易找出。不少學(xué)生通過上述練習(xí)，積極思考：能否類比、方法遷移？經(jīng)過嘗試，把圖形還原成平行六面體，易得結(jié)果為。

習(xí)題結(jié)論的抽象，源于對知識本質(zhì)特征的揭示；遞進(jìn)問題的解決，源于對知識的融化、遷移和探索；規(guī)律的總結(jié)，源于對問題的變換和發(fā)散。通過這一系列的歸納、總結(jié)、延伸、擴(kuò)展，學(xué)生的思維品質(zhì)得到了優(yōu)化，思維的靈活性得到培養(yǎng)。

四、鼓勵(lì)“大膽猜想”，培養(yǎng)思維的直覺性

思維的直覺性，是指對問題的結(jié)果不經(jīng)過邏輯思維，直接地、迅速地做出合理猜測的一種思維形式。這就是人們常說的“頓悟”；猜想是從個(gè)別的、具體的、特殊的現(xiàn)象中尋求共性，歸納出一般結(jié)論的思維過程。數(shù)學(xué)教育家波利亞曾向廣大教師發(fā)出呼吁：“讓我們教猜想吧!”為此，我在教學(xué)中總要安排一定的直覺階段，給學(xué)生留下直覺思維的空間，使學(xué)生在實(shí)踐和訓(xùn)練中，通過觀察發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)在規(guī)律，然后鼓勵(lì)他們“大膽猜想”。多年的教學(xué)實(shí)踐證明，這是發(fā)展學(xué)生直覺思維能力的重要手段。

大膽的猜想來源于大量的觀察、探索，正確的猜想來源于正確的觀察、發(fā)現(xiàn)。為了便于觀察，突出對比，引發(fā)遷移，我首先引導(dǎo)學(xué)生列出如下數(shù)表。讓學(xué)生置身于荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所倡導(dǎo)的“再創(chuàng)造”的情景中：

n 1 2 3 4 5… n n i=1∑i2 1 5 14 30 55 … ？∑i 1 3 6 10 15 … 1 n n（n+1）i=12

n 1 2 3 4 5… n∑ 1 5 14 30 55… ？∑i 1 5 14 30 55 … 12n（n+1）n∑i2 i=1 n∑i 33 53 73 93 11 3… 2n+13 i=1

這個(gè)表在量上的變化，為學(xué)生的思維在質(zhì)方面的飛躍提供了條件。在對比、觀察這個(gè)表的第一列和最后一列后，學(xué)生作出了大膽而正確的猜想：

肯定了這個(gè)猜想以后，我要求學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想的正確性。

在培養(yǎng)學(xué)生思維直覺性的過程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“實(shí)驗(yàn)——觀察——猜想——證明”的思考方法，這是優(yōu)化思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的發(fā)現(xiàn)性思維、創(chuàng)造性思維的重要途徑。在教學(xué)上，我始終把它當(dāng)作一項(xiàng)重要任務(wù)來抓。

教師是教學(xué)的組織者、引導(dǎo)者和合作者。教學(xué)的一切活動都要圍繞學(xué)生進(jìn)行。在教學(xué)過程中，教師不僅要營造民主的課堂氣氛，還要在概念的形成、結(jié)論的推導(dǎo)，方法的抽象等一系列知識的發(fā)生過程和能力形成的過程中，讓學(xué)生自主去觀察、類比、聯(lián)想、猜想、討論、交流，鼓勵(lì)他們敢于質(zhì)疑問難，把數(shù)學(xué)教學(xué)變?yōu)樵侔l(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程，使課堂成為學(xué)生表演的舞臺，培養(yǎng)創(chuàng)新思維的樂園。

（責(zé)任編輯：張華偉）