淺析如何在數(shù)學(xué)應(yīng)用中培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思想

林平

[摘? 要] 分類討論思想是貫穿于整個數(shù)學(xué)活動中的重要思想之一，其有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，全面分析問題及合理解決問題的能力. 在解決數(shù)學(xué)問題時，應(yīng)用分類討論思想可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，將困難的問題容易化，運用分而治之的手段，逐個、逐層地解決，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和應(yīng)用能力.

[關(guān)鍵詞] 分類討論;分析問題;解決問題

中考時，壓軸題多為分類討論的問題，因其綜合性更強，更能考查學(xué)生的綜合能力而被出題者所熱愛. 然而因其綜合性更強，難度更大，容易使學(xué)生產(chǎn)生畏難心理，那么要解決學(xué)生的畏難心理，就需要在日常教學(xué)中逐漸滲透分類討論思想，采用由淺入深螺旋上升的方式，逐漸提升學(xué)生的邏輯分析能力. 筆者認為，要培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想需從以下幾點出發(fā)：

首先，讓學(xué)生理解“為何分類”. 在同一問題之下，由已知的不確定會產(chǎn)生多個結(jié)論，因此不能一次性地解決問題. 若想全面地解決問題就必須對其分類，將一個復(fù)雜的問題拆分成若干個簡單明了的小問題，通過解決若干小問題達到解決問題的目的. 例如，題目給出了三角形的兩條邊的長度及未知邊上的高，進行面積的求解. 題目中未指明三角形的形狀，而高的位置受三角形形狀的影響，那么要解決這一問題，就需要根據(jù)形狀進行分類，分類后再進行逐一求解.

其次，讓學(xué)生懂得“如何分類”. 分類應(yīng)遵守“不重復(fù)、不遺漏”的原則，善于找到問題間的區(qū)別與聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)問題的實質(zhì)，根據(jù)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，逐層逐級地有序分類. 正確的分類是解決問題的前提，切勿多個標(biāo)準(zhǔn)分類，那樣不僅不能簡化問題，反而容易造成問題復(fù)雜化、混亂化，不利于解決問題.

最后，運用熱點分類問題培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想. 例如，運用圓中點與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系;運用三角形角、邊、對應(yīng)關(guān)系的不確定性等熱點分類問題培養(yǎng)學(xué)生的分類能力. 在教學(xué)中要逐漸滲透分類思想，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟“為何分”“何時分”“如何分”，從而有效提升學(xué)生的邏輯思維能力.

以下筆者列舉幾個應(yīng)用分類討論思想的實例，以期引起共鳴，讓教師在教學(xué)中更加重視學(xué)生分類討論思想的培養(yǎng).

從“不確定”中領(lǐng)悟分類討論

思想

在小學(xué)階段，為了讓學(xué)生深刻地認識“等腰三角形”及“三角形三邊關(guān)系”，常設(shè)計給出等腰三角形的任意兩條邊，求解等腰三角形的周長，其目的是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)腰和底邊進行分類，體會分類討論的思想，打破數(shù)學(xué)思維的局限，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)實際應(yīng)用能力. 那么，在初中階段，就不再是體會分類討論，而是讓學(xué)生建立起分類討論思想，體驗數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價值.

例1 已知Rt△ABC的兩條邊分別為6和8，則該三角形中較小角的正切值為______.

例1未明確給出特定的邊，例2未明確給出對應(yīng)關(guān)系，因“未明確”使題目結(jié)論有了更多的可能，有效培養(yǎng)了學(xué)生全面、嚴謹思考問題的能力. 同時例2引導(dǎo)學(xué)生體會對應(yīng)的思想，在解題時要摒棄隨意的想法，養(yǎng)成嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.

在“定理推理”中體驗分類討

論思想

分類討論思想因其更加嚴謹和全面，所以在數(shù)學(xué)公式、法則、定理的論證中經(jīng)常使用. 在教學(xué)中，讓學(xué)生充分地體驗定理的論證過程，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識點的內(nèi)在聯(lián)系及規(guī)律，體驗分類討論思想的作用.

例3 探索“圓周角定理”.

師：通過前面的學(xué)習(xí)，已經(jīng)理解了圓心角及圓周角的概念，現(xiàn)在請同學(xué)們畫出一條弧BC，并畫出其對應(yīng)的圓心角及圓周角，大家可以嘗試不同的畫法. （教師留給學(xué)生足夠的時間去繪制、觀察、歸納）

師：現(xiàn)在請大家展示一下你們繪制的結(jié)果.

生1：老師，我畫的圖1. （教師將圖1投影至大屏幕上）

師：很好，你們還有不同的畫法嗎？（在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生找到了三種不同的畫法）

師：我們找到了三種不同的畫法. （教師利用PPT將三幅圖對比展示）

師：根據(jù)這三幅圖，觀察一下圓心O與圓心角∠BAC有何位置關(guān)系.

生2：圖1中，圓心O在圓心角∠BAC的邊AB上.

生3：圖2中，圓心O在圓心角∠BAC內(nèi).

生4：圖3中，圓心O在圓心角∠BAC外.

師：圓心O與圓心角∠BAC是否還有其他位置關(guān)系呢？

在教學(xué)中，教師先是讓學(xué)生動手畫，并留給學(xué)生足夠的時間進行自主探究，盡量畫出不同的圖形，接下來引導(dǎo)學(xué)生集思廣益，找出了三種不同的畫法，最后將圖形對比展示，引導(dǎo)學(xué)生觀察圓心O與圓周角∠BAC的位置關(guān)系，讓學(xué)生歸納并總結(jié)出規(guī)律. 在整個過程中，教師以學(xué)生動手實踐為主線，用分類討論思想讓學(xué)生體會可能性，從而引導(dǎo)學(xué)生從特殊中挖掘一般規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)姆治鰡栴}的能力，以此為解決問題打下堅實的基礎(chǔ).

在“應(yīng)用問題”中運用分類討

論思想

在數(shù)學(xué)應(yīng)用中，常常會出現(xiàn)“最優(yōu)”“最省”“最快”等問題，求“最”的過程也就是從不同的方案中尋找最合適的解決方案，那么要求解此類問題，分類討論思想是必不可少的.

例4 現(xiàn)有一新小區(qū)開盤，已知該樓房共23層，每層8套，每套面積均為120 m2. 第一層是門面房單獨出售，現(xiàn)出售第二層至第二十三層. 商品房的定價以第八層為標(biāo)準(zhǔn)，第八層為每平方米3000元;從第八層開始，每上升一層，每平方米多加40元，即第九層為每平方米3040元，以此類推;反之，從第八層開始，若每降一層，則每平方米降20元. 現(xiàn)開發(fā)商為購房者提供了兩種購買方案：

方案一：若貸款，則需要繳納30%的首付.

方案二：若一次性付款，可享受8%的優(yōu)惠，同時可免收5年的物業(yè)管理費. （假設(shè)物業(yè)費為a元/月）

（1）若設(shè)售價為y元，樓層為x（x為正整數(shù)），請寫出y與x之間的函數(shù)表達式.

（2）已知小劉想貸款買房，已籌集了120000元現(xiàn)款，請問小劉可以購買哪些樓層的房屋？

（3）小張想買第十六層的房屋，但是他不喜歡減免物業(yè)費的方式，想直接在房屋總價上得到優(yōu)惠，他提出的方案是直接享受9%的優(yōu)惠，你是否也認同小張的想法呢？

分析：（1）因第八層以上與第八層以下售價方案不同，因此列函數(shù)表達式時需要根據(jù)樓層進行劃分.

（2）要想知道小劉可購買的樓層，首先要以第八層作為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)首付價格判斷其可購買的樓層的房屋.

（3）因物業(yè)費為常數(shù)a，所以判斷小張的想法是否正確與a的取值范圍有關(guān).

解：（1）若2≤x≤8，則有y=3000-20（8-x）=20x+2840;若9≤x≤23，則有y=3000+40（x-8）=40x+2680.

（2）①若小劉購買第八層的房屋，則需支付的首付為3000×120×30%=108000（元）;其小于小劉已籌備的現(xiàn)款，所以第八層及以下樓層的房屋都符合購買條件.

由①②可知，其可以購買第二層至第十六層中的任何一個樓層的房屋.

以上三個問題的解答都充分地利用了分類討論思想，前面兩問根據(jù)第八層進行分類、討論，最后一問需要充分考慮a的取值. 在解決該應(yīng)用問題時，分類討論思想運用得淋漓盡致，充分地體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用價值.

總之，分類討論思想在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)及應(yīng)用中發(fā)揮著舉足輕重的作用，對學(xué)生的未來有著深遠的影響，因此在教學(xué)中要細心地設(shè)計與引導(dǎo)，通過多探究、多發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生逐漸領(lǐng)悟分類要領(lǐng)，從而培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想.