平凡見奇生面開，似曾相識燕歸來

林生

今年高考是新高考的第一年，試題風(fēng)格樸實無華，背景簡潔明了，沒有冗繁的文字描述，摒棄了浮夸的命題風(fēng)格，試題很好地落實了“立德樹人、服務(wù)選才，引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能.?今年的很多題目都獨具匠心，既體現(xiàn)在知識交匯點處命題的創(chuàng)新原則，又格調(diào)清新意境幽，更為重要的是有些題目看起來似曾相識，但有別于“舊題”，很好實現(xiàn)了“反題海戰(zhàn)術(shù)和機(jī)械刷題”等功能，更好地培養(yǎng)考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).2021年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第21題就是這樣的題目：該試題設(shè)計雖平凡、樸實，“面孔”是考生最熟悉的題型，考生入手容易且解法看似常規(guī)，但是卻有些“生面”——解幾大題雙曲線重出江湖，這次考查的是雙曲線，雙曲線大題已經(jīng)將近十年高考沒有出現(xiàn)，這雖和八省聯(lián)考模擬卷考查雙曲線高度吻合，但當(dāng)時八省聯(lián)考模擬卷中以雙曲線大題出現(xiàn)是“出乎意料”的，曾幾何時，很多人備考時都振振有詞強(qiáng)調(diào)雙曲線不考大題，平時我們所用的教輔資料也成功回避了雙曲線大題，沒有想到八省聯(lián)考模擬卷就殺了個“回馬槍”，令考生黯然神傷.雖前車之鑒后再次出現(xiàn)雙曲線大題考生有了充分準(zhǔn)備，但這也是我們學(xué)生的一個“軟肋”，這也再次提醒了我們：以后高考備考要以高考評價體系為標(biāo)準(zhǔn)，要掌握的知識必須掌握，不能再像以前備考那樣“規(guī)避”雙曲線，不能像以前備考都注重橢圓和拋物線，而忽略雙曲線相關(guān)知識.同時我們對高考試題研究要深度分析：入乎其內(nèi)——尋求解題的思路和突破口，找出最優(yōu)解題思路和方法，接著找出其共性的知識和通性通法，對其通法深度挖掘和提煉反思;還要出乎其外——尋求其知識的“源”與“流，對此基本類型進(jìn)行變式拓展推廣、舉一反三，開啟思維，縱橫聯(lián)系、觸類旁通，探窺其本質(zhì)，讓考生從題中悟“道”，達(dá)到“一覽眾山小”的境界，從而實現(xiàn)2022年高考解析幾何的高效備考.下面筆者以2021年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第21題為載體，通過探求其解法、分析這種類型的實質(zhì)，打開這類問題的“思維重門”，對此種圓錐曲線的類型進(jìn)行推廣拓展，讓考生掌握這一類題型的基本方法和技巧，實現(xiàn)高效備考，探究出2022年高考圓錐曲線的高效備考的一些建議和策略.

一、平凡見奇生面開似曾相識燕歸來——真題回放

（2021年新高考全國數(shù)學(xué)Ⅰ卷第21題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點F1（-?，0），F(xiàn)2（?，0），點M滿足MF1-MF2=2.?記M的軌跡為C.

（1）求C的方程;

（2）設(shè)點T在直線x=?上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且TA·TB=TP·TQ，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

【點評】本題樸實無華但棉里藏針，陷阱凸顯，簡約而不簡單，深刻而不深奧.?第（1）問考查雙曲線的定義——點的軌跡，考查內(nèi)容常規(guī)、平凡，考題這樣設(shè)置有利于考生思維的展開，給考生一課“定心丸”，同時也有利于第（2）問的思路展開，有利考生信心的提升，但在這里設(shè)置了一個“門檻”——考查雙曲線的“一支”，同時還凸顯“陷阱”——要注意軌跡方程中的取值范圍;第（2）問求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和，本質(zhì)屬于雙曲線的定值問題，但卻將本問設(shè)置成有序開放問題探索的內(nèi)容——求斜率之和.?以“生面”的形式展示，加上該問綜合性運算量大，很多考生都會“望而生畏”，但只要認(rèn)真思考該類問題，還是可以轉(zhuǎn)化為我們熟悉的“面孔”——定值問題，加上本問不同的思維路徑會出現(xiàn)不同的運算量，這更能甄別考查考生的運算求解能力，同時還要求運用解析幾何的基本思想方法分析問題和解決問題，考查考生在開放的情景中發(fā)現(xiàn)主要矛盾的能力，讓考生在平平實實中考思維、穩(wěn)扎穩(wěn)打中見真功，這十分符合新高考的命題理念.

二、猶抱琵琶半遮面撥迷霧入乎其內(nèi)——解法探幽

1.?眾里尋它千百度，柳暗花明又一村——點開第一重認(rèn)識：求點軌跡方程

【分析】該題中的第（1）問時，雖雙曲線對考生有點“陌生”，但考查點的軌跡方程，這對考生來說是“老生常談”的問題，回歸雙曲線定義，明確點M滿足MF1-MF2=2，注意到范圍，利用雙曲線的定義可知軌跡C是以點F1、F2為左、右焦點雙曲線的右支，求出a、b的值，即可得出軌跡C的方程，這樣問題便可解決.

解析：因為MF1-MF2=20，b>0，），則2a=2，可得a=1，b=?=4，所以軌跡C的方程為x2-?=1（x≥1）.

【點評】有關(guān)軌跡方程問題的求法，是我們需要掌握的知識，特別是利用圓錐曲線的定義來求軌跡方程更是我們常用的“手段”，因此我們要熟練掌握求動點軌跡方程的常用方法：①直接法;②定義法（特別是橢圓、雙曲線、拋物線等定義）;③幾何法;④相關(guān)點法（代入法），⑤參數(shù)法;⑥交軌法.?其中④?⑤?⑥統(tǒng)稱為間接法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.在探求軌跡方程的過程中，需要注意的是軌跡方程的“完備性”和“純粹性”，因此，在求得軌跡方程之后，要深入思考一下：是否還遺漏了一些點;是否還有另外一個滿足條件的軌跡方程存在;在所求得的軌跡方程中，的取值范圍是否有限制？在上面的第一問就是要注意的范圍，很多考生往往忽略范圍而導(dǎo)致出錯.?因此我們求點的軌跡方程的時要首先考慮是否能夠利用圓錐曲線定義來處理，更為重要的是要避免軌跡方程的“陷阱”，把握以上兩點，那么解題可以達(dá)到“柳暗花明又一村”的境界——明確解題方向和切入點，即使較為復(fù)雜類型，我們通過層層突破，問題也會迎刃而解.

2.?紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行——建立第二重認(rèn)識：定值探求

【分析】該題中的第（2）問時，頗有一種“似曾相識”的味道，要求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和，這個和一般為“定值”，這樣的問題對考生來說是很熟悉的問題，由點T在直線x=?上，可設(shè)T（?，n），若過點T的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線C無公共點，因此設(shè)直線AB：y-n=k1（x-?），可直接聯(lián)立雙曲線方程和直線方程，聯(lián)立得y-n=k1（x-?），x2-?=1，（16-k21）x2+（k21-2k1n）x-?k21-n2+k1n-16=0，再利用TA·TB=TP·TQ條件和兩點間距離將TA，TB，TP，TQ分別表示出來，再直接去推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量n，從而求出定值，但會發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)“障礙”的情況——運算量過大，頗有“無可奈何花落去”的感覺，因此無法繼續(xù)往下處理，究其原因主要是由于利用代數(shù)法來解題本來就運算量大，考生不懂得利用特殊值來探路，不懂得如何減少解析幾何運算量，這與平時的備考有很大聯(lián)系，缺乏注重運算的算理和算法，所以高考命題組設(shè)置該問時就突出考查考生的運算求解能力.?但只要考生運算功底扎實，注重算理，一步一個腳印，利用代數(shù)的方法是可以解決的：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由前面聯(lián)立方程可得：x1+x2=?，x1x2=?，因此TA=?=

=?=?x1-?TB=

=?=

=?x2-?，所以TA·TB=（1+k21）x1-?x2-?=（1+k21）x1x2-?（x1+x2）+

=?-?（?）+?=?，如果直接算TP·TQ的話，這里運算量將會十分大，這時要注意算理，字母的替換法則（解析幾何中，有些點、線處于相同位置，計算過程具有明顯的替換性，將相同的計算完全略去，這將大大減少運算量），用字母替換的法則可得TP·TQ=?，又由TA·TB=TP·TQ可得?=?，即?=?，因為直線AB的與直線PQ不是在同一條直線，所以k1≠k2，所以k1=-k2，因此k1+k2=0函.?其實在這里計算時要注意技巧：算TP·TQ時直接可根據(jù)TA·TB=?進(jìn)行替換便可以大大降低運算，同時得?=?后，也可以將其通過化簡為1+?=1+?，因此可得?=?，從而判斷出k1=-k2，即k1+k2=0.?回頭過來看，該問本質(zhì)是探究圓錐曲線的定值問題，但這個過程中突出對學(xué)生基本知識和運算能力的考查，綜合來看，今年命題設(shè)置成開放性定值探求問題“別出心裁”，有效地避免了題海戰(zhàn)術(shù)，真正地考查了考生應(yīng)用知識的能力和學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

解析1：（2）由題意可知（如右圖1），設(shè)T（?，n），若過點T的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線C無公共點.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）設(shè)直線AB：y-n=k1（x-?），

因此聯(lián)立y-n=k1（x-?），x2-?=1，

化簡可得（16-?）x2+（?-2k1n）x-??-n2+k1n-16=0，當(dāng)16-?≠0時，可得x1+x2=-?=?，x1x2=?，由兩點間距離可得TA=?=

=?=

x1-?，TB=?=

=?=?x2-?，又由題意知x1≥1，x2≥1，所以TA·TB=（1+?）（x1-?）（x2-?）=（1+?）[x1x2-?（x1+x2）+?]=?-?（?）+?=?，設(shè)PQ：y-n=k2（x-?），同理TP·TQ=?，∵TA·TB=TP·TQ，∴?=?，即1+?=1+?，∴k21-16=k22-16，即k21=k22，∵k1≠k2，∴k1+k2=0，所以直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

【點評】本題的第（2）問其實質(zhì)就是圓錐曲線求定值問題，只不過給與它套上“外套”——“存在問題”有序開放（探索求斜率之和問題），這突出考查考生的圓錐曲線定值知識和運算求解能力，這里用雙曲線來考查，無非是提醒我們在以后備考過程中?不能“厚此薄彼”——只偏愛于橢圓和拋物線，而是要根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和高考評價體系進(jìn)行備考.?往往求定值問題（常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān);②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值）是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定定值是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題.?求解時對所設(shè)參數(shù)，在計算中推理最后將參數(shù)消去得出定值.?在這里也可以通過將點T特殊化（點T在x上）來探路，即點T（?，0），由圖可知直線AB與直線PQ關(guān)于x對稱，由此可知直線AB的斜率與直線PQ的斜率為定值0，通過這樣特殊“探路”，問題就迎難而解了.?在上面的解法中，我們通過設(shè)直線AB的方程為y-n=k1（x-?）來聯(lián)立方程，同樣我們可否將直線設(shè)成y=k1x+b1的形式呢？答案是可以的，只不過多了一個參數(shù)b1，但“殊途同歸”，消參后的結(jié)構(gòu)形式一樣（已知點T（?，n）一般采取用點斜式來設(shè)直線方程），在這個過程中要求考生利用直線與雙曲線的位置關(guān)系，一步一個腳印運算，尋找探求TA，TB，TP，TQ它們的長度，在這個過程中緊扣這些方向和目標(biāo)，按圖索驥，注重算理和技巧——字母替換的作用，實現(xiàn)很好地減少運算量，最終突破解析幾何運算的“障礙”.

3.?問渠那得清如許，為有源頭活水來——解法的優(yōu)化

【分析】通過上面解法的分析，可以發(fā)現(xiàn)上面解法中利用韋達(dá)定理代進(jìn)去計算TA·TB比較繁瑣，那我們能否“另辟蹊徑”，能否找到更為“簡捷”的計算方法？我們再來分析這個過程：TA·TB=（1+k21）（x1-?）（x2-?）=（1+k21）[x1x2-?（x1+x2）+?]=?-?（?）+?=?，主要是由于這里直接代進(jìn)去，利用韋達(dá)定理增加了計算量，我們注意到TA·TB=（1+k21）（x1-?）（x2-?）的結(jié)構(gòu)，如果要避免直接用韋達(dá)定理，我們可考慮利用雙根賦值法（在解析幾何中，若直線與曲線相交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），遇到求（x1-x2）2或（x1+t）（x2+t）的值，傳統(tǒng)的方法是展開整理后再利用韋達(dá)定理求解，但該法迂回曲折，計算量大，可利用恒等式，整體代入，避開韋達(dá)定理，直接求解.?即：若x1，x2是一元二次方程f（x）=Ax2+Bx+C=0（A≠0）的兩個根，則：①x1x2=?f（0）;②（x1-x2）2=?;③（x1+t）（x2+t）=?f（-t）.?證明過程略），直接令x=?-?，可得TA·TB=（1+?）（x1-?）（x2-?）=?，后面的解法同解析1.?同樣我們要想在計算TA·TB“規(guī)避”韋達(dá)定理，我們對TA·TB=（1+k21）（x1-?）（x2-?）這個結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，可考慮對其進(jìn)行部分構(gòu)造，即將（x1-?）（x2-?）看作是（x-?）的一元二次方程的兩根之積，因此可聯(lián)立直線AB和C，即將曲線C化為：（x-?）2+（x-?）+?-?=1，再聯(lián)立直線AB方程與曲線C，化簡整理可得：（1-?）（x-?）2+（1-?）（x-?）-?=0，所以（x1-?）（x2-?）=?，后面的解法同解析1.?從上面的分析可知，主要是通過對TA·TB=（1+k21）（x1-?）（x2-?）的結(jié)構(gòu)進(jìn)行算理的簡化，達(dá)到減少運算量的目的.?除此之外，我們還可以找到更為“簡潔”的方法，嗎？考慮到TA·TB的形式，聯(lián)想到直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義和韋達(dá)定理，可考慮借助直線參數(shù)方程來達(dá)到減少運算量的目的，AB是直線與曲線C的交點，將直線AB的參數(shù)方程表示為x=?+t?cos??，y=n+t?sin??（t為參數(shù)），?為直線AB的傾斜角，將直線代入雙曲線方程整理可得（cos2?-?）t2+（cos??-?）t-?-?=0，直線與雙曲線交于A，B兩點，設(shè)方程有兩根t1，t2，則根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義可知TA·TB=t1·t2=t1t2=?=?，同理可得TPTQ=?，其中?為直線PQ的傾斜角，由TA·TB=TP·TQ可得?=?，因此可得sin?2??-16?cos2??=sin?2??-16?cos2??，即cos2??=cos2??.?又?≠??，所以可得cos??=-cos??，即?+??=?，tan??=-tan??，所以tan??+tan??=0，所以直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.?由此可見利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可減少運算量

解析2：（2）由題意可知，設(shè)T（?，n），若過點T的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線C無公共點.?設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)直線AB：y-n=k1（x-?），

因此聯(lián)立y-n=k1（x-?），x2-?=1，化簡可得（16-k21）x2+（k21-2k1n）x-?k21-n2+k1n-16=0，而x1，x2是方程的根，當(dāng)16-k21≠0時，可得（16-k21）x2+（k21-2k1n）x-?k21-n2+k1n-16=（16-k21）（x-x1）（x-x2），令x=-?，可得?（16-k21）+?（k21-2k1n）-?k21-n2+k1n-16=（16-k21）（?-x1）（?-x2），化簡得4-?+?-k1n-?k21-n2+k1n-16=-n2-12=（16-k21）（?-x1）（?-x2），所以（?-x1）（?-x2）=?，由兩點間距離可得

TA=?=?=?=?x1-?，TB=

=?=

=?x2-?.?又由題意知x1≥1，x2≥1，所以TA·TB=（1+k21）（x1-?）（x2-?）=?，設(shè)PQ：y-n=k2（x-?），同理TP·TQ=?，∵TA·TB=TP·TQ，∴?=?，即1+?=1+?，∴?-16=?-16，即k21=k22，∵k1≠k2，∴k1+k2=0，所以直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

解析3：?（2）由題意可知，設(shè)T（?，n），若過點T的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線C無公共點.?設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)直線AB：y-n=k1（x-?），由兩點間距離可得

TA=?=?=?x1-?，

TB=?=?=?x2-?.?又由題意知x1≥1，x2≥1，所以TA·TB=（1+k21）（x1-?）（x2-?），將雙曲線C：x2-?=1化為：（x-?）2+（x-?）+?-?=1，再聯(lián)立方程y-n=k1（x-?），（x-?）2+（x-?）+?-?=1，化簡整理可得：（1-?）（x-?）2+（1-?）（x-?）-?=0，將（x1-?）（x2-?）看作是（x-?）的一元二次方程的兩根之積，所以（x1-?）（x2-?）=?=?，設(shè)PQ：y-n=k2（x-?），同理TP·TQ=?，∵TA·TB=TP·TQ，∴?=?，即1+?=1+?，∴k21-16=k22-16，即k21=k22，∵k1≠k2，∴k1+k2=0，所以直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

解析4：（2）由題意可知，設(shè)T（?，n），直線AB的傾斜角為?，則直線AB的參數(shù)方程表示為x=?+t?cos??，y=n+t?sin??（t為參數(shù)），代入曲線x2-?=1可得（?+t?cos??）2-?=1，化簡整理得（cos?2?-?）t2+（cos??-?）t-?-?=0，因此TA·TB=t1·t2=t1t2=?=?，設(shè)其中直線PQ的傾斜角為?，直線PQ的參數(shù)方程表示為x=?+t?cos??，y=n+t?sin??（t為參數(shù)），且?≠??，同理可得TP·TQ=?，由TA·TB=TP·TQ得?=?，因此得sin2??-16?cos2??=sin2???-16?cos2??，即cos2??=cos2??.?又?≠?，所以得cos??=-cos??，即?+??=?，tan??=-tan??，所以tan??+tan???=0，所以直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

【點評】上面的三種解法本質(zhì)上是對減少聯(lián)立直線與雙曲線后的計算量，主要通過利用直線的參數(shù)方程或?qū)Α耙?guī)避”直接利用韋達(dá)定理，通過對結(jié)構(gòu)TA·TB=（1+k21）（x1-?）（x2-?）進(jìn)行整體轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到減少運算量的目的.?其實我們還可以利用向量的辦法（將TA·TB=TP·TQ轉(zhuǎn)化為?·??=?·??來處理，之后類似于解析3的解法）來達(dá)到簡化運算的技巧，同樣在這里也可以利用二次曲線系數(shù)法（由TA·TB=TP·TQ得到割線A，B，P，Q四點共圓，從而得到k1+k2=0這個結(jié)論，解法過程略），這兩個解法思路雖然清晰，但也需要掌握相關(guān)知識和扎實的功底才能使用，但不管怎樣，掌握常規(guī)題型的通性通法，這才是高效備考的“上上之策”.

三、千淘萬漉雖辛苦??吹盡黃沙始到金——別有洞天

通過上面的分析可知，我們要不斷進(jìn)行解法的優(yōu)化，尋求最優(yōu)“捷徑”，但我們對此的研究不能只限于表面，要“執(zhí)果索因、追本溯源”，尋找其“源”和“流”，將會發(fā)現(xiàn)另外一個“天地”——別有洞天，正如美國數(shù)學(xué)家波利亞所說：“好問題類似于采蘑菇，采到一個后還應(yīng)四處看看，也許可以采到更多.”同樣我們研究這道高考題，我們也要善于找“蘑菇”，要學(xué)會深入探索拓展.?根據(jù)題意，我們進(jìn)一步探究：點T是否一定是要在定直線x=?上，滿足TA·TB=TP·TQ才會有k1+k2=0？當(dāng)將點T一般化，結(jié)論是否還會成立？經(jīng)過探究可以發(fā)現(xiàn)：點T為（a，b）時，上述結(jié)論也都成立（設(shè)點為T（a，b），直線AB的傾斜角為?，則直線AB的參數(shù)方程表示為x=a+t?cos??，y=b+t?sin??（t為參數(shù)），代入曲線x2-?=1可得（a+t?cos??）2-?=1，化簡整理得（16cos2??-sin2??）t2+（32??cos??-2b?sin??）t+16a2-b2-16=0.

因此，TA·TB=t1·t2=t1t2=?，設(shè)其中直線PQ的傾斜角為?，同理可得TP·TQ=?，由TA·TB=TP·TQ得?=?，因此得16?cos?2??-?sin2??=16?cos?2??-?sin2??，即cos?2??-?sin2??，又?≠??，所以得cos??=-cos??，即?+??=?，tan??=-tan??，所以tan??+tan??=0，所以直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0）.?由此可見當(dāng)將點T一般化，結(jié)論還會成立，既然對雙曲線滿足這個結(jié)論，那如果類比到橢圓是否成立？答案是肯定的，即已知橢圓方程C：?+?=1（a>b>0），點T（x0，y0）是橢圓外的任意一定點，過T的兩條直線分別交橢圓方程C于A，B兩點和P，Q兩點，且TA·TB=TP·TQ，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.?通過探究也可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論成立，證明方法和上面的證明“如出一轍”，都是借助直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義來求解.（具體過程如下：?設(shè)直線AB的傾斜角為?，則直線AB的參數(shù)方程表示為x=x0+t?cos??，y=y0+t?sin??（t為參數(shù)），代入橢圓方程?+?=1化簡整理得（b2?cos2??+a2?sin2??）t2+2（b2x0?cos??+a2?y0?sin??）t+b2x20+a2?y0-a2b2=0，因此TA·TB=t1·t2=t1t2=?=?，設(shè)其中直線PQ的傾斜角為?，同理可得TP·TQ=?=?，由TA·TB=TP·TQ得?=?，即b2?cos2??+a2?sin2??=b2?cos2??+a2?sin2??，化簡得cos2??=cos2??，所以可得tan??+tan??=0，因此直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.）同樣，經(jīng)過探究可以得：若點T（x0，y0）是橢圓內(nèi)的任意一定點，過T的兩條直線分別交橢圓方程C于A，B兩點和P，Q兩點，且滿足TA·TB=TP·TQ，則直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和也為0（證明方法如上，過程略）.?回顧整個過程，追本溯源探究其問題背景，可發(fā)現(xiàn)這種通性通法源自于人教版教材選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程第38頁例4：如圖2所示AB，CD是中心為點O的橢圓的兩條相交弦，交點為P，兩弦AB，CD與橢圓長軸的夾角分別為∠1，∠2，且∠1=∠2，

求證：PA·PB=PC·PD.?其實本題的解法和上面的解法“大同小異”（證明過程略），該例題是一道很好的“題根”，因為本例題的解法具有一般性，立足通性通法，同時本題還可以進(jìn)一步探究和類比推廣，把橢圓改為雙曲線和拋物線，也有類似的結(jié)論.?同樣探究可發(fā)現(xiàn)∠1=∠2時，即直線AB和CD的斜率互為相反數(shù)時，則四點A，B，C，D共圓，可得PA·PB=PC·PD這個結(jié)論，而當(dāng)四點A，B，C，D共圓，有PA·PB=PC·PD成立時，也可以得出直線AB和CD的斜率互為相反數(shù).?因此有結(jié)論：若兩條直線與二次曲線ax2+by2+cx+dy+c=0（a≠?b）有四個交點，則這四個交點共圓的充要條件時這兩條直線的傾斜角互補.?懂得這個結(jié)論后，我們就可以利用這一充要條件來“秒殺”圓錐曲線上四點共圓的數(shù)學(xué)問題.

小試牛刀1.（2011年高考全國卷21題）已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為橢圓C?∶?x2+?=1在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為-?的直線l與C交于A，B兩點，點P滿足?+?+?=0.?設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q，

證明：A、P、B、Q四點在同一圓上.

【分析】此問題證明的思路關(guān)鍵是證明∠APB，∠AQB互補.?通過證明這兩個角的正切值互補即可，其實解決該類題型和上面的手法“殊途同歸”.

解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）直線l?∶?y=-?x+1，聯(lián)立y=-?x+1，x2+?=1，化簡4x2-2?x-1=0，因此x1+x2=?，x1x2=?-?，所以tan∠APB=?=?=?，同理可得

tan∠APB=?=?=

=?，所以∠APB，∠AQB互補，因此A，P，B，Q四點在同一圓上.

小試牛刀2.?（2016年四川卷文20題）已知橢圓E：?+?=1（a﹥b﹥0）的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點P（?，?）在橢圓E上.（1）求橢圓E的方程;（2）設(shè)不過原點O且斜率為?的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：MA·MB=MC·MD.

【分析】這類問題也是屬于四點共圓的問題，只需要證KAB-KCD便可得證明.

解析：（1）橢圓E的方程是?+y2=1（過程略），（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點M（x0，y0），由A、B在橢圓上，所以?+y21=1，?+y22=1，由點差法兩式相減得?=-（y1+y2）（y1-y2），因此可得?=KAB=?=?=?，KCD=?=-?，所以KAB+KCD=0，因此A，B，C，D四點在同一圓上，即MA·MB=MC·MD.

【點評】本題通過點差法和轉(zhuǎn)化為四點共圓問題，“秒殺”了這兩道高考題，大大減少了運算量，達(dá)到“異曲同工”之妙.

四、鴛鴦繡出憑君看，更把金針度與人

通過上面的深度分析與拓展，解決了直線與圓錐曲線中求定值的問題，思維過程經(jīng)歷了“猶抱琵琶半遮面”到“吹盡狂沙始到金”的過程，達(dá)到了“無限風(fēng)光在險峰”的高度.綜合來看，今年的解析幾何高考題重視基礎(chǔ)，突出對數(shù)學(xué)運算能力的考查，這也為我們以后的備考指明了方向：要在加強(qiáng)解析幾何的算理和算法，注重運算能力的技巧上，同時還要注重解析幾何的通性通法，要掌握解析幾何典型題的拓展與延伸，要做到“鴛鴦繡出憑君看，更把金針度與人——找到其‘源與‘流”，把握住備考的“根”——落實通性通法，我們才可以做到居高臨下覓悟出“備考之道”，因此我們要實現(xiàn)高考高效備考時要做好以下方面：

（1）切實回歸基礎(chǔ)是“正道”，注重通性通法為“上上策”

通過今年的高考題的題目分析可知：注重考查基本的知識，注重考查通性通法，因此在以后的備考中一定要重視基礎(chǔ)知識，注重通性通法，但在現(xiàn)實的教學(xué)和訓(xùn)練中恰恰是大搞“題?！睉?zhàn)術(shù)，盲目加大數(shù)學(xué)訓(xùn)練，往往忽視回歸教材、對基本的通性通法的訓(xùn)練.?這種舍本逐末的做法導(dǎo)致了很多考生在今年高考吃了大虧，比如今年這道題目，其實是選自于選修4-4里第38頁的例4的變式.?所謂的回歸教材.?就是平時要懂得回歸教材，對課本中的概念、定義、定理、法則、公式必須理解，在理解基礎(chǔ)上記憶;要重視公式的正用、逆用和活用，重視定理的推導(dǎo)，要理清知識發(fā)生的本原（如公式的推導(dǎo)過程等），還要注意挖掘教學(xué)中的素材，引導(dǎo)考生研究、總結(jié)歸納，對于圓錐曲線的備考要抓住“三定”（定點、定值、定直線）問題，以聯(lián)立直線與圓錐曲線為“抓手”，讓學(xué)生學(xué)會用整體的觀點將相關(guān)知識有機(jī)地串聯(lián)起來，形成知識之間的有機(jī)聯(lián)系，用結(jié)構(gòu)性的觀念整體把握內(nèi)在聯(lián)系.?總之，在備考中對于課本的基本概念、知識等要讓學(xué)生知其然，還要其所以然.?另外復(fù)習(xí)時考生還要深入研究教材.以教材中的例、習(xí)題為素材，深入淺出、舉一反三、加以推敲、延伸和適當(dāng)變形，在備考中不追求解題中的所謂“特技”，不搞“偏題”、“怪題”.?將最基本的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行提升和鞏固，突出思維能力和運算能力，及時引申拓展、培養(yǎng)歸納能力，這樣考生在高考中才可以達(dá)到融會貫通、高屋建瓴的境界.

（2）強(qiáng)化數(shù)學(xué)運算能力，注重算理和算法

對于解析幾何的大題，有很多題型，選擇入手的解題方法或許也有很多種，但無論何時都突出考查學(xué)生的運算能力，要學(xué)會甄別解題方法的“優(yōu)劣”.?因此我們在備考時，要抓住核心問題——運算能力的提升，要時刻注重強(qiáng)化數(shù)學(xué)運算，一步一個腳印，在進(jìn)行計算的時候注重算理、算法和技巧，不斷地在解題中滲透強(qiáng)化，長期不懈地加強(qiáng)數(shù)學(xué)運算的訓(xùn)練，只有這樣，考生才可以提升數(shù)學(xué)運算能力，不再“畏懼”解析幾何的運算，從而達(dá)到高效備考.

總之，我們在復(fù)習(xí)備考時要注意尋找知識的“源”和“流”，不能僅僅停留解決這道題，還要在解題后要多點思考：該題的算法有“優(yōu)化“嗎？這個問題能夠推廣嗎？改變一下條件如何？改變一下結(jié)論又如何？……要學(xué)會知其所以然，何由知其所以然，要學(xué)會在解題中鞏固對知識的理解，積累解題經(jīng)驗，強(qiáng)化運算能力，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，掌握解題策略，形成解題意識，培養(yǎng)堅忍不拔、鍥而不舍的意志品質(zhì)，從而實現(xiàn)優(yōu)效備考，最終笑傲2022年高考.

【本文系廣東省教育科學(xué)規(guī)劃重點課題——開展區(qū)域交流研訓(xùn)助力教師專業(yè)成長的實踐研究（課題號：2020ZDJK047）和廣東基礎(chǔ)教育教研基地項目的研究成果】

責(zé)任編輯 徐國堅