如何在數(shù)學(xué)建模中融入數(shù)值分析思想

呂曉霞

（商丘學(xué)院，河南 商丘 476000）

引言

數(shù)學(xué)學(xué)科除了是一門科學(xué)以外，它更是一門生活藝術(shù)。在我們的日常生活，經(jīng)?？梢钥吹綌?shù)學(xué)的影子，買菜花了多少錢、繪制一個圖形等，都需要用到數(shù)學(xué)知識。也就是說，在數(shù)學(xué)教育中，不僅要教會學(xué)生數(shù)學(xué)知識，更要讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)技術(shù)，在遇到一些現(xiàn)實問題時，可以依靠自己的數(shù)學(xué)能力解決問題，具備數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力。數(shù)值分析思想就是數(shù)學(xué)中一個非常重要的數(shù)學(xué)思想內(nèi)容，尤其是在數(shù)學(xué)建模過程中，數(shù)值分析思想可以發(fā)揮出極其重要的作用，但我們需要明確的是，數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)離不開數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技術(shù)和數(shù)學(xué)思想，但在應(yīng)用時卻可以應(yīng)用到很多領(lǐng)域。如何在數(shù)學(xué)建模中有效的融入數(shù)值分析思想，是當(dāng)前需要思考的一個迫切內(nèi)容。

一、數(shù)學(xué)建模概述

說到數(shù)學(xué)建模，好像它很高大上，但其實在近些年我國教育教學(xué)的不斷改進和改革過程中，從初中教育階段，就已經(jīng)逐步開始滲透數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容。數(shù)學(xué)建模是針對或者參照某一個現(xiàn)實對象，為了某種特定的目的，根據(jù)有關(guān)信息和規(guī)律，采用形式化的語言，概括或者近似地表達出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。它能夠反映出該現(xiàn)象的形態(tài)、數(shù)量規(guī)律，是一種基于數(shù)學(xué)思想的表達式、圖形、圖表或者算法。通過數(shù)學(xué)建模，可以讓學(xué)生從生產(chǎn)、生活中發(fā)現(xiàn)特定的數(shù)量關(guān)系和空間形式，運用數(shù)學(xué)語言表達研究內(nèi)容和研究對象。

通常情況下，數(shù)學(xué)建模有以下幾個流程：

二、數(shù)學(xué)建模中融入數(shù)值分析思想的意義

（一）提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，挖掘?qū)W生潛能

在數(shù)學(xué)建模過程中，很多時候都需要學(xué)生自己動手動腦親自操作、分析和建立數(shù)學(xué)模型，在這個過程中，數(shù)值分析思想的應(yīng)用可以說是非常普遍的，為了建立準(zhǔn)確科學(xué)有效的數(shù)學(xué)模型，需要耐心仔細地對各個有用的數(shù)值進行整理、歸納和分析，這都需要學(xué)生自己進行，這就容易激發(fā)出學(xué)生戰(zhàn)勝數(shù)學(xué)難題的不懼挑戰(zhàn)的心理，大多數(shù)學(xué)生會越挫越勇，進而有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的提高，使得學(xué)生潛在的才能被喚醒。

（二）增強學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力和實踐能力

數(shù)值分析作為數(shù)學(xué)學(xué)科中非常常見的一個內(nèi)容，它在數(shù)學(xué)建模中的運用更是非常普遍，如數(shù)據(jù)假設(shè)、插值法等。通過數(shù)值分析，可以讓學(xué)生在數(shù)字語言中了解研究對象和研究內(nèi)容，通過進行數(shù)學(xué)建模，可以更清晰容易的解決較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題，這個過程，就是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力和用數(shù)學(xué)思想解決實際問題能力的過程。同時，在學(xué)生參與過程中，為了更容易地解決問題，也可以激發(fā)出學(xué)生的創(chuàng)造性，這不僅在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是一種非常重要的能力，在學(xué)生未來發(fā)展中，創(chuàng)造創(chuàng)新能力也是不可缺少的。而這通過在數(shù)學(xué)建模過程中各個環(huán)節(jié)的參與過程可以進行培養(yǎng)。

三、數(shù)學(xué)建模中融入數(shù)值分析思想的策略

（一）明確數(shù)學(xué)建模的目標(biāo)

不論是教師還是學(xué)生，對于數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵一定要有清晰的認識和理解，數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗、數(shù)學(xué)活動是不相同的，相比之下，數(shù)學(xué)建模的層次顯然要更深入一些。在數(shù)學(xué)建模過程中，會應(yīng)用到很多數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想，其中數(shù)值分析思想可以說是最為常見和基本的一個思想，在將其運用到數(shù)學(xué)建模過程中時，一定要明確兩者的內(nèi)涵和關(guān)系，對數(shù)學(xué)建模的目標(biāo)做出明確，根據(jù)實際的數(shù)學(xué)建模需要，選擇合適的數(shù)值分析方法，使得數(shù)學(xué)建模更加順暢，解決問題更加快速。需要說明的是，有的時候，數(shù)學(xué)建模是必須要具備數(shù)值分析思想的，因為這可以讓復(fù)雜繁瑣的數(shù)學(xué)問題變得更加簡單，在解決問題時步驟更加簡便，而不僅僅是為了解答出問題，而是讓解題的過程更加優(yōu)化。

（二）精心設(shè)計教學(xué)案例

在長期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，其實可以運用數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容是很多的，因此，教師在把數(shù)值分析思想融入其中時，就更要精心設(shè)計教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)案例。而在此需要重點說明的是，并不是只有在數(shù)學(xué)學(xué)科中才能運用數(shù)學(xué)建模，在其他一些理科的學(xué)科中，為了更為容易地解決問題，也可以采用數(shù)學(xué)建模。所以，在進行數(shù)學(xué)建模過程中，要根據(jù)實際的問題，選擇合適的數(shù)值分析方法，這樣才能真正達到運用數(shù)值分析思想進行數(shù)學(xué)建模，從而更快地解決難題的目的。也才能讓學(xué)生通過建模過程，學(xué)習(xí)到數(shù)值分析的方法，建立數(shù)值分析思想，掌握數(shù)學(xué)建模方法，鍛煉其分析問題、解決問題的能力。

（三）加強師生之間的互動

數(shù)學(xué)建模過程中，一定不是單純的教師操作，或者是學(xué)生的單純操作，在建模過程中，一定要注重師生之間的互動和合作。在講述一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)建模案例時，教師要把建模的背景、問題的產(chǎn)生、關(guān)鍵的因素、要用到的數(shù)學(xué)工具，尤其是數(shù)值分析思想的運用向?qū)W生講解清楚，然后讓學(xué)生分組討論，在數(shù)學(xué)建模過程中，需要運用什么樣的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想，怎樣建?？梢宰寙栴}更加簡單，怎樣可以簡化其中的數(shù)值分析步驟。這樣不僅可以保持學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的積極性，也可以讓學(xué)生通過親自參與把知識轉(zhuǎn)化為自己的理解，從而在理解和記憶起相關(guān)知識上都可以更加快速和容易，并且印象深刻。

（四）采用有效的教學(xué)方法

在任何教學(xué)過程中，有效的教學(xué)方法發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。在數(shù)學(xué)建模過程中，要想有效自然的融入數(shù)值分析的思想，需要采用更加有效的教學(xué)方法。這樣不僅可以讓學(xué)生覺得課程的難度不是那么高，也會達到更為理想的教學(xué)效果。比如在數(shù)學(xué)建模過程中，可以多從學(xué)生的生活實際中提煉問題，引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)建模解決自己生活中常見的一些問題，慢慢培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)建模和數(shù)值分析的興趣，從而會提升學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過程中采用數(shù)值進行分析的積極性。需要說明的是，無論是數(shù)學(xué)建模還是進行數(shù)值分析，都需要教師去充分的引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、思考和解決問題，切忌不能把課堂變成教師的獨角戲，要不斷豐富教學(xué)方法，以提升學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和良好的教學(xué)效果。

四、數(shù)學(xué)建模中融入數(shù)值分析思想的具體案例

（一）解決實際生活問題的應(yīng)用案例

在對經(jīng)濟動態(tài)進行分析時，一般情況下是根據(jù)一些計劃的周期期末的指標(biāo)值來判斷某個經(jīng)濟計劃執(zhí)行得怎樣。因此，在實際問題上可以建立連續(xù)的模型，也可以建立離散的模型，但在真實的研究中，時時刻刻的對其數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計是不太現(xiàn)實的，通常都是在某些特定時刻獲得統(tǒng)計數(shù)據(jù)。比如人口普查統(tǒng)計體現(xiàn)的是一個時段的人口增長量，通過對這個時段人口數(shù)量變化規(guī)律建立的離散模型來預(yù)測未來人口數(shù)量變化情況。最常用的方法就是建立差分方程。

以非負整數(shù)k 表示時間，記xk 為變量x 在時刻k 的取值，則稱Δxk=xk+1-xk 為xk 的一階差分，稱Δ2xk=Δ（Δxk）=xk+2-2xk+1+xk 為xk的二階差分。類似可以求出xk 的n 階差分Δnxk。通過k，xk 以及的xk 的差分給出的方程就成為差分方程。比如在研究節(jié)食和運動模型時，發(fā)現(xiàn)人們采取節(jié)食與運動方式可以消耗體內(nèi)存儲的脂肪，使得人體體重下降，從而達到減肥的目的。也就是說，通過制定減肥計劃，如果以周為時間單位是比較方便的，因此，可以采用差分方程的模型進行討論。可以記第k 個周末體重為w（k）,第k 周吸收熱量為c(k),熱量轉(zhuǎn)換系數(shù)為α，代謝消耗系數(shù)為β，在不考慮運動情況下體重變化的模型為w（k+1）=w（k）+αc(k+1)-βw（k），k=0,1,2……，增加運動時只需要將β 改為β1+β，β1 由運動的形式和時間來決定。另外，在研究經(jīng)濟變化形勢、人口增長等問題時，都可以通過建立差分模型來進行分析。

（二）誤差分析問題

在數(shù)學(xué)建模過程中一般會包含很多變量，很多量通過觀察就可以得到，所以也就帶來了誤差，一般我們把這種誤差稱為觀察誤差。而在很多時候，誤差是不可避免存在的。為此，在數(shù)學(xué)建模過程中，要進行誤差分析，以避免誤差擴大問題的出現(xiàn)。在進行誤差分析時，首先要分清問題是否病態(tài)和算法是不是穩(wěn)定，在計算時要盡量避免誤差帶來的危害。需要說明的是，在數(shù)學(xué)建模過程中，利用數(shù)值分析思想時，為了防止有效數(shù)字的損失，務(wù)必要遵循以下幾個原則：

第一，要避免用絕對值小的數(shù)作為除數(shù)；第二，要避免數(shù)值接近相等的兩個近似值相減，因為這樣容易導(dǎo)致有效數(shù)字的損失；第三，一定要注意運算的順序，防止“大數(shù)”吃“小數(shù)”，比如多個數(shù)相加減，應(yīng)該按照絕對值由小到大的次序進行運算；第四，一定要簡化步驟，減少算術(shù)運算的次數(shù)，由于運算次數(shù)變少，就可以較高程度的保證計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

結(jié)語

伴隨著科技和教學(xué)水平的不斷發(fā)展和提高，數(shù)值分析思想的理論和方法運用范圍越來越廣泛，它不僅局限于解決一些數(shù)學(xué)問題，而是有了更廣闊的使用前景，現(xiàn)在數(shù)學(xué)建模已經(jīng)成為教育教學(xué)乃至科學(xué)工作者和工程技術(shù)人員用來解決各種科研問題的一個必備的知識和工具，而把數(shù)值分析思想融入到數(shù)學(xué)建模過程中，不僅是一種研究發(fā)展趨勢，更是用數(shù)學(xué)思想來解決實際問題的一個重要體現(xiàn)，并且也是非常重要的一個將復(fù)雜問題簡便化的方法。為此，在數(shù)學(xué)建模中融入數(shù)值分析思想時，要進一步明確數(shù)學(xué)建模的目標(biāo)、精心設(shè)計教學(xué)案例、加強師生之間的互動、采用有效的教學(xué)方法，帶領(lǐng)學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模過程的同時，進一步讓學(xué)生理解和感受數(shù)值分析思想的價值，也大大提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和學(xué)習(xí)效果。