基于確定性下的尺規(guī)作圖

1 試題呈現(xiàn)

（2021南京）如圖1，已知P是⊙O外一點(diǎn).用兩種不同的方法過點(diǎn)P作⊙O的一條切線.要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖;（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明.

2 試題探究

對于這樣一道熟悉的問題，也是課堂教學(xué)的真實(shí)情境再現(xiàn)，學(xué)生通過初中三年的幾何學(xué)習(xí)，將一些基本的幾何模型通過本題較好的呈現(xiàn)，體現(xiàn)了試題的評價(jià)功能，將學(xué)生熟悉的素材以發(fā)散性的形式進(jìn)行考查，體現(xiàn)了思維的多樣性.本題的素材也是源于新版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)》中的案例，為教學(xué)提供了新的導(dǎo)向.下面我們將從理解題意、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧反思對試題進(jìn)行探究.

2.1 理解題意

分析題目的條件，⊙O是定圓，點(diǎn)P是⊙O外一定點(diǎn)，需要在⊙O上尋找一個(gè)定點(diǎn)Q，使得PQ是切線，即∠PQO=90°.

2.2 擬定方案

我們通過構(gòu)造示意圖，如圖2，觀察∠PQO=90°，對于這個(gè)直角模型你能聯(lián)想到什么？如何構(gòu)造相應(yīng)的幾何模型來實(shí)現(xiàn)∠PQO=90°？

聯(lián)想1（定弦定角） 由于PO是定線段，∠PQO=90°，它們都是確定元素，因此點(diǎn)Q的軌跡是圓弧.定弦定角的數(shù)學(xué)模型學(xué)生非常熟悉，很容易聯(lián)想到軌跡，因此以PO為直徑構(gòu)造圓，與⊙O的交點(diǎn)即為所求，從而確定切線.聯(lián)想2（HL全等） 由于PO長度固定，半徑OQ已知，∠PQO=90°，因此Rt△POQ是確定的，基于三角形確定的情形下，我們可以利用尺規(guī)作圖構(gòu)造出這個(gè)直角三角形，其實(shí)這就是判定兩個(gè)直角三角形全等的條件“HL”.通過截取直角邊，進(jìn)一步得到切線長.上述兩個(gè)作法對于學(xué)生是容易得到的，教學(xué)中，我們希望學(xué)生能夠發(fā)散思維，在想到2個(gè)解法之后能再想一步，還可以怎么做？又是如何想到的？

聯(lián)想3（三線合一） 從直角三角形可以聯(lián)想到等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”再得到直角三角形.轉(zhuǎn)化思維，不妨在原圖形的基礎(chǔ)上構(gòu)造一個(gè)更大的圖形來實(shí)現(xiàn)本題最初的想法.線段PO是等腰三角形的腰，OQ是這個(gè)等腰三角形底的一半，故等腰三角形確定，因此圖形如何構(gòu)造就豁然開朗.基于聯(lián)想3的再思考，我們可以從等腰三角形構(gòu)造這個(gè)直角，也可以借助菱形的對角線互相垂直來實(shí)現(xiàn)這個(gè)構(gòu)圖的想法，此時(shí)的圖形就“更大”了.

聯(lián)想4（特殊位似） 根據(jù)聯(lián)想3，從圖形的大小啟示我們，間接構(gòu)圖，從位似的視角來構(gòu)造直角三角形.特別地，利用中位線構(gòu)造圖形更加容易，此刻的三角形是確定大小和形狀.

聯(lián)想5（一般相似） 根據(jù)聯(lián)想4相似的視角，利用切線和割線構(gòu)成的三角形相似，如圖3，得到PQ2=PM·PN.因?yàn)镻M與PN長度確定，因此切線長PQ確定.基于這樣的比例式，多視角認(rèn)識相似，那么構(gòu)圖的方法就比較豐富了.

聯(lián)想6（垂徑定理） 借助圓的垂徑定理進(jìn)行構(gòu)圖，垂徑定理可以得到垂直，再結(jié)合圓的相關(guān)知識進(jìn)行解答.聯(lián)想7（三高相交） 圖2的構(gòu)圖讓我們聯(lián)想到OQ是△POQ的高，根據(jù)三角形的“三條高所在直線交于一點(diǎn)”的結(jié)論，如果能夠構(gòu)造出一個(gè)三角形的另外兩條高，那么OQ⊥PQ就自然生成.如何構(gòu)造三角形？怎樣構(gòu)造會(huì)容易想到？借助“三條高所在直線交于一點(diǎn)”的結(jié)論，不斷嘗試畫圖，這種逆向的思考會(huì)讓更多的學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)的奇妙.

2.3 執(zhí)行方案

方法一 根據(jù)聯(lián)想1作圖，如圖4，以O(shè)P為直徑構(gòu)造⊙M，⊙M與⊙O的交點(diǎn)為Q，PQ即為所求.類似的，我們也可以截取MQ=MO=MP，從而得到∠PQO=90°實(shí)現(xiàn)作圖.

方法二 根據(jù)聯(lián)想2作圖，如圖5，以Q′為直角頂點(diǎn)構(gòu)造∠O′Q′P′=90°，截取O′Q′=r，截取線段O′P′=OP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得線段P′Q′=PQ.以P為圓心，P′Q′長為半徑作弧交⊙O于點(diǎn)Q，PQ即為所求.類似的，如圖6，構(gòu)造PQ=AB，PQ即為所求.

方法三 根據(jù)聯(lián)想3作圖，如圖7，以P為圓心，PO長為半徑作弧，以O(shè)為圓心，2r長為半徑作弧，兩弧交點(diǎn)為A，連接AO.AO交⊙O于點(diǎn)Q，PQ即為所求.類似的，如圖8，構(gòu)造菱形實(shí)現(xiàn)作圖.

方法四 根據(jù)聯(lián)想4作圖，如圖9，延長PO至點(diǎn)A，使得PO=OA，以O(shè)為圓心，PO長為半徑作弧，以A為圓心，2r長為半徑作弧，兩弧交點(diǎn)為D，連接PD，PD與⊙O交于點(diǎn)Q，PQ即為所求.類似的，如圖10.

方法五 根據(jù)聯(lián)想5作圖，如圖11，以PC為直徑作⊙A，PC與⊙O交于B，過點(diǎn)B作DB垂直于PC，交⊙A于點(diǎn)D，連接PD，以P為圓心，線段PD長為半徑作弧，交⊙O于點(diǎn)Q，線段PQ即為所求.類似的，我們擴(kuò)大圖形，如圖12，延長BP至點(diǎn)A′，使得A′P=AP，同理可得切線PQ.

如圖13，在⊙O上任取一點(diǎn)A，連接PA，過A作∠OAB=∠OPA，易得OA2=OB·OP，

過點(diǎn)B作BQ⊥OP，交⊙O于點(diǎn)Q，因此OQ2=OB·OP，所以∠PQO=90°，則可得切線PQ.

如圖14，在⊙O上任取點(diǎn)B，連接PB，交⊙O于另一點(diǎn)A，過C作∠OCD=∠BPO，交OB于點(diǎn)D，易得OB2=OD·OP，在OP上取點(diǎn)E使得OE=OD.過點(diǎn)E作EQ⊥OP，交⊙O于點(diǎn)Q，因此OQ2=OE·OP，所以∠PQO=90°，則可得切線PQ.

進(jìn)一步的改造上述方法，如圖15，構(gòu)造∠PAC=∠POB，交PO于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CQ⊥OP，交⊙O于點(diǎn)Q，因此∠PQO=90°，則可得切線PQ.

如圖16，在上述的方法中，由于垂足點(diǎn)是確定位置的，因此可以嘗試連線形成交點(diǎn)從而確定切點(diǎn)弦，此法的最大優(yōu)勢是只用直尺進(jìn)行作圖.

方法六 根據(jù)聯(lián)想6作圖，如圖17，以O(shè)為圓心，OP為半徑構(gòu)造大⊙O，任意取小圓半徑OA，

過點(diǎn)A作CD⊥OA，分別交大⊙O于C，D兩點(diǎn).以P為圓心，CD為半徑構(gòu)造⊙P，⊙P與大⊙O交于E點(diǎn)，連接PE交小⊙O于點(diǎn)Q.則可得切線PQ.

如圖18，任意作線段PB，交⊙O于C，B兩點(diǎn).過點(diǎn)O作OA⊥PB，垂足為點(diǎn)A，以A為圓心，AP為半徑構(gòu)造⊙A.過點(diǎn)B作BE⊥PB，交⊙A于E，以P為圓心，BE為半徑作弧，交⊙O于點(diǎn)Q，則可得切線PQ.

方法七 根據(jù)聯(lián)想7作圖，如圖19，20，我們先看看思維的過程.

圖21從圖19到圖20的演變中，我們能感受到三高所在直線交于一點(diǎn)的巧妙，那么垂直相切就顯而易見.如圖21，延長PO交⊙O于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作直線l垂直于PB，垂足為B.在l上找一點(diǎn)C，使得OC=PO，作PC的垂直平分線交l于點(diǎn)E，連接PE交⊙O于點(diǎn)Q，則可得切線PQ.

2.4 回顧反思

2.4.1 關(guān)注模型思想

對于本試題，我們從多個(gè)角度建立直角模型，從而構(gòu)建出初中數(shù)學(xué)中基本的幾何模型.聯(lián)想1從定線段、定角這個(gè)角度思考，構(gòu)建定弦定角的數(shù)學(xué)模型.聯(lián)想2從三角形確定性角度思考，以全等為抓手，構(gòu)建直角三角形.聯(lián)想3關(guān)注轉(zhuǎn)化的思想，將確定的直角三角形轉(zhuǎn)化成為等腰三角形截取得到，換個(gè)角度看問題，這邊風(fēng)景獨(dú)好.聯(lián)想4從特殊的位似思考，或者說利用中位線來解決問題，熟悉的背景，不一樣的感悟.聯(lián)想5的多種相似構(gòu)造，彰顯幾何內(nèi)功，從一些結(jié)論出發(fā)倒推相似得直角，將幾何模型運(yùn)用的爐火純青.聯(lián)想6關(guān)注圓中的垂徑定理的靈活使用，讓方法更加多元，將相似與圓的多個(gè)結(jié)論融合在一起.聯(lián)想7從學(xué)生熟悉而又陌生的“三高交于一點(diǎn)”展開思考，熟悉是因?yàn)樾W(xué)畫圖時(shí)就知道此結(jié)論，陌生是學(xué)生不一定會(huì)構(gòu)圖，作圖的魅力是從念頭開始，不斷嘗試和思考構(gòu)造模型，證明不言而喻.

從擬定方案到執(zhí)行方案，我們不是一味的追求多解和巧解，而是希望這個(gè)“直角”能夠帶給學(xué)生多角度的思考和深層次的再思考，用一道試題構(gòu)建幾何學(xué)習(xí)的整體框架，加深對每一個(gè)知識點(diǎn)的理解，從而加強(qiáng)模型思想的滲透.

2.4.2 關(guān)注課堂教學(xué)

這道試題在教師新授課或者復(fù)習(xí)課時(shí)都會(huì)有所涉及，屬于一道“老題”，但老題背后卻反應(yīng)的是教師的教和學(xué)生的學(xué).教師在課堂教學(xué)時(shí)要關(guān)注通性通法的講解，要舍得花時(shí)間讓學(xué)生去體驗(yàn)，去思考，去書寫，去交流，去質(zhì)疑等環(huán)節(jié)，要關(guān)注到學(xué)生之間的差異，從而體現(xiàn)到方法上的差異，進(jìn)一步呈現(xiàn)出思維上的差異，教師要及時(shí)給予鼓勵(lì)和引導(dǎo)，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的探究者.學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)時(shí)要主動(dòng)參與，獨(dú)立思考，敢于嘗試，學(xué)會(huì)聆聽教師和同伴的講解，當(dāng)遇到多種方法解題時(shí)，掌握通性通法，接受并學(xué)習(xí)不一樣的方法，同時(shí)關(guān)注不同方法之間存在差異的原因，學(xué)會(huì)反思，學(xué)會(huì)交流和學(xué)會(huì)創(chuàng)新.

2.4.3 關(guān)注考試評價(jià)

南京中考試題近年來關(guān)注兩種方法的解答，這在全國都不是很多見，而兩種方法背后承載著教師和學(xué)生對于數(shù)學(xué)的理解，呈現(xiàn)的是學(xué)生對于不同數(shù)學(xué)模型的理解和應(yīng)用，具有較好的選拔功能.兩種方法的考查也指引著課堂教學(xué)的變革，課堂不是教師的一言堂，要讓更多的孩子參與到課堂來，鼓勵(lì)因材施教和分層教學(xué).例如本試題的教學(xué)，教師要放手給學(xué)生在課堂中嘗試并探究各種作法，引導(dǎo)學(xué)生交流和互相評價(jià)，關(guān)注學(xué)生的原始生成，適時(shí)引導(dǎo)和幫助，讓不同的孩子在數(shù)學(xué)上有不同的發(fā)展.另外，試題中出現(xiàn)了“保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明”，說明在評價(jià)中關(guān)注到了用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)作圖的想法，同時(shí)也倒逼作法的精準(zhǔn)性，加強(qiáng)學(xué)生對于問題的理解.

正如波利亞所言：沒有一道試題可以解決的十全十美.希望同學(xué)們能夠?qū)ⅰ袄斫忸}意，擬定計(jì)劃，執(zhí)行計(jì)劃，回顧反思”的解題四步法深入內(nèi)心，從確定性的角度思考問題，這樣的問題解決才會(huì)更讓人心動(dòng).

作者簡介 王強(qiáng)（1987—），男，江蘇南京人，碩士，伊犁州優(yōu)秀援疆教師，伊寧市優(yōu)秀教師，南京市優(yōu)秀青年教師，南京市秦淮區(qū)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人.