對(duì)人教版初中教材“等式性質(zhì)”改良的建議

陳春濤

【摘 要】 初中數(shù)學(xué)中有很多需運(yùn)用等式性質(zhì)的知識(shí)，超出了現(xiàn)行教材對(duì)等式性質(zhì)的描述范圍，對(duì)教學(xué)形成了一定的阻礙.通過(guò)對(duì)多版本教材內(nèi)容的梳理，發(fā)現(xiàn)各版本對(duì)等式性質(zhì)的描述并不相同.梳理人教版初中數(shù)學(xué)教材知識(shí)體系，發(fā)現(xiàn)等式兩邊能否同乘除式子、能否同乘除零，對(duì)解釋分式方程解法的依據(jù)等知識(shí)起到了關(guān)鍵作用，故可對(duì)初中教材中等式性質(zhì)的描述適度改良，對(duì)等式性質(zhì)的教學(xué)也應(yīng)有所側(cè)重.

【關(guān)鍵詞】 等式性質(zhì);教材改良;分式方程

3 對(duì)等式性質(zhì)的教學(xué)建議

?

3.1 建議弱化初中教材中的天平模型

對(duì)比人教版小學(xué)和初中有關(guān)等式性質(zhì)的教材內(nèi)容，可發(fā)現(xiàn)都是通過(guò)天平模型來(lái)學(xué)習(xí)的，且小學(xué)教材中的天平模型是選擇茶壺、茶杯、花瓶、花盆等生活物品[13]，更容易理解“同加減式子”，初中的天平模型則選擇的是金屬小球、正方體、正三棱錐[1]等實(shí)驗(yàn)室物品，學(xué)生結(jié)合初中生物課堂更容易將這些物品理解為代表標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的砝碼，即“同加減數(shù)”.而且，小學(xué)更注重直觀形象，對(duì)天平模型的實(shí)驗(yàn)教學(xué)演示更多，初中沒(méi)有必要在這上面重復(fù)花費(fèi)時(shí)間.

初中的等式性質(zhì)對(duì)比小學(xué)內(nèi)容，主要區(qū)別是同加（或減）的不再限定是一個(gè)“數(shù)”，還可以是同一個(gè)“式子”.因此，在教學(xué)現(xiàn)行教材時(shí)，初中教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)是讓學(xué)生感受等式兩邊同加減式子的變形.例如：根據(jù)等式性質(zhì)1，如何直接將2x-3=5+3x變形為-8=x？

另一個(gè)重點(diǎn)應(yīng)該是拓展同加減或乘除的“數(shù)”，由小學(xué)多見(jiàn)的正整數(shù)，拓展到含負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)等多種形式的有理數(shù).

青島版和湘教版教材是從實(shí)際問(wèn)題中概括的等式性質(zhì).青島版探索等式性質(zhì)2的材料是：“一袋巧克力糖的售價(jià)是a元，一盒果凍的售價(jià)是b元，買(mǎi)c袋巧克力和買(mǎi)c盒果凍各要花多少元？如果一袋巧克力糖與一盒果凍的售價(jià)相同（即a=b），那么買(mǎi)c袋巧克力糖和買(mǎi)c盒果凍的價(jià)錢(qián)相同嗎？”[9]

3.2 建議結(jié)合“逆運(yùn)算”來(lái)理解等式性質(zhì)

2001年版的人教版教材中提到“小學(xué)曾用加法與減法互為逆運(yùn)算的方法解方程8x+9=49”，翻閱現(xiàn)行的2013年版人教部編版小學(xué)教材，發(fā)現(xiàn)小學(xué)已經(jīng)在應(yīng)用等式性質(zhì)來(lái)解方程.

對(duì)比天平模型，“逆運(yùn)算”更容易解釋加減乘除“式子”的合理性.

例如：根據(jù)“一個(gè)多項(xiàng)式A與（2a-3）差的是（5+3a）”可列式“A-（2a-3）=5+3a”，并通過(guò)“被減數(shù)=差+減數(shù)”求得“A=（5+3a）+（2a-3）”.這可說(shuō)明等式兩邊同加上或減去式子，結(jié)果仍相等.

根據(jù)“一個(gè)數(shù)A與（2a-3）的積是（4a-6）”，可列式為“A×（2a-3）=4a-6”，并通過(guò)“乘數(shù)=積÷另一個(gè)乘數(shù)”的逆運(yùn)算思想，求得“A=（4a-6）÷（2a-3）=2”.這可說(shuō)明等式兩邊可以同乘除式子.

根據(jù)“A×0=0”無(wú)法寫(xiě)成“A=0÷0”可知等式兩邊不能同除以零.而根據(jù)不存在“A=B÷0”可知等式兩邊也不能同乘以零后，將等式化為“A×0=B”的形式.

3.3 建議融通理解等式各條性質(zhì)

等式性質(zhì)2是可由等式性質(zhì)1推導(dǎo)得出的，因?yàn)椤皫讉€(gè)相同數(shù)累加，可寫(xiě)成乘法形式”，所以只要明確了“等式兩邊可同加等量”，則就可對(duì)應(yīng)推導(dǎo)出等式性質(zhì)2.

例如“2x-5=3”，在兩邊分別加上“2x-5”和“3”，則變?yōu)椤?（2x-5）=3×2”，即兩邊同乘2，若累加的份數(shù)未知，設(shè)為y，則變成了“（2x-5）y=3y”.

“兩邊同除”也可對(duì)應(yīng)通過(guò)“兩邊累減”來(lái)理解.

同樣，也可利用“幾個(gè)相同數(shù)連乘，可寫(xiě)成乘方形式”來(lái)理解“等式兩邊同時(shí)乘方，結(jié)果仍相等”.

等式性質(zhì)并非僅服務(wù)于一元一次方程，它是一切等式恒等變形的基礎(chǔ).規(guī)范、調(diào)整等式性質(zhì)內(nèi)容是可行的，也是必要的.

參考文獻(xiàn)

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.義務(wù)教育教科書(shū)（數(shù)學(xué) 七年級(jí)上冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2012.5：81.

[2]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.義務(wù)教育教科書(shū)（數(shù)學(xué) 七年級(jí)下冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2012.10：94.

[3]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.義務(wù)教育教科書(shū)（數(shù)學(xué) 八年級(jí)上冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2012.5：149.

[4]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（數(shù)學(xué) 必修1A版第一冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2019.5：40.

[5]歐幾里得.幾何原本[M].南京：江蘇人民出版社，2011.3：4.

[6]義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2012.6：86.

[7]九年義務(wù)教育三年制初級(jí)中學(xué)教科書(shū)代數(shù)第一冊(cè)（上）[M].北京：人民教育出版社，2001.3：184，211.

[8]向偉.分式方程[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2021（1）：38.

[9]展?jié)?義務(wù)教育教科書(shū)（數(shù)學(xué) 七年級(jí)上冊(cè)）[M].2.青島：青島出版社，2012.6：152.

[10]展?jié)?義務(wù)教育教科書(shū)（數(shù)學(xué) 八年級(jí)上冊(cè)）[M].2.青島：青島出版社，2013.6：103.

[11]嚴(yán)士健，黃楚芳.義務(wù)教育教科書(shū)（數(shù)學(xué) 八年級(jí)上冊(cè)）[M].2.長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2013.6：87.

[12]范良火.義務(wù)教育教科書(shū)（數(shù)學(xué) 八年級(jí)上冊(cè)）[M].2.杭州：浙江教育出版社，2013.6：117.

[13]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.義務(wù)教育教科書(shū)（數(shù)學(xué) 五年級(jí)上冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2013.5：64-65.