美國(guó)早期代數(shù)教科書中的分式方程

1 引言

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，方程是一條重要的主線.分式方程作為方程模型的一種，在現(xiàn)實(shí)生活中具有廣泛應(yīng)用，是初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，也是難點(diǎn)之一.課堂教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生回答以下問(wèn)題：什么是分式方程？為什么要學(xué)習(xí)分式方程？為什么會(huì)產(chǎn)生增根？為什么不用通分而要用去分母的方法解分式方程？在提倡學(xué)科育人的今天，教師還應(yīng)思考：如何實(shí)現(xiàn)分式方程的育人價(jià)值？

回溯歷史，我們發(fā)現(xiàn)關(guān)于分式方程的問(wèn)題也困擾過(guò)一代又一代的數(shù)學(xué)家，人們對(duì)分式方程的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了從不完善到完善的過(guò)程，經(jīng)過(guò)幾代數(shù)學(xué)家的不懈努力，才形成了今天的嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)識(shí).因此，分式方程的歷史既為教學(xué)提供了思想啟迪，也提供了豐富的素材.

目前，雖然已有少數(shù)教師從HPM的視角開(kāi)展過(guò)分式方程的教學(xué)實(shí)踐[1][2][3]，但他們只是利用了斐波那契《計(jì)算之書》中的問(wèn)題以及涉及增根的部分史料，數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式局限于復(fù)制式和附加式，未能采用重構(gòu)式.究其原因，HPM專業(yè)學(xué)習(xí)共同體對(duì)于分式方程的歷史還缺乏深入的研究.鑒于此，本文聚焦分式方程的定義、解法、增根及驗(yàn)根的方法，對(duì)美國(guó)早期代數(shù)教科書進(jìn)行考察，以期為分式方程的教學(xué)提供更多的參考.

2 教科書的選取

本文以分式方程為關(guān)鍵詞，對(duì)有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)中出版于19世紀(jì)至20世紀(jì)中葉的247種美英代數(shù)教科書進(jìn)行檢索，發(fā)現(xiàn)僅有73種教科書中涉及分式方程，且都出版于美國(guó).這73種教科書的時(shí)間分布如圖1所示.其中，對(duì)于同一作者再版的教科書，若內(nèi)容無(wú)明顯變化，則選擇最早的版本，若內(nèi)容有顯著變化，則將其視為不同的教科書.

分式方程主題所在章節(jié)具體分布見(jiàn)表1.其中，“分式方程”章的占比最高，但直到1880年之后才開(kāi)始出現(xiàn)分式方程獨(dú)立成章的情況.

3 分式方程的定義

雖然13世紀(jì)初意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書》中已涉及分式方程問(wèn)題，18世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家桑德森在《代數(shù)基礎(chǔ)》中已討論了分式方程的解法，但分式方程的定義卻出現(xiàn)得很晚.在1893年出版的一本教科書中，我們首次發(fā)現(xiàn)分式方程的明確定義，而在此之前的教科書則往往將分式方程和分?jǐn)?shù)系數(shù)方程混為一談.

73種教科書中，共有29種給出了分式方程的定義，表2列出了其中一些典型例子.

其二，關(guān)于分式方程的解法，教師應(yīng)給予學(xué)生自主探究的機(jī)會(huì)，避免灌輸式教學(xué).目前很多教師認(rèn)為該課題的重點(diǎn)就是讓學(xué)生掌握用去分母法解分式方程，并記得要驗(yàn)根即可.因此，在課堂上，學(xué)生并沒(méi)有機(jī)會(huì)去體驗(yàn)探究新知的樂(lè)趣.教師可以借鑒并改編早期教科書中的例題，引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法去求解.同時(shí)，可以挑選一些特殊形式的分式方程，讓學(xué)生自主選擇最合適的方法，并互相交流，比較不同方法在求解過(guò)程中工作量的大小，進(jìn)而體會(huì)“去分母法”的優(yōu)劣，解決“為什么不用通分而要用去分母的方法解分式方程？”的問(wèn)題.

其三，分式方程課題的教學(xué)難點(diǎn)之一是理解產(chǎn)生增根的原因.關(guān)于增根，國(guó)內(nèi)現(xiàn)行教材都只在分式方程范圍內(nèi)給出定義.但據(jù)Durell（1914）的觀點(diǎn)，只要在方程的求解過(guò)程中引入的新根都是增根，這一定義更有利于學(xué)生掌握增根的本質(zhì).此外，在解釋產(chǎn)生增根的原因時(shí)，教師可以借鑒早期教科書中的解釋，也可參考Comstock（1922）的做法，通過(guò)列表和數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生直觀感受原分式方程與整式方程的聯(lián)系與區(qū)別，深入理解產(chǎn)生增根的原因.

其四，教師在進(jìn)行HPM教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)充分挖掘史料的德育價(jià)值，充實(shí)分式方程教學(xué)的人文內(nèi)涵.具體來(lái)說(shuō)，可以通過(guò)展示分式方程曲折的發(fā)展過(guò)程，介紹數(shù)學(xué)家們走過(guò)的彎路和犯過(guò)的錯(cuò)誤，鼓勵(lì)學(xué)生積極地去探索和發(fā)現(xiàn)，樹(shù)立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和勇氣，養(yǎng)成堅(jiān)持不懈的優(yōu)秀品質(zhì)。

參考文獻(xiàn)

[1]栗小妮，賈彬.HPM視角下“可化為一元一次方程的分式方程”的教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2019（03）：13-17.

[2]王倩，沈中宇，洪燕君.HPM視角下可化為一元二次方程的分式方程教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2017（07）：23-26+37.

[3]張奕一，王敬進(jìn)，洪燕君.HPM視角下可化為一元二次方程的分式方程教學(xué)[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（05）：22-25.

[4] Taylor， J. M. An Academic Algebra[M]. Boston： Allyn and Bacon， 1893， 174.

[5] Milne， W. J. Academic Algebra[M]. New York： American Book Company， 1901， 163.

[6] Wells， W. Advanced Course in Algebra[M]. Boston： D.C. Heath & Co.， 1904， 122.

[7] Comstock， C. E. Elementry algebra [M]. Peoria： C. E. Comstock. 1907， 185.

[8] Wheeler， A. Harry. First Course in Algebra： with mental exercises[M]. Boston： Little， Brown， and company， 1907， 298.

[9] Wilczynski， E. J.， Slaught， H. E. College Algebra： with Applications[M]. Boston： Allyn and Bacon， 1916， 241.

[10] Fisher， G. Egbert.， Schwatt， I. J. Text-book of Algebra[M]. Philadelphia： Fisher and Schwatt， 1898， 311-315.

[11] Slaught， H. E.， Lennes， N. Johann.， Lennes， N. J. First Principles of Algebra[M]. Boston： Allyn and Bacon， 1912： 409-411.

[12] Comstock， C. E. Sykes， M. Beginners' algebra[M]. Chicago： Rand McNally， 1922， 246-247.

[13] Smail， L. Leroy. College Algebra[M]. New York： McGraw-Hill book company， 1931， 210

[14] Durell， F. Durell's Algebra[M]. New York： Charles E. Merrill company， 1914， 201-205.

[15] Hall， H. S.， Sevenoak， F. L.， Knight， S. R.， Knight， S. R.， Sevenoak， F. L. Elementary Algebra[M]. New York： Macmillan， 1895， 126-127.

[16] Aley， R. J.， Rothrock， D. A. The Essentials of Algebra for Secondary Schools[M]. New York： Silver， Burdett and company， 1904， 142.

[17] Jocelyn， L. Parker. An Algebra for High Schools and Academies[M]. Philadelphia： Butler， Sheldon & company， 1902， 216.

[18] Fite， W. Benjamin. College algebra[M]. Boston： D.C. Heath & co.， 1913， 97-98.

作者簡(jiǎn)介 楊孝曼（1997—），女，華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院碩士研究生.