基于響應(yīng)面算法的車載電機成本優(yōu)化設(shè)計

靳 冶，皇甫倩

(1.上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院，上海 200072； 2.中國電子科技集團公司第三十二研究所，上海 201808)

0 引 言

釹鐵硼是構(gòu)成永磁同步電機原材料成本的主要部分之一，其次是線圈和沖片等材料。根據(jù)統(tǒng)計，依賴昂貴稀土材料的磁鋼約占整個車用驅(qū)動電機總成本的20%～30%[1]。隨著原材料成本的持續(xù)上漲，物料清單的成本越來越高，這和新能源汽車持續(xù)降低成本以實現(xiàn)產(chǎn)業(yè)化普及的目標(biāo)背道而馳。因此，車載永磁同步電機的降本設(shè)計成為車載電機企業(yè)共同研究的熱點。

近年來，持續(xù)提高電機功率密度和扭矩密度一度成為電機行業(yè)深入研究的重點領(lǐng)域，并出現(xiàn)了眾多優(yōu)化方法以實現(xiàn)電機性能的提升。但隨著行業(yè)的發(fā)展，相同車型對驅(qū)動電機的需求是類似的。因此利用優(yōu)化算法，在保證性能指標(biāo)相近的情況下盡量減少材料的用量，以實現(xiàn)成本的降低。

響應(yīng)面模型(RSM)是應(yīng)用于工程和化工領(lǐng)域的一種常見算法，近年來也開始被用于電機的設(shè)計優(yōu)化。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的自變量較少時，利用響應(yīng)面法可較快地找到最優(yōu)解，減少了電機設(shè)計對工程師經(jīng)驗的依賴，并縮短了開發(fā)周期，降低了企業(yè)研發(fā)成本和風(fēng)險。

在滿足電機輸出性能需求的同時，優(yōu)化設(shè)計磁鋼外形及其用量，能夠降低永磁電機總的材料用量[2]。因此，本文著重優(yōu)化磁鋼、硅鋼等占電機成本比例較高的材料用量，以降低電機的總材料成本。

根據(jù)電動汽車對轉(zhuǎn)矩和效率的要求，選擇轉(zhuǎn)矩脈動峰峰值Trip、最大平均轉(zhuǎn)Tavg，以及較高的運行效率η為優(yōu)化目標(biāo)，希望在降低電機磁鋼、硅鋼用量，減少材料成本的同時，保證電機最大平均轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)矩脈動及效率仍然符合車輛對電機性能的需求。

1 選擇優(yōu)化參數(shù)

轉(zhuǎn)子中永磁體形狀和布置位置能夠影響電機交軸電感、直軸電感以及磁密的分布，從而影響電機輸出性能和成本[3]。永磁體形狀如圖1所示。

圖1 電機磁極形狀示意圖

本文基于某A00級微型電動汽車原有的需求進行設(shè)計。車輛對電機有具體的安裝尺寸要求，因此本文不改變定子外徑、電機長度和單邊氣隙。選用如圖1所示的定轉(zhuǎn)子內(nèi)外徑之比α，永磁體槽中心線底部距轉(zhuǎn)子內(nèi)圓距離O2、磁鋼厚度h、磁鋼長度W(圖1中的WPM1+WPM2)4個決定永磁體排布的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)變量作為優(yōu)化參數(shù)和自變量，將響應(yīng)值設(shè)置為電機的磁鋼用量。通過自變量的改變能夠求得響應(yīng)面的最佳情況：

y=f(x1,x2,x3,…,xk)+ε

(1)

式中：y為響應(yīng)值；x為自變量；k為自變量個數(shù)；ε為誤差。自變量與響應(yīng)值之間關(guān)系十分復(fù)雜，通常難以找到最優(yōu)值，因此可以通過響應(yīng)面模型來近似代替實際函數(shù)關(guān)系。選取的二階響應(yīng)面模型[4]：

(2)

式中：β0，βi，βii,βij為回歸系數(shù)；ε為誤差；k為自變量個數(shù)。

為了方便計算，在求解最優(yōu)回歸系數(shù)時，需將自變量的值進行轉(zhuǎn)換，將所選取的最小值設(shè)為-1，最高值設(shè)為1，中間值設(shè)為0。真實值和轉(zhuǎn)換值的關(guān)系：

(3)

式中：xinorm為代碼值；xi為自變量取值。

根據(jù)不同的回歸系數(shù)，由式(2)得到的響應(yīng)變量y的擬合值是不同的。為了得到擬合程度最好的響應(yīng)面模型，需要找到合適的回歸系數(shù)，使得響應(yīng)變量y的擬合值和實際測得值的離差平方和Q(β)最?。?/p>

(4)

運用最小二乘法，可以求得離差平方和Q(β)最小時的回歸系數(shù)矩陣β[5]，從而得到響應(yīng)面的擬合回歸方程：

(5)

在得到擬合方程后，還要用方差分析法來對該方程進行顯著性檢驗，判定擬合方程的精確度。

2 建立響應(yīng)面模型

響應(yīng)面設(shè)計通常用 CCD(中心復(fù)合設(shè)計)和Box-Behnken兩種擬合曲面的方法[6]。本文中自變量的個數(shù)較少，只有定轉(zhuǎn)子內(nèi)外徑之比α，永磁體槽中心線底部距轉(zhuǎn)子內(nèi)圓距離O2、磁鋼厚度h，磁鋼長度W這4個。因此，借助Design-Expert軟件，并選擇Box-Behnken作為擬合方法，做4因素3水平的試驗設(shè)計。通過Design-Expert軟件求出29個樣本點，再通過motorCAD軟件創(chuàng)建有限元模型，計算每個實驗點的磁鋼用量，硅鋼片用量、銅的用量，并將總的材料成本計為實際的響應(yīng)值。定轉(zhuǎn)子內(nèi)外徑之比α、槽中心線底部距轉(zhuǎn)子內(nèi)圓距離O2、磁鋼厚度h以及磁鋼長度W分別取:

0.6≤α≤0.7
21 mm≤O2≤23 mm
5 mm≤h≤6 mm
11 mm≤W≤13 mm

實際材料價格是不斷變化的。參照市場上各種材料的價格，本文使用以下成本計算值進行計算仿真：釹鐵硼700元/kg；銅線80元/kg；沖片10元/kg。

表1 4因素3水平參數(shù)列表

圖2是2因素間對總的材料成本影響的3 D響應(yīng)面圖。圖2是對表2的數(shù)據(jù)做多項擬合回歸生成的。

并獲得總的材料成本(y) 對定轉(zhuǎn)子內(nèi)外徑之比α、永磁體槽中心線底部距轉(zhuǎn)子內(nèi)圓距離O2、磁鋼厚度h，磁鋼長度W的二次多項回歸方程：

y=6.592+0.292 5x1+1.168 33x2+

0.305x3+0.589 17x4- 0.065x1x2-

0.025x1x3-0.177 5x1x4+0.217 5x2x3+

(6)

得到成本隨自變量變化的擬合方程后，需要對該方程進行方差分析，驗證方程是否能否合理地描述所選參數(shù)和材料成本間的關(guān)系。根據(jù)總的生產(chǎn)成本擬合出方程的參數(shù)，求得模型的判定系數(shù)如表3所示。

表2 設(shè)計試驗點磁鋼用量計算值

表3 響應(yīng)面法生產(chǎn)成本分析結(jié)果

表3中，R2為總判定系數(shù)，Adj-R2是R2的平方值，這兩個判定系數(shù)越接近1，代表擬合程度越高，本文中R2=0.962和Adj-R2=0.920 1，非常接近1，表示曲面擬合度越好。AdeqPrecisior為信噪比，取值范圍必須>4，本文模型中AdeqPrecisior=5.843，在合理取值范圍。

3 基于遺傳算法的成本優(yōu)化

在求得個體適應(yīng)度后，還需通過遺傳算法得到最大適應(yīng)度個體[7]，流程如圖3所示。

圖2 材料成本和各因素的關(guān)系

圖3 算法流程圖

在材料成本優(yōu)化過程中，要保證電機仍然能夠滿足設(shè)計參數(shù)指標(biāo)的要求。例如，在本文面向的車型中，電機的峰值效率≥93%，高效區(qū)≥85%占55%以上。選取上文所述的4個設(shè)計參數(shù)作為優(yōu)化變量，以材料成本最小化為目標(biāo)進行優(yōu)化，數(shù)學(xué)表達式如下：

(8)

式中：Pn為電機的額定輸出功率；Tripple為電機的轉(zhuǎn)矩脈動；ηn為額定點效率。

圖4 為優(yōu)化過程。由圖4可知，經(jīng)過約60代的優(yōu)化，目標(biāo)函數(shù)y趨于收斂。

圖4 目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化迭代過程

表4給出了電機總的材料成本優(yōu)化結(jié)果。可以看出，當(dāng)定轉(zhuǎn)子內(nèi)外徑之比α=0.62，永磁體槽中心線底部距轉(zhuǎn)子內(nèi)圓距離O2=17.5 mm，磁鋼厚度h=6.1 mm，磁鋼長度W=13.4 mm時，電機總成本從原先的980元降低為948元，有明顯優(yōu)化效果。

表4 材料成本優(yōu)化結(jié)果對比

優(yōu)化前后的磁極形狀對比如圖5所示。

圖5 優(yōu)化前后的電磁方案

4 有限元驗證

在經(jīng)過上文的優(yōu)化后，再利用有限元方法對比電機初始方案及優(yōu)化后的輸出轉(zhuǎn)矩，驗證電機的性能仍保持基本不變，并仍滿足設(shè)計要求。如圖6所示，優(yōu)化后的輸出轉(zhuǎn)矩平均值結(jié)果為29.4 N·m，原方案為30.1 N·m，基本相同。轉(zhuǎn)矩脈動Tripple=3.4%，優(yōu)化前為3.1%，轉(zhuǎn)矩脈動幅值有所增大，但仍在設(shè)計指標(biāo)要求的5%以內(nèi)，并且變化不大。

圖6 優(yōu)化前后輸出轉(zhuǎn)矩對比圖

圖7為優(yōu)化前后的效率Map對比圖，其中包含了NEDC工況點?？梢钥闯觯瑑?yōu)化前后最大輸出轉(zhuǎn)矩幅值大小基本不變，但是優(yōu)化后效率最大值覆蓋面積略微降低。由于Lq/Ld的幅值增大，優(yōu)化后的電機弱磁能力有所提高。

圖7 優(yōu)化前后效率Map對比

從圖7可以看到，優(yōu)化后的最高效率為95%，效率在85%以上的面積占比為87.61%，滿足了設(shè)計指標(biāo)。但優(yōu)化后的效率略有降低，尤其效率為95%以上的高效率區(qū)有所差異。優(yōu)化后的95%效率區(qū)域縮小了。由于用于車輛驅(qū)動時，綜合效率是由工況決定的，所以比較綜合工況下的效率才有實際意義。通過Motor-CAD Lab模塊結(jié)合NEDC工況的仿真，優(yōu)化前后的效率如圖8所示。

圖8 優(yōu)化前后的效率

對比顯示，在NEDC工況下，優(yōu)化前后的效率并無顯著差別。達到了保持性能參數(shù)基本不變的前提下節(jié)省材料的目的。

5 結(jié) 語

圖9是實際電機的沖片圖和臺架測試照片。

圖9 樣機的電磁方案和試驗臺架照片

經(jīng)過實際臺架測試，電機的MAP圖如圖10所示。

綜上所述，采用響應(yīng)面模型，結(jié)合遺傳算法，以材料用量為優(yōu)化目標(biāo)，合理選取優(yōu)化參數(shù)，通過多次迭代，實現(xiàn)了在保持電機參數(shù)性能基本不變的前提下，減少材料用量、降低成本的目的。

圖10 樣機的實測MAP圖