無失效轉(zhuǎn)向架側(cè)架貝葉斯可靠性評(píng)估方法

王洪昆，操 琴，蔣增強(qiáng)

(1.神華鐵路貨車運(yùn)輸有限責(zé)任公司，北京 100011;2.北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044)

側(cè)架是鐵路貨車轉(zhuǎn)向架的核心零件，側(cè)架的可靠性，對(duì)于轉(zhuǎn)向架系統(tǒng)乃至整個(gè)貨車系統(tǒng)都至關(guān)重要。側(cè)架一旦發(fā)生失效，將帶來難以估量的損失。隨著科技的發(fā)展和制造工藝水平的提升，側(cè)架的設(shè)計(jì)使用壽命越來越長(zhǎng)，在正常檢修中很難觀察到失效個(gè)體。因此，在失效數(shù)據(jù)稀疏，甚至是無失效數(shù)據(jù)的情境下進(jìn)行轉(zhuǎn)向架側(cè)架的可靠性評(píng)估，成為亟待解決的問題。

可靠性評(píng)估通常通過試驗(yàn)或檢修中收集的失效數(shù)據(jù)，基于壽命分布函數(shù)，針對(duì)元件或系統(tǒng)在規(guī)定條件下實(shí)現(xiàn)其功能的能力進(jìn)行評(píng)估[1]。一般用可靠度函數(shù)、生存函數(shù)、平均故障間隔時(shí)間等概率指標(biāo)表征可靠性[2]?；跓o失效數(shù)據(jù)的可靠性評(píng)估多依托于截尾壽命試驗(yàn)與貝葉斯方法。在截尾壽命試驗(yàn)中，將試驗(yàn)結(jié)束時(shí)未失效的個(gè)體歸為刪失數(shù)據(jù)，以實(shí)現(xiàn)基于不完整數(shù)據(jù)的可靠性評(píng)估[3]。而貝葉斯方法通過先驗(yàn)分布的形式，將零部件的先驗(yàn)工程知識(shí)帶入可靠性評(píng)估，可以提高參數(shù)估計(jì)的精度[4]。HAN等[5]分別基于經(jīng)典貝葉斯方法和分層貝葉斯方法，在假設(shè)指數(shù)分布為零部件壽命分布的基礎(chǔ)上進(jìn)行無失效數(shù)據(jù)下的可靠度點(diǎn)估計(jì)方法研究。劉海濤等[6]基于產(chǎn)品壽命分布服從威布爾分布的假設(shè)，運(yùn)用壽命函數(shù)的凹凸性計(jì)算得出產(chǎn)品壽命分布函數(shù)中各個(gè)參數(shù)的貝葉斯估計(jì)量。為解決分層貝葉斯方法計(jì)算繁瑣的缺點(diǎn)，HAN[7]提出了期望貝葉斯估計(jì)(E-Bayesian estimation)方法，并比較了期望貝葉斯估計(jì)方法、經(jīng)典貝葉斯方法和分層貝葉斯方法的優(yōu)缺點(diǎn)，隨后將該方法應(yīng)用于極少失效數(shù)據(jù)下的可靠性評(píng)估問題[8]。肖麗麗等[9]提出應(yīng)用最優(yōu)置信限法對(duì)威布爾壽命分布下的可靠度置信區(qū)間的下界進(jìn)行估計(jì)，該方法雖然突破了貝葉斯方法專注于點(diǎn)估計(jì)的局限性，但也假定壽命分布中的形狀參數(shù)已知，引入了新的限制。GAO等[10]進(jìn)一步討論了期望貝葉斯估計(jì)方法與期望貝葉斯估計(jì)方法中超參數(shù)選取的問題。謝桂華等[11]在樣本量較小的工程環(huán)境下，利用Bootstrap方法直接對(duì)樣本重抽樣，以此擴(kuò)充無失效數(shù)據(jù)的樣本量。根據(jù)重抽樣的樣本可以無限逼近參數(shù)的真實(shí)分布這一特征，不斷減少Bootstrap計(jì)算過程中存在的偏差，最終得到參數(shù)的置信區(qū)間值。

綜上，基于無失效數(shù)據(jù)的可靠性評(píng)估雖有一定的研究基礎(chǔ)，但對(duì)于貝葉斯方法與Bootstrap的結(jié)合尚不充分，且基于實(shí)際工程中檢修數(shù)據(jù)的應(yīng)用研究較少。因此，筆者在李海洋等[12]的技術(shù)路線基礎(chǔ)上，將期望貝葉斯估計(jì)方法與參數(shù)Bootstrap的方法相結(jié)合，并靈活應(yīng)用于鐵路貨車轉(zhuǎn)向架側(cè)架的可靠性評(píng)估問題上，深入討論超參數(shù)選取與分布形式、Bootstrap重抽樣樣本量等對(duì)評(píng)估結(jié)果的影響。

1 側(cè)架的壽命分布與無失效樣本

1.1 側(cè)架的壽命分布類型

針對(duì)無失效數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)向架側(cè)架進(jìn)行可靠性評(píng)估的首要條件，是明確側(cè)架服役數(shù)據(jù)所服從的概率分布形式，即累計(jì)分布函數(shù)。在側(cè)架中，諸多位置都有可能出現(xiàn)裂紋，進(jìn)而導(dǎo)致側(cè)架失效，而側(cè)架的壽命取決于第一次出現(xiàn)該類現(xiàn)象的時(shí)間。因此，側(cè)架的壽命應(yīng)服從最小值分布，而威布爾分布是最常見的一種最小值分布，這也符合國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)機(jī)械零部件壽命的常用假設(shè)[13]。因此，筆者采用Weibull分布來表征側(cè)架的服役數(shù)據(jù)，并針對(duì)壽命分布的選取對(duì)建模的影響進(jìn)行分析。Weibull分布的累計(jì)分布函數(shù)為：

(1)

式中：β為形狀參數(shù)，影響著產(chǎn)品的失效機(jī)制，該值的大小一般與產(chǎn)品制成材料相關(guān)；θ為尺度參數(shù)，代表產(chǎn)品的特征壽命大小，關(guān)系著產(chǎn)品壽命函數(shù)的離散程度。

在可靠性評(píng)估中，常用概率密度函數(shù)或可靠度函數(shù)來表征分布函數(shù)，威布爾分布函數(shù)的可靠度函數(shù)可表示為：

(2)

1.2 無失效側(cè)架樣本數(shù)據(jù)

通過前期多次的現(xiàn)場(chǎng)調(diào)研，收集到2013—2019年某鐵路貨車檢修公司檢修系統(tǒng)中全部C80型貨車的K6型轉(zhuǎn)向架側(cè)架數(shù)據(jù)，共計(jì)14萬余條記錄。其中包含94 813個(gè)側(cè)架信息，2013年生產(chǎn)的側(cè)架共有5 117個(gè)。為進(jìn)行可靠性評(píng)估，主要利用定時(shí)截尾試驗(yàn)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組和處理。定時(shí)截尾試驗(yàn)是在試驗(yàn)前規(guī)定好試驗(yàn)停止時(shí)間，此時(shí)獲得的失效數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量。如對(duì)m組側(cè)架進(jìn)行可靠性試驗(yàn)，事先確定好各組的截尾時(shí)間，排序后記為T1,T2,…,Tm(T1

經(jīng)過上述計(jì)算討論，以2014年1月1日為同一開始試驗(yàn)時(shí)間，參加試驗(yàn)的是2013年無失效數(shù)據(jù)的5 117個(gè)側(cè)架，截尾試驗(yàn)情況如表1所示。

表1 側(cè)架的無失效數(shù)據(jù)

截尾時(shí)間的生成方法是生成600個(gè)隨機(jī)數(shù)，將其從小到大排序，依次取前60個(gè)數(shù)據(jù)為一組，于是將600個(gè)隨機(jī)數(shù)分成10組；然后取略小于每組數(shù)據(jù)中最小數(shù)據(jù)的數(shù)值作為一個(gè)截尾時(shí)間點(diǎn)，從而得到10個(gè)截尾時(shí)間點(diǎn)。

2 側(cè)架可靠度評(píng)估

可靠度的點(diǎn)估計(jì)方法主要基于加權(quán)最小二乘法的配分布曲線法[14]和期望貝葉斯估計(jì)方法?？煽慷鹊膮^(qū)間估計(jì)方法主要基于Bootstrap重抽樣法。

2.1 模型設(shè)定

在配分布曲線法中，需要選取各刪失時(shí)間點(diǎn)的失效概率Pi的先驗(yàn)分布。因?yàn)镻i的分布形式為二項(xiàng)分布，故通常采用貝塔分布Beta(a,b)作為Pi的先驗(yàn)分布，以便于數(shù)學(xué)上的計(jì)算求解[15]。先驗(yàn)分布Beta(a,b)中的超參數(shù)a和b，一般由專家提供或根據(jù)實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)測(cè)定。針對(duì)第一層超參數(shù)難以確定的情況，可構(gòu)建多層先驗(yàn)分布，即進(jìn)一步建立超參數(shù)的(第二層)先驗(yàn)分布。考慮到側(cè)架的高可靠性，通過定時(shí)截尾試驗(yàn)收集到的失效數(shù)據(jù)稀疏，乃至無失效數(shù)據(jù)，因此先驗(yàn)知識(shí)中失效概率Pi值較小的可能性較大，且Pi的先驗(yàn)分布應(yīng)該滿足減函數(shù)特性。文獻(xiàn)[14]通過對(duì)Beta(a,b)的概率密度函數(shù)求導(dǎo)，在減函數(shù)的特征條件下，推知超參數(shù)的范圍為a∈(0,1],b≥1。當(dāng)參數(shù)a固定時(shí)，隨著b的取值變大，Beta函數(shù)尾部越來越細(xì)，進(jìn)一步導(dǎo)致估計(jì)的波動(dòng)性變大。設(shè)定參數(shù)b的取值上限閾值為c(c≥1)，則1≤b

(3)

根據(jù)文獻(xiàn)[10]的分析結(jié)果，設(shè)定參數(shù)c取值為4。但現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)于超參數(shù)的取值并不詳盡，筆者將討論超參數(shù)的取值及分布形式對(duì)評(píng)估結(jié)果的影響。

根據(jù)刪失數(shù)據(jù)相關(guān)理論[16]，刪失時(shí)間大的個(gè)體更有助于確定零件的可靠性。因此，在配分布曲線法中可采用基于時(shí)間的加權(quán)最小二乘法來體現(xiàn)不同時(shí)間點(diǎn)的樣本的重要性。配分布曲線法中加權(quán)系數(shù)的計(jì)算方法為：

(4)

Bootstrap重抽樣的基本理念是：若分布模型可作為數(shù)據(jù)生成的模型，則基于仿真生成的數(shù)據(jù)也可作為倒推分布模型的有效手段。Bootstrap方法基于從總體中得到的樣本，從中有放回的隨機(jī)抽取子樣本，構(gòu)造Bootstrap樣本并以此計(jì)算Bootstrap估計(jì)值。Bootstrap重抽樣法可分為參數(shù)Bootstrap重抽樣和非參數(shù)Bootstrap重抽樣。非參數(shù)Bootstrap重抽樣不需對(duì)總體分布進(jìn)行假設(shè)，計(jì)算過程較為簡(jiǎn)單，但不適用于小樣本，且重抽樣過程存在不確定性，可能忽略部分觀測(cè)值而造成估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生偏差。參數(shù)Bootstrap重抽樣可在對(duì)總體分布的假設(shè)正確時(shí)，求得精確的估計(jì)區(qū)間。但參數(shù)Bootstrap重抽樣需要明確原始樣本的刪失和截?cái)鄼C(jī)制，因此它更適用于截?cái)鄤h失機(jī)制簡(jiǎn)單的樣本。本研究在點(diǎn)估計(jì)中確定了分布形式，且原樣本是無失效數(shù)據(jù)，不存在截?cái)?、區(qū)間刪失情況，因而參數(shù)Bootstrap重抽樣法更為適用。基于參數(shù)Bootstrap法的區(qū)間估計(jì)流程如圖1所示。

圖1 基于參數(shù)Bootstrap法的區(qū)間估計(jì)流程

2.2 可靠度的點(diǎn)估計(jì)結(jié)果

以年份為時(shí)間節(jié)點(diǎn)，令超參數(shù)b～U(1,4)，a～U(0.5,1)，得出側(cè)架在各時(shí)間節(jié)點(diǎn)的可靠度，如表2所示。

表2 各年份可靠度推算結(jié)果

(5)

2.3 側(cè)架可靠度的區(qū)間估計(jì)結(jié)果

已知側(cè)架規(guī)定壽命為9 125天，在采用參數(shù)Bootstrap法進(jìn)行可靠度的區(qū)間估計(jì)時(shí)，還需要確定重復(fù)抽樣的次數(shù)M。以任務(wù)時(shí)間為3 650天為例，仿真得到不同抽樣次數(shù)對(duì)可靠度區(qū)間波動(dòng)的影響情況，并據(jù)此確定抽樣次數(shù)M。新抽取的樣本數(shù)量與原始樣本量保持一致，當(dāng)重抽樣M次時(shí)，可以計(jì)算得到M組不同的參數(shù)估計(jì)值。當(dāng)置信度1-α=0.9、M的取值在20～6 000之間變化時(shí)，側(cè)架可靠度區(qū)間上下限的估計(jì)情況如圖2所示。

圖2 側(cè)架可靠度區(qū)間估計(jì)隨抽樣次數(shù)的波動(dòng)情況

由圖2可以看出，當(dāng)抽樣次數(shù)在2 000次以上時(shí)，區(qū)間估計(jì)的上下限值波動(dòng)較小?？紤]到評(píng)估結(jié)果的準(zhǔn)確及計(jì)算的簡(jiǎn)便，將抽樣次數(shù)M定為5 000次。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合側(cè)架點(diǎn)估計(jì)的結(jié)果，同時(shí)得到可靠度點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)與運(yùn)行時(shí)間的相關(guān)關(guān)系，如圖3所示。

圖3 側(cè)架的可靠度點(diǎn)估計(jì)及區(qū)間估計(jì)隨著時(shí)間的變化曲線

從圖3可以看出，側(cè)架的可靠度隨著時(shí)間的拉長(zhǎng)呈現(xiàn)出逐步衰退的趨勢(shì)。點(diǎn)估計(jì)值在區(qū)間估計(jì)范圍內(nèi)并且各時(shí)間點(diǎn)的區(qū)間估計(jì)寬度較小，體現(xiàn)了Bootstrap方法進(jìn)行可靠度區(qū)間估計(jì)的顯著優(yōu)勢(shì)。

3 模型驗(yàn)證與討論

3.1 超參數(shù)a的取值對(duì)評(píng)估結(jié)果的影響

表3 不同a取值下的參數(shù)估計(jì)值

圖4 不同a取值下的可靠度函數(shù)

3.2 壽命分布選取對(duì)評(píng)估結(jié)果的影響

Weibull分布隨著參數(shù)的選取，可以等效或近似為很多常見分布，如指數(shù)分布(β=1)、瑞利分布(β=2)、正態(tài)分布(β=3.5)。因此，在沒有其他備選條件下，采用Weibull分布作為壽命分布是合理的。為說明建模流程的適應(yīng)性，采用指數(shù)分布加以測(cè)試。指數(shù)分布的密度函數(shù)為：

(6)

通過E-Bayes方法得到各截尾時(shí)間點(diǎn)的失效率估計(jì)值后，即在服役時(shí)間t=Ti時(shí)，對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品失效概率為Pi。根據(jù)配分布曲線法，在指數(shù)分布下失效概率滿足以下等式：

Pi=1-e-λTi

(7)

對(duì)等式兩邊取對(duì)數(shù)，可以得到ln(1-Pi)=-λTi。令y=ln(1-Pi)，xi=Ti，μ=-λ，可以得到y(tǒng)i=μxi+εi。其中，εi是Pi和Pi的E-Bayes估計(jì)值做替換時(shí)產(chǎn)生的偏差。通過加權(quán)最小二乘法，求得μ=-1.2×10-6，進(jìn)而得到側(cè)架的可靠度函數(shù)R(t)=e-1.2×10-6t。

以指數(shù)分布為壽命分布時(shí)得出的可靠性評(píng)估結(jié)果不盡如人意，說明了分布選擇的重要性，但也從側(cè)面反映出建模流程的魯棒性。需要指出的是，對(duì)于對(duì)數(shù)正態(tài)分布等較為復(fù)雜的分布形式，難以通過配曲線法進(jìn)行求參，還需要進(jìn)一步研究通過其他仿真或解析方法進(jìn)行可靠性評(píng)估。

3.3 基于仿真研究的模型驗(yàn)證

假設(shè)某總體服從威布爾分布，且形狀參數(shù)為2，尺度參數(shù)為40 000。通過蒙特卡羅仿真方法，每次仿真從該總體中產(chǎn)生5 117個(gè)隨機(jī)數(shù)并進(jìn)行定時(shí)截尾試驗(yàn)，試驗(yàn)安排與側(cè)架的試驗(yàn)安排一致。為了同時(shí)研究不同截尾試驗(yàn)時(shí)間及樣本數(shù)量對(duì)可靠性評(píng)估的影響，共進(jìn)行1 000次仿真，每次仿真設(shè)置不同的試驗(yàn)時(shí)間跨度和樣本量，得到可靠度點(diǎn)估計(jì)誤差的平均值，如圖5所示。

圖5 不同試驗(yàn)條件下的可靠度估計(jì)誤差

從圖5可以看出，隨著試驗(yàn)樣本量的增大，平均估計(jì)誤差呈下降趨勢(shì)；隨著試驗(yàn)時(shí)間跨度的增大，平均估計(jì)誤差呈下降趨勢(shì)。在試驗(yàn)時(shí)間為1 460天，試驗(yàn)數(shù)量為5 000時(shí)，25年內(nèi)可靠度點(diǎn)估計(jì)的平均誤差約為4.46%，小于置信度，且隨著試驗(yàn)時(shí)間和試驗(yàn)數(shù)量的增加，誤差逐步降低。因此，為提高可靠度估計(jì)的準(zhǔn)確性，應(yīng)盡量增大樣本數(shù)量及試驗(yàn)時(shí)間。

3.4 基于模型對(duì)比的模型驗(yàn)證

下面將進(jìn)行置信限分析法與參數(shù)Bootstrap重抽樣法的對(duì)比驗(yàn)證。在已知零部件壽命分布類型和形狀參數(shù)值的條件下，通過參數(shù)估計(jì)的上下限進(jìn)行可靠度的區(qū)間估計(jì)。在置信度為0.90，設(shè)置研究運(yùn)行時(shí)間為1～25年，將Bootstrap重抽樣方法下a=1(模型1)和a～U(0.5,1)(模型2)兩種情況下得到的區(qū)間寬度與置信限分析方法(模型3)得到的區(qū)間寬度進(jìn)行對(duì)比，得到不同模型的可靠度區(qū)間寬度隨著任務(wù)時(shí)間的變化情況，如圖6所示。

圖6 不同模型可靠度區(qū)間估計(jì)寬度對(duì)比

從圖6可以看出，在相同的置信水平下，參數(shù)Bootstrap法計(jì)算得到的可靠度區(qū)間寬度較小，且處于平穩(wěn)擴(kuò)大狀態(tài)；而置信限分析方法計(jì)算得到的可靠度區(qū)間寬度隨著時(shí)間的增加迅速變寬，呈現(xiàn)一個(gè)發(fā)散的過程；模型1和模型2得到的區(qū)間估計(jì)結(jié)果精度更高，即Bootstrap方法占有明顯優(yōu)勢(shì)。

在實(shí)際應(yīng)用中，保守估計(jì)受到更多的關(guān)注，使用可靠度區(qū)間估計(jì)的下限值作為保守估計(jì)值，對(duì)上述3種模型的可靠度保守估計(jì)值進(jìn)行對(duì)比，如圖7所示。

圖7 3種模型的可靠度保守估計(jì)值

從圖7可以看出，模型3和模型1的Bootstrap重抽樣法給出的置信下界過于保守，與實(shí)際情景不符合，且起不到可靠性評(píng)估對(duì)實(shí)際檢修的指導(dǎo)作用。前文已驗(yàn)證模型的保守估計(jì)值對(duì)參數(shù)a的敏感性較大，若想得到更加實(shí)際的估計(jì)結(jié)果，可令a的分布取值趨向于1，但服從某一概率分布，如所選取的a～U(0.5,1)。

綜上，與置信限法可靠度參數(shù)區(qū)間估計(jì)模型相比，所提出的模型精確度更高，且可以根據(jù)由估計(jì)結(jié)果反映先驗(yàn)信息。

4 結(jié)論

(1)針對(duì)無失效數(shù)據(jù)情況，采用貝葉斯方法和參數(shù)Bootstrap法等數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法，對(duì)鐵路貨車轉(zhuǎn)向架的側(cè)架進(jìn)行可靠性評(píng)估。建?？蚣苣軌蛲瑫r(shí)得到可靠度的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)，且保證了估計(jì)的準(zhǔn)確度。

(2)深入討論了壽命分布、超參數(shù)的選擇對(duì)評(píng)估結(jié)果的影響，分析了基于貝葉斯估計(jì)法與參數(shù)Bootstrap法的可靠性評(píng)估的準(zhǔn)確性和適用性，豐富了基于無失效數(shù)據(jù)的可靠性評(píng)估方法。

(3)側(cè)架可靠性評(píng)估計(jì)的結(jié)果，可為后期的零部件維護(hù)維修策略優(yōu)化提供支撐。同時(shí)，該類基于無失效數(shù)據(jù)的可靠性評(píng)估工程應(yīng)用方案，還可以應(yīng)用于鐵路貨車其他具有類似數(shù)據(jù)情形的零部件上。