“轉(zhuǎn)化”和“數(shù)形結(jié)合”思想在解題中的運用

柯建麗 王玉娟

【內(nèi)容摘要】本文首先概括數(shù)學(xué)思想在當今社會和數(shù)學(xué)教學(xué)中所處的地位，然后 結(jié)合自己的教學(xué)實踐，從三方面論述了“轉(zhuǎn)化” 和“數(shù)形結(jié)合”思想在解題中的運用，最后，強調(diào)在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生運用“轉(zhuǎn)化”和“數(shù)形結(jié)合”思想的意義。

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化 數(shù)形結(jié)合 解題

信息社會越來越多地要求人們自覺地運用數(shù)學(xué)思想來提出問題、分析問題、解決問題和評價問題，數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)思想方法的載體，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)新大綱明確指出：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識主要是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公里、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法?！边@是加強數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個列舉，它要求教師在向?qū)W生展示獲取知識、技能及解決問題的思維過程中，力求向他們滲透一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，掌握數(shù)學(xué)最本質(zhì)的屬性，因此在教學(xué)中我有意識地把各種數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、整體思想、類比思想、方程思想、分類思想等，運用于解答數(shù)學(xué)問題中去，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。下面是我在教學(xué)實踐中，培養(yǎng)學(xué)生如何運用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想解題。

一、轉(zhuǎn)化（化歸）思想的運用

化歸思想即轉(zhuǎn)化思想，是一種研究對象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種研究對象的數(shù)學(xué)思想方法，也就是尋找問題的等價形式，溝通已知與未知的聯(lián)系，它是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法之一，也是幾何證明中思路探尋的主要手段，如綜合問題向單一問題的轉(zhuǎn)化，抽象問題向具體問題的轉(zhuǎn)化，正面問題向反面問題的轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化，幾何問題向代數(shù)問題的轉(zhuǎn)化等。轉(zhuǎn)化的目的是使問題的條件集中、明朗，從而使問題得到解決，所以“轉(zhuǎn)化”是問題的手段，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生和訓(xùn)練學(xué)生的轉(zhuǎn)化思維，對于優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生思維的靈活性和獨創(chuàng)性，形成學(xué)生的辨證意識是極其重要的。

1.樹立轉(zhuǎn)化思想

在教學(xué)中，我首先向?qū)W生介紹什么是轉(zhuǎn)化思想，并運用生活中實例或典故，如通過測量影高而確定塔高、曹沖稱象、根據(jù)竿的不同影長來確定季節(jié)和時令等加以解釋，既可給學(xué)生以直觀形象的感覺，又使學(xué)生感受轉(zhuǎn)化思想并非數(shù)學(xué)專有，在現(xiàn)實生活中也有廣闊的背景。

轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng)可分為三個層次，即：初期、中期、后期，就以“方程”的教學(xué)為例，初期即滲透孕育期，向?qū)W生介紹方程是由于社會發(fā)展的需要，人類的進步而產(chǎn)生的，在方程教學(xué)中期即領(lǐng)悟形成期，著重引導(dǎo)學(xué)生把握解一元一次方程的實質(zhì)就是將原方程轉(zhuǎn)化為“X=a”的目標形式，從而認識到轉(zhuǎn)化思想在方程中的重要決策和導(dǎo)向作用。在方程教學(xué)后期，即應(yīng)用發(fā)展期，通過將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為方程問題來解決，進一步提高學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想的認識。通過教學(xué)中的不斷培養(yǎng)，使學(xué)生明確“轉(zhuǎn)化”的真諦，久而久之學(xué)生就能逐步運用轉(zhuǎn)化思想解某些題。

2.運用轉(zhuǎn)化思想解題

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解題到處可見，如初中代數(shù)中，解二元一次方程組是通過加減消元或代入消元法，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，解高次方程是通過分解因式降次，將高次方程轉(zhuǎn)化為一元一次或一元二次方程，解分式方程是通過去分母或換元法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解無理方程是通過兩邊平方或換元法，將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程等;在幾何解題中，引導(dǎo)學(xué)生把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，如通常將證明線段或角相等轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，將證明等積式或比例式轉(zhuǎn)化為證明三角形相似，將正多邊形的有關(guān)計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形，經(jīng)過圖形變換將不在同一個三角形中的線段或角轉(zhuǎn)化成同一個三角形中的線段或角，通過作對角線，將平行四邊形、矩形、菱形轉(zhuǎn)化為三角形，通過作一腰或?qū)蔷€的平行線，將梯形轉(zhuǎn)化為一個平行四邊形和一個三角形，作兩條高線，將梯形轉(zhuǎn)化為矩形和兩個直角三角形，或延長兩腰，將梯形轉(zhuǎn)化為一個三角形，通過補割，將不規(guī)則的平面圖形轉(zhuǎn)化為三角形或特殊的四邊形等。

例1、草原上兩個居民點A、B在河流a的同旁，一汽車從A出發(fā)到B，途中需要到河邊加水，汽車在哪一點加水，可使行駛的路程最短？

首先引導(dǎo)學(xué)生認真閱讀題目，在讀懂題目后，讓學(xué)生思考：上述問題是個什么問題？應(yīng)轉(zhuǎn)化為什么？如何轉(zhuǎn)化？轉(zhuǎn)化后變成什么問題？經(jīng)過認真分析得出，本題是個實際問題，應(yīng)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為幾何作圖問題如下。

已知：線段a和它同側(cè)的兩點A、B

求作：點C，使C在直線a上，并且AC+BC最小

運用轉(zhuǎn)化思想解題，總能把特殊化為一般，未知化為已知，復(fù)雜化為簡單，實際問題化為數(shù)學(xué)問題，在解題中，既培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識，又提高了學(xué)生的思維能力。

3.注意轉(zhuǎn)化的等價性

在解決數(shù)學(xué)問題時，轉(zhuǎn)化不僅是必要的，而且是必須的，但是轉(zhuǎn)化應(yīng)注意條件的變化，即等價性的問題，轉(zhuǎn)化分為“等價轉(zhuǎn)化”和“非等價轉(zhuǎn)化”，等價轉(zhuǎn)化不會影響問題的解決，問題在非等價轉(zhuǎn)化上，其中“非等價轉(zhuǎn)化”應(yīng)有相應(yīng)的補救措施：把多余的去掉，把漏掉的補上，解決這一問題的關(guān)鍵是對轉(zhuǎn)化過程的“非等價性”持以足夠的重視，如解分式方程、無理方程會出現(xiàn)增根，其根本原因是在去分母時，兩邊都乘以最簡公分母或在兩邊平方時，將未知數(shù)的范圍擴大，也就是轉(zhuǎn)化不等價所致，只有通過驗根來補救，從而產(chǎn)生了不適合原方程根的情況，即增根。

二、數(shù)形結(jié)合思想的運用

數(shù)形結(jié)合思想就是通過在數(shù)與形之間建立對應(yīng)關(guān)系，把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)，或者把圖形性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而使幾何問題能用代數(shù)方法來研究，使代數(shù)和幾何模型具有鮮明的直觀性，即通過形中尋數(shù)，數(shù)中尋形的途徑，使問題易解。數(shù)學(xué)家華羅庚曾指出“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)是難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！本褪菍?shù)形結(jié)合思想重要性的高度評價。讓學(xué)生了解這種思想，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

1.樹立數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，首先可運用生活中直觀形象的實例向?qū)W生加以解釋，如高樓大廈的建筑、房屋的裝修、各種車輛的制造與設(shè)計圖紙的數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合的思想在現(xiàn)實生活中比比皆是。

在數(shù)軸的教學(xué)中，讓學(xué)生體會到數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)的，即利用數(shù)軸把抽象的數(shù)與形象的數(shù)軸結(jié)合起來，使每一個數(shù)變得生動、直觀，如數(shù)軸可把任意數(shù)絕對值的代數(shù)定義與幾何意義緊密結(jié)合，即把絕對值的代數(shù)定義用幾何來解釋，并從直觀的幾何圖形中抽象出數(shù)量關(guān)系。函數(shù)及其圖象一章是初中代數(shù)的重點與難點，內(nèi)容較多，且較為復(fù)雜，在平面直角坐標系的教學(xué)中，讓學(xué)生體會到平面直角坐標系上的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的，通過坐標系這座橋梁，把抽象的有序?qū)崝?shù)對與坐標平面上的點聯(lián)系起來，即可使幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，又可使代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題。通過教學(xué)中的不斷培養(yǎng)，使學(xué)生能逐步運用數(shù)形結(jié)合思想解題。

2.運用數(shù)形結(jié)合思想解題

大量的幾何問題的解決離不開代數(shù)運算，而代數(shù)學(xué)科中很多概念、性質(zhì)、公式、公里、定理都有其幾何背景，一些代數(shù)問題可借助于幾何方法解決，如課本勾股定理的證明，是通過做8個全等的直角三角形和三個邊長分別為直角三角形三邊長的正方形，把它們拼成兩個一樣的正方形，通過計算面積相等，從而得證。利用代數(shù)方法解幾何題的也很多，如幾何教科書中對定理“如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似”的證明就是用代數(shù)的方法給出的，這一方法比較直觀自然。還有不少問題通過數(shù)形結(jié)合的方法，使解題過程簡單易解，如可由坐標系中的圖象求函數(shù)的解析式，而由函數(shù)的解析式可畫出函數(shù)的圖象，通過二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，可求出一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根和一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的解集，可以判斷a、b、c及判別式△的符號，而又a、b、c及△的符號可以畫出二次函數(shù)在直角坐標系的大致圖象。

例2、二次函數(shù)有最小值-8，當x≤-1時，y隨x的增大而減小，且-3

由題意結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的頂點坐標是（-1，-8），而-3

例3、中考題，實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)的位置如圖所示，下列說法正確的是：

（A）a、b互為相反數(shù)

（B）b的倒數(shù)大于0

（C）b的絕對值大于0

（D）b大于a

本題從數(shù)軸觀察可知b<-1，即得 │b│ >0，所以本題答案是（C）。此題只要分析圖形后，可立即得出答案，使學(xué)生贏得較多的時間，達到簡潔、迅速的目的。 數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)學(xué)科基本而又重要的思想，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想解題，能充分發(fā)揮形象思維的優(yōu)勢，以數(shù)思形，數(shù)形結(jié)合，既可開辟解題捷徑，又有利用多層次多角度展開思維品質(zhì)的訓(xùn)練，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

3.注意數(shù)形結(jié)合的圖形

利用數(shù)形結(jié)合思想解題，所作圖形只是草圖，由于受作圖習(xí)慣的影響，已知條件的局限，可能會出現(xiàn)作圖誤差過大，而不能準確地反映圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，這樣會左右解題思路，導(dǎo)致出錯或無法解出。

例4、等腰三角形的底角等于15度，腰長為2a，求腰上的高。

此題通過分析可知，該等腰三角形是一個鈍角三角形，腰上的高在其延長線上，若按習(xí)慣畫成銳角等腰三角形，作出腰上的高，則很難解出。

總之，培養(yǎng)科學(xué)的研究方法和思維方法，是素質(zhì)教育的重要內(nèi)容，在幾何教學(xué)中，要使學(xué)生會用歸納、演繹和類比進行推理，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力;在代數(shù)教學(xué)中，不僅要求學(xué)生會根據(jù)法則、公式、性質(zhì)正確地計算，還要重視推理，培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想、想象、逆向思維，通過數(shù)學(xué)解題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想和方法，尤其在初四復(fù)習(xí)階段，要重視代數(shù)與幾何綜合題的講解與訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生運用“轉(zhuǎn)化”和“數(shù)形結(jié)合”思想解題，可開發(fā)他們的智力，培養(yǎng)他們的能力，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的良好途徑。

【參考文獻】

[1]張曉駿. 數(shù)學(xué)教學(xué)中注意對學(xué)生“轉(zhuǎn)化思想”的培養(yǎng) [J]蘇州教育學(xué)院學(xué)報.1998（2）47-48

（作者單位：淄博市臨淄區(qū)雪宮中學(xué)）