一種新的猶豫模糊粗糙近似算子的公理刻畫(huà)

劉 文 米據(jù)生 孫 妍

1(河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 石家莊 050024) 2(北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 北京 100081)

波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak[1]于1982年首次提出粗糙集理論,在其研究中,近似算子的定義主要有2種方法:構(gòu)造性方法和公理化方法.在構(gòu)造性方法中,多以論域上的二元關(guān)系、劃分、覆蓋、鄰域系統(tǒng)、布爾子代數(shù)等作為原始概念,并應(yīng)用這些概念構(gòu)造近似算子.相反地,在公理化方法中,則把一對(duì)抽象的集合值算子作為原始概念,利用一組公理描述上、下近似算子,即首先通過(guò)滿足某些條件的公理形式給定粗糙集代數(shù)系統(tǒng)中的集合算子,其次尋找合適的二元關(guān)系使得由該二元關(guān)系及其生成的近似空間按構(gòu)造性方法導(dǎo)出的近似算子恰好就是由公理方法定義的集合算子.

在對(duì)粗糙集理論研究的過(guò)程中,最早由Lin等人[2]提出了公理化的方法,Yao[3]與Thiele[4]給出了對(duì)于一般關(guān)系和各種特殊關(guān)系下的粗糙近似算子相對(duì)完整的公理刻畫(huà)結(jié)果.Wu等人[5]把一般二元關(guān)系的粗糙近似算子的公理集拓展到無(wú)限論域中.

作為用來(lái)處理模糊性和不確定性知識(shí)的另一種數(shù)學(xué)工具,模糊集理論由美國(guó)控制論專家Zadeh[6]于1965年首次提出,之后粗糙集與模糊集的融合問(wèn)題成為熱門(mén)研究方向[7-8].在模糊粗糙集的研究中,Morsi等人[9]最早使用公理化方法研究模糊近似算子,Yang等人[10]考慮了分別由一般猶豫模糊關(guān)系和串行的、自反的、對(duì)稱的、傳遞的猶豫模糊關(guān)系導(dǎo)出的猶豫模糊粗糙近似算子的公理刻畫(huà)問(wèn)題.Wu等人[11]還給出了對(duì)偶(S,T)-模糊粗糙近似算子的單公理刻畫(huà),Zhang等人[12]給出基于覆蓋的近似算子的公理刻畫(huà),Pang等人[13]基于3類新的L-模糊關(guān)系給出了L-模糊粗糙近似算子的公理刻畫(huà),Pang等人[14]提出了一個(gè)L-模糊近似算子的一般結(jié)構(gòu)和各種類型的L-模糊粗糙集,并用單個(gè)公理刻畫(huà)了每一類L-模糊關(guān)系及其組合對(duì)應(yīng)的L-模糊近似算子.Li等人[15]提出了一種基于模糊鄰域系統(tǒng)的粗糙集模型并從公理化的角度研究了粗糙近似算子.對(duì)于完全分配格L,Sun等人[16]引入了L-模糊上近似算子的概念,給出了L-模糊上近似算子的公理刻畫(huà),并討論了串行的、自反的、一元的和傳遞的L-廣義模糊遠(yuǎn)鄰域系統(tǒng)產(chǎn)生的L-模糊上近似算子的性質(zhì).對(duì)于剩余格L,Wang等人[17]進(jìn)一步研究了L-模糊粗糙集的公理刻畫(huà),并用2種不同的方法研究了L-模糊粗糙上近似算子的單公理刻畫(huà)問(wèn)題.Pang等人[18]針對(duì)L是一個(gè)完備的Heyting代數(shù)的情形,給出了L-粗糙近似算子的一般結(jié)構(gòu).在公理化方法中,證明了分別與串行的、自反的、對(duì)稱的、傳遞的、歐幾里德的等多種L-關(guān)系所生成的每一類L-粗糙近似算子,都可以用一條公理來(lái)刻畫(huà).

在猶豫模糊粗糙集理論研究中,Yang等人[10]提出的模型存在一個(gè)問(wèn)題:2個(gè)猶豫模糊集之間的包含關(guān)系不一定是反對(duì)稱的,即對(duì)任意2個(gè)猶豫模糊集A和B,若A?B且B?A,則不一定有B=A成立.針對(duì)這一問(wèn)題,Zhang等人[19]將Yang的模型進(jìn)行改進(jìn),提出了一種新的猶豫模糊粗糙集模型.本文基于文獻(xiàn)[19]所提出的新模型給出猶豫模糊粗糙近似算子的公理刻畫(huà).

1 基礎(chǔ)知識(shí)

本節(jié)給出猶豫模糊集、猶豫模糊關(guān)系、猶豫模糊粗糙集的相關(guān)概念和性質(zhì).

定義1[10].設(shè)U為非空有限論域,U上的一個(gè)猶豫模糊集定義為A={〈x,hA(x)〉|x∈U},其中hA(x)為x在猶豫模糊集合A中的隸屬函數(shù),即hA(x)是[0,1]中不同值的有限集合,表示U中元素x在猶豫模糊集合A中的可能隸屬度.

方便起見(jiàn),稱hA(x)為猶豫模糊元,U上所有猶豫模糊集構(gòu)成的集合稱為U的猶豫模糊冪集,記為HF(U).

注意到,不同猶豫模糊元中數(shù)值的數(shù)目可能不同,記l(hA(x))表示hA(x)中數(shù)值的個(gè)數(shù),為了方便計(jì)算,給出2點(diǎn)假設(shè):

1)將每個(gè)猶豫模糊元中的元素按遞增順序排列,記為

其中k表示遞增排列后猶豫模糊元中第k個(gè)數(shù)值.

2)為了方便計(jì)算以及合理地對(duì)2個(gè)猶豫模糊元hA(x)與hB(x)進(jìn)行比較,則當(dāng)l(hA(x))≠l(hB(x))時(shí),這2個(gè)猶豫模糊元需要有相同的長(zhǎng)度.令

l=max{l(hA(x)),l(hB(x))}，

并將元素較少的猶豫模糊元進(jìn)行擴(kuò)充,直到l(hA(x))=l(hB(x))=l.在樂(lè)觀準(zhǔn)則下,通過(guò)重復(fù)添加最大值進(jìn)行擴(kuò)充;在悲觀準(zhǔn)則下,通過(guò)重復(fù)添加最小值進(jìn)行擴(kuò)充.

由于文獻(xiàn)[10]中提出的猶豫模糊粗糙集模型中任意2個(gè)猶豫模糊集之間的包含關(guān)系不一定是反對(duì)稱的,然而在經(jīng)典集合理論中任意2個(gè)集合間的包含關(guān)系都滿足反對(duì)稱性.為了彌補(bǔ)這一問(wèn)題,文獻(xiàn)[19]將Yang等人[10]的模型進(jìn)行了改進(jìn),重新定義了2個(gè)猶豫模糊集合間的包含關(guān)系.

定義2.設(shè)U為非空有限論域,A,B為2個(gè)猶豫模糊集,若hA(x)?hB(x),?x∈U,其中

則定義為A?B.

顯然上述包含關(guān)系滿足反對(duì)稱性.

定義3[20].設(shè)U為非空有限論域,稱R∈HF(U×U)為U上的猶豫模糊關(guān)系.

若?x∈U,?y∈U使得hR(x,y)={1},則稱R是串行的;

若?x∈U都有hR(x,x)={1},則稱R是自反的;

若?(x,y)∈U×U都有hR(x,y)=hR(y,x),則稱R是對(duì)稱的;

對(duì)于?x,y,z∈U都成立,則稱R是傳遞的,其中k=1,2,…,l,l=max{l(hR(x,y),l(hR(y,z)),l(hR(x,z))};

若R滿足自反性、對(duì)稱性和傳遞性,則稱R為等價(jià)的猶豫模糊關(guān)系.

基于猶豫模糊元之間新的運(yùn)算法則,文獻(xiàn)[19]提出一種新的猶豫模糊粗糙集模型.在該模型當(dāng)中任意2個(gè)猶豫模糊集之間的包含關(guān)系一定是反對(duì)稱的.

其中

其中?A,B∈HF(U),?ai∈[0,1],i=1,2,…,m,C(a1,a2,…,am)表示取值為{a1,a2,…,am}的猶豫模糊常數(shù)集.

1)猶豫模糊關(guān)系R是串行的

2)猶豫模糊關(guān)系R是自反的

3)猶豫模糊關(guān)系R是對(duì)稱的

4)猶豫模糊關(guān)系R是傳遞的

2 猶豫模糊粗糙近似算子的公理刻畫(huà)

本節(jié)首先給出由一般猶豫模糊關(guān)系導(dǎo)出的猶豫模糊粗糙近似算子的公理刻畫(huà).

其中I為任意索引集.再由性質(zhì)1得：

其次證明必要性.設(shè)猶豫模糊集合算子H滿足(HFU),由H定義U上的猶豫模糊關(guān)系R為

hR(x,y)=hH(1y)(x),?(x,y)∈U×U.

注意到?A∈HF(U),?x∈U,都有：

則?B∈HF(U)根據(jù)定義4可知：

對(duì)于下近似算子的情形,由L定義U上的猶豫模糊關(guān)系R為

hR(x,y)=hL(U-{y})(x),?(x,y)∈U×U.

同時(shí)?A∈HF(U),注意到

即可證明.

證畢.

下面研究由串行的、自反的、對(duì)稱的、傳遞的和等價(jià)的猶豫模糊關(guān)系所生成的猶豫模糊粗糙近似算子的公理刻畫(huà).

因此根據(jù)定理2得：

其次證明必要性.設(shè)H滿足(HFU1),取A=?,根據(jù)(HFU1)則有:

因此:

h(U-H(U))(x)=0?(U-H(U))=?
?U=H(U).

所以:

證畢.

因此根據(jù)定理2得：

其次證明必要性.設(shè)猶豫模糊集合算子H滿足(HFU2),則：

因此H(B)=B∪H(B),這樣B?H(B).

由(HFU2)可知：

因此：

證畢.

其次證明必要性.設(shè)H滿足(HFU3),

取B=1y,A=U則有:

因此hH(1y)(x)=hH(1x)(y).所以

證畢.

?B∈HF(U).因此根據(jù)定理2得:

其次證明必要性.設(shè)猶豫模糊集合算子H滿足(HFU4),則

因此H(B)=H(H(B))∪H(B),這樣

H(H(B))?H(B).

于是:

由(HFU4)可知:

因此:

證畢.

綜合定理4～6并根據(jù)定義3即可得到定理7.

3 猶豫模糊拓?fù)淇臻g的誘導(dǎo)

利用第2節(jié)所給出的各類猶豫模糊粗糙近似算子公理刻畫(huà)的結(jié)論,對(duì)猶豫模糊粗糙近似空間與猶豫模糊拓?fù)淇臻g之間的關(guān)系進(jìn)行研究.由于近似算子的對(duì)偶性,下面僅對(duì)猶豫模糊下近似算子進(jìn)行討論.

推論1.設(shè)U為非空有限論域,R為U上一個(gè)自反且傳遞的猶豫模糊關(guān)系,則有等式成立：

證明.由定理4和定理6可知,R滿足:

(1)

(2)

證畢.

在文獻(xiàn)[19]中已經(jīng)證明了U上一個(gè)自反且傳遞的猶豫模糊關(guān)系R滿足:

其中?Aj∈HF(U),J為索引集.

下面證明U上自反且傳遞的猶豫模糊關(guān)系在U上能誘導(dǎo)一個(gè)猶豫模糊拓?fù)淇臻g.

定理8.設(shè)U為非空有限論域,若R為U上的自反且傳遞的猶豫模糊關(guān)系,則存在U上的一個(gè)猶豫模糊拓?fù)洇覴,使得

由文獻(xiàn)[21]中猶豫模糊拓?fù)涞亩x可知,(U,τR)為猶豫模糊拓?fù)淇臻g只需滿足:

1)C(a1,a2,…,am)∈τR,其中{a1,a2,…,am}?[0,1],C(a1,a2,…,am)表示猶豫模糊常數(shù)集.

2)A∩B∈τR,?A,B∈τR.

證明.

1)由自反性易知該猶豫模糊關(guān)系是串行的,因此

因此C(a1,a2,…,am)∈τR.

因此A∩B∈τR.

證畢.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于文獻(xiàn)[19]所提出的新的猶豫模糊粗糙集模型進(jìn)行研究,得出刻畫(huà)猶豫模糊粗糙近似算子的一種新公理集.并進(jìn)一步解決了分別由串行的、自反的、對(duì)稱的、傳遞的和等價(jià)的猶豫模糊關(guān)系所生成的近似算子的公理刻畫(huà)問(wèn)題.最后應(yīng)用本文結(jié)論證明了由猶豫模糊粗糙近似空間可以誘導(dǎo)出一個(gè)猶豫模糊拓?fù)淇臻g.

本文所給出的猶豫模糊粗糙集的公理化方法比較簡(jiǎn)潔地刻畫(huà)了猶豫模糊粗糙集的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).另外,由于粗糙集理論中的下近似算子和上近似算子與模態(tài)邏輯學(xué)中的必然性算子和可能性算子、拓?fù)淇臻g中的內(nèi)部算子和閉包算子、Dempster-Shafer證據(jù)理論中的信任函數(shù)與似然函數(shù)都有密切聯(lián)系,因此將粗糙集理論推廣到猶豫模糊環(huán)境下,可以揭示猶豫模糊粗糙近似算子更深層次的本質(zhì)特點(diǎn),且為進(jìn)一步探討?yīng)q豫模糊粗糙集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ).