拋物線拱面內(nèi)位移近似解析方法

胡常福，劉科，李漳

(華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院，江西 南昌330013)

拱結(jié)構(gòu)因其外形美觀、承載力及剛度大而在土木工程中廣泛使用[1?2]。拱結(jié)構(gòu)的面內(nèi)線性變形性能，在工程實(shí)踐中使用最為廣泛。圓弧拱的曲率處處相等，易于推演平衡微分方程，針對(duì)各種荷載[3?5]、邊界條件[6?7]及新材料拱[8?9]的面內(nèi)非線性變形性能，學(xué)者們均開展了較好的研究。由于圓弧拱對(duì)應(yīng)的徑向荷載在橋梁工程中應(yīng)用不多，近年來(lái)研究者開始研究直角坐標(biāo)系下拱結(jié)構(gòu)的變形行為。BRADFORD 等[10]最早提出了拋物線兩鉸拱面內(nèi)非線性的解析方法，并進(jìn)行了試驗(yàn)的驗(yàn)證[11]。蔡建國(guó)等[12?13]對(duì)拋物線無(wú)鉸拱的變形行為進(jìn)行了研究，BRADFORD 等[14]在對(duì)拋物線拱面內(nèi)非線性變形解析的精度檢驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)淺拱假設(shè)僅在矢跨比小于1/12.5 才能成立。HU 等[15]提出了一個(gè)包含弧長(zhǎng)項(xiàng)的應(yīng)變解決了這個(gè)問(wèn)題，并得到了組合線拱[16]及連拱[17]面內(nèi)非線性的解析。以上的研究主要集中于拱結(jié)構(gòu)的非線性穩(wěn)定問(wèn)題，而橋梁工程中經(jīng)常使用線性變形的解析，尚未得到有效解決。雖然有限元方法可以較好地計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)力學(xué)的響應(yīng)，但不易形成符合工程師及規(guī)范可接受的實(shí)用公式。本文以拋物線拱的面內(nèi)線性位移為研究對(duì)象，提出了一種高精度的近似解析方法，得到了面內(nèi)豎向位移、水平位移及轉(zhuǎn)角的實(shí)用公式，并通過(guò)有限元方法驗(yàn)證了實(shí)用公式的精確性。

1 拋物線無(wú)鉸拱面內(nèi)位移高精度近似解析

1.1 豎向位移高精度近似解析

在如圖1所示的笛卡爾直角坐標(biāo)系下，拋物線拱的線性應(yīng)變可表示為[15]

圖1 拋物線無(wú)鉸拱面內(nèi)變形Fig.1 In-plane deformation of parabolic fixed arch

式中：εm與εb分別為拋物線拱上任一點(diǎn)處的壓縮應(yīng)變和彎曲應(yīng)變；y*為主拱圈橫截面內(nèi)法線坐標(biāo)；y為拋物線拱的豎向坐標(biāo)，y=[z2- (L/2)2]/(2p)，z為笛卡爾坐標(biāo)系的橫坐標(biāo)，p=L2/(8f)，L與f分別為拋物線拱的跨度和矢高；w與v分別為拋物線拱變形后的水平位移和豎向位移；(·)′ = d(·)/dz，

處于平衡狀態(tài)的拋物線拱，若施加一個(gè)滿足邊界條件的虛位移，則外力在位移上所做的虛功與拱結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的虛應(yīng)變能之和為0，即

式中：δ(·)為(·)的變分；Π 為拱結(jié)構(gòu)的總虛功；E為拱的彈性模量；ε為拋物線拱的總應(yīng)變，ε=εm+εb；V為拋物線主拱圈體積，，A為主拱圈截面面積；q為拱圈上的均布荷載。將式(1)代入式(2)并化簡(jiǎn)，可得

式中：Ix為主拱圈橫截面抗彎慣性矩，基于虛位移δw與δv的任意性，由式(3)可推演出

根據(jù)歐拉伯努利梁與拋物線拱理論[18]可知，-EAεm為主拱圈的軸力N，N(1+y′2)-1/2為拱腳水平推力H。因此，式(4)可以推演得到

將式(6)代入式(5)，可得

將拱軸線方程代入式(7)，可得

式中：?與μ為無(wú)量綱荷載與軸力參數(shù)，其定義為

如式(8)所示的平衡微分方程，雖然形式簡(jiǎn)潔但不能求得顯示解析。為此，將方程左邊分母中的弧長(zhǎng)微分項(xiàng)(1+z2/p2)5/2進(jìn)行泰勒展開，得到如式(10)所示的近似平衡微分方程

拋物線無(wú)鉸拱的邊界可表示為

式(10)在滿足如式(11)所示的邊界下的解為

式中：C1與C2為豎向位移系數(shù)，表示為

式中：α為拋物線拱的矢跨比。

在如式(10)所示的平衡微分方程中，有2 個(gè)未知的參數(shù)μ和?。因此，需要增加一個(gè)方程來(lái)聯(lián)立求解這兩個(gè)參數(shù)。由式(12)計(jì)算的豎向位移，尚需滿足另一個(gè)基本條件：基于式(1)計(jì)算的拋物線無(wú)鉸拱壓縮變形，應(yīng)與根據(jù)式(6)計(jì)算得到的壓縮量相等。該條件可表示為

將拱軸線方程代入式(14)，對(duì)等式兩邊同乘1+y′2化簡(jiǎn)后并積分，可得

對(duì)于拋物線無(wú)鉸拱，式(15)的右邊積分難以得到顯示表達(dá)式。近似積分方法[18?19]將弧長(zhǎng)微分項(xiàng)近似為雙曲余弦函數(shù)，可以得到該類問(wèn)題的實(shí)用解析表達(dá)

式中：a為懸索線拱形系數(shù)；ch(·)為雙曲余弦函數(shù)。將式(9)，(11)，(12)及(16)代入式(15)，可得

式中：sh(·)為雙曲正弦函數(shù)；λ=L/ix，為拋物線拱的長(zhǎng)細(xì)比；為主拱圈截面的回轉(zhuǎn)半徑。?系數(shù)的具體數(shù)值，如表1 所示。為推導(dǎo)拱腳處水平反力的表達(dá)式，式(9)可以重寫為

表1 拋物線無(wú)鉸拱?系數(shù)Table 1 Parameter ? of fixed parabolic arches

將式(17)及(18)代入式(12)，可得拋物線無(wú)鉸拱豎向位移的表達(dá)式為

從而，拱頂豎向位移vc可表示為

式中：Cv為拋物線無(wú)鉸拱拱頂豎向位移系數(shù)，其表達(dá)式如式(21)所示，具體數(shù)值如表2所示。

表2 拋物線無(wú)鉸拱位移系數(shù)Table 2 Deformation coefficients of fixed parabolic arches

1.2 水平位移高精度近似解析

對(duì)式(1)中壓縮應(yīng)變?chǔ)舖的等式兩邊同乘1+y′2，再對(duì)兩邊進(jìn)行積分，可得拋物線拱水平位移為

將式(9)及(6)代入式(22)，可得

將式(11)、(18)及(19)代入式(23)，可得

拋物線無(wú)鉸拱的水平位移一般在跨徑四分點(diǎn)附近達(dá)到最大，因此四分點(diǎn)處的水平位移有較大的工程參考價(jià)值。由式(24)可得

式中：Cwa和Cwb為拋物線無(wú)鉸拱四分點(diǎn)水平位移系數(shù)，其表達(dá)如式(26)所示，具體數(shù)值如表2所示。

1.3 轉(zhuǎn)角變形高精度近似解析

如圖2 所示，拋物線拱上任意點(diǎn)A的切線與水平方向的夾角為φ，在外荷載作用下點(diǎn)A發(fā)生了轉(zhuǎn)角θ。因此，變形后A′點(diǎn)的夾角變?yōu)棣?θ。由變形前后的幾何關(guān)系，可得

圖2 弧微元變形示意圖Fig.2 Deformation of infinitesimal curve arc differential element

根據(jù)三角函數(shù)和差公式，轉(zhuǎn)角的正切值可表示為

將式(27)代入式(28)，可得

在線性小變形條件下，拱結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角θ是一個(gè)無(wú)窮小量，θ≈tanθ成立；水平位移遠(yuǎn)小于微元水平方向長(zhǎng)度，w′<< 1 成立；豎向位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于拱軸坐標(biāo)，y′v′<< 1+y′2成立。基于以上假定，式(29)可簡(jiǎn)化為

將式(19)代入式(30)，可得到拋物線無(wú)鉸拱轉(zhuǎn)角變形的解析表達(dá)式為

拋物線無(wú)鉸拱轉(zhuǎn)角變形的最大值一般在跨徑四分點(diǎn)處附近。因而，四分點(diǎn)處轉(zhuǎn)角有較大的工程參考價(jià)值。由式(31)可得

式中：Cθ為拋物線無(wú)鉸拱四分點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移系數(shù)，其表達(dá)如式(33)所示，具體數(shù)值如表2所示。

2 算例驗(yàn)證

以一跨徑為150 m 的拋物線無(wú)鉸拱為算例，來(lái)驗(yàn)證本文提出的面內(nèi)位移高精度近似解析。該無(wú)鉸拱矢跨比f(wàn)/L= 1/5，長(zhǎng)細(xì)比λ= 120；主拱面積A= 0.866 m2，截面慣性矩Ix= 1.3532 m4；主拱圈材料的彈性模量E= 210 GPa，泊松比υ= 0.2。

拱上所受均布荷載q=200 kN/m，根據(jù)文獻(xiàn)[15]的研究成果，在該荷載作用下拋物線無(wú)鉸拱仍處于彈性階段，不會(huì)出現(xiàn)面內(nèi)非線性現(xiàn)象及屈曲問(wèn)題。

采用有限元軟件ANSYS 建立如圖3 所示的有限元模型。該模型含有500 個(gè)BEAM4 梁?jiǎn)卧?，?jié)點(diǎn)沿水平坐標(biāo)均勻分布，在節(jié)點(diǎn)上施加相同的節(jié)點(diǎn)力用以模擬均布荷載；為防止拱發(fā)生面外變形，約束了所有節(jié)點(diǎn)的面外自由度；并在拱腳處約束所有自由度以模擬固結(jié)。分別提取有限元數(shù)值結(jié)果中的各節(jié)點(diǎn)面內(nèi)豎向位移、水平位移及轉(zhuǎn)角變形，并與本文解析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，兩者對(duì)比結(jié)果如圖4及表3所示。

圖3 有限元模型Fig.3 Details of finite element formulation

由圖4 及表3 可以看出，本文提出的近似解析解均與有限元結(jié)果吻合較好。其中，豎向位移誤差最小，拱頂處豎向位移相對(duì)誤差為0.54%，具有較高的精度；轉(zhuǎn)角變形次之，四分點(diǎn)處轉(zhuǎn)角變形相對(duì)誤差為4.70%，滿足實(shí)際工程使用的要求；水平位移總體吻合較好，在極值處有一定的誤差，四分點(diǎn)處水平位移相對(duì)誤差為8.73%，考慮到水平位移的量級(jí)約為跨徑的1/10 000，該近似解析已滿足工程實(shí)際使用的精度要求。造成水平位移與轉(zhuǎn)角變形產(chǎn)生誤差的根本原因是，為得到具有解析表達(dá)的面內(nèi)位移結(jié)果，采用了如式(1)所示的簡(jiǎn)化彎曲變形表達(dá)式，忽略了其中的水平位移項(xiàng)，進(jìn)而造成了水平位移及轉(zhuǎn)角變形的誤差。

圖4 近似解析精度驗(yàn)證Fig.4 Verification of proposed analytical solutions

表3 面內(nèi)位移極值比較Table 3 Comparisons of maximum magnitudes of in-plane deformation

由面內(nèi)位移的解析表達(dá)式可以看出，矢跨比與長(zhǎng)細(xì)比是拋物線無(wú)鉸拱面內(nèi)位移的2個(gè)重要影響參數(shù)。為此，以上述算例為基礎(chǔ)，調(diào)整其中的矢跨比與長(zhǎng)細(xì)比(如表4 所示)，用以在更大范圍內(nèi)校驗(yàn)本文近似解析的精度?；谶@些參數(shù)，分別使用本文近似解析與有限元方法計(jì)算拋物線無(wú)鉸拱的面內(nèi)位移。2 種方法計(jì)算的拱頂豎向位移、四分點(diǎn)水平位移與轉(zhuǎn)角變形結(jié)果對(duì)比，如圖5 與圖6所示。

表4 比選參數(shù)范圍Table 4 Parameter ranges of verification

由圖5與圖6可以看出，在矢跨比1/3～1/10及長(zhǎng)細(xì)比40～200的大范圍內(nèi)，本文近似解析得到的拋物線無(wú)鉸拱面內(nèi)位移均與有限元結(jié)果吻合較好，表明本文方法具有較好的精度。

圖5 不同矢跨比下面內(nèi)位移比較Fig.5 Comparisons of different rise-to-span ratios

圖6 不同長(zhǎng)細(xì)比下面內(nèi)位移比較Fig.6 Comparisons of different slenderness

3 結(jié)論

1) 本文提出的近似解析方法，可得到拋物線無(wú)鉸拱面內(nèi)位移的高精度近似解析。

2) 矢跨比與長(zhǎng)細(xì)比，是拋物線無(wú)鉸拱面內(nèi)位移的重要影響參數(shù)。

3) 提出的拋物線無(wú)鉸拱拱頂豎向位移、四分點(diǎn)水平位移及轉(zhuǎn)角變形解析表達(dá)式，滿足橋梁工程實(shí)際使用的精度要求。