對(duì)解題教學(xué)中數(shù)學(xué)直覺的價(jià)值及培養(yǎng)途徑的思考

楊元韡 耿曉華

(1.江蘇省常州高級(jí)中學(xué)213003；2.常州市北郊高級(jí)中學(xué)213031)

直覺通常理解為人的大腦不經(jīng)演繹、不經(jīng)推理就能立即感知的事實(shí).數(shù)學(xué)直覺思維是具有意識(shí)的人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象(結(jié)構(gòu)及其關(guān)系)的某種直接的領(lǐng)悟和洞察.數(shù)學(xué)直覺思維是一種非邏輯思維活動(dòng)，是一種由下意識(shí)(潛意識(shí))活動(dòng)參與，不受固定邏輯約束，由思維主體自覺領(lǐng)悟事物本質(zhì)的思維活動(dòng).[1]

數(shù)學(xué)直覺思維與數(shù)學(xué)邏輯思維是數(shù)學(xué)思維的兩種方式.中學(xué)數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其是解題教學(xué)中重視邏輯思維而輕視直覺思維的現(xiàn)象還是比較普遍的.事實(shí)上，數(shù)學(xué)直覺思維和數(shù)學(xué)邏輯思維都有其自身的價(jià)值.歷史上，數(shù)學(xué)家Weyl評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)家Hilbert：他就像一條嗅覺靈敏的狗，能夠敏銳地發(fā)現(xiàn)哪里有骨頭，并且奮不顧身地?fù)渖先? 這句話形象地說明數(shù)學(xué)直覺的重要價(jià)值，即數(shù)學(xué)直覺可以幫助我們從紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)某些有規(guī)律的東西，讓我們能夠“大膽猜測”.而數(shù)學(xué)邏輯思維可以幫助我們對(duì)“大膽猜測”的結(jié)論進(jìn)行“小心求證”.在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)尤其是解題教學(xué)中，如果不能兼顧數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)，很難說學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)能真正得到提升，更不能說這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)能為今后從事科學(xué)研究(如果有可能的話)奠定基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分.如果教師在解題教學(xué)中，常常引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地將數(shù)學(xué)直覺運(yùn)用到數(shù)學(xué)解題中去，往往能起到較好的效果.這樣做的目的并不是帶著功利的思想讓學(xué)生僅僅學(xué)會(huì)“猜結(jié)論”，而是讓學(xué)生先利用數(shù)學(xué)直覺，通過觀察、聯(lián)想、類比、比較、分析等形成“大膽的猜測”，再用數(shù)學(xué)邏輯思維進(jìn)行“小心求證(計(jì)算)”，最后對(duì)根據(jù)數(shù)學(xué)直覺得到的“大膽的猜測”進(jìn)行證明或者證偽，形成“猜——證——驗(yàn)(指驗(yàn)證猜想)”(甚至是“猜——證——驗(yàn)——新的猜——證——驗(yàn)……”)的一個(gè)(或多個(gè))完整的“閉環(huán)”，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家思考和解決數(shù)學(xué)問題的方式，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 對(duì)數(shù)學(xué)直覺在解題中的價(jià)值的思考

1.1 利用數(shù)學(xué)直覺猜測問題結(jié)論

數(shù)學(xué)直覺的重要價(jià)值之一在于能從紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律或結(jié)論.在解決一些數(shù)學(xué)問題，尤其是解決一些選擇題或填空題等客觀題中，運(yùn)用數(shù)學(xué)直覺有時(shí)很容易猜測結(jié)論.這里要注意的是，不能有完全依靠猜測的傾向，否則數(shù)學(xué)問題本身蘊(yùn)含的規(guī)律或本質(zhì)得不到體現(xiàn)，也就失去了其應(yīng)有的價(jià)值.

教學(xué)案例1——片段1

(2012年高考題江蘇卷第12題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是．

例題展示幾分鐘后，筆者巡視學(xué)生的解答情況，發(fā)現(xiàn)平時(shí)基礎(chǔ)較弱的學(xué)生A得出了正確結(jié)論，筆者讓他談一談想法.

生A：如圖，只要點(diǎn)C到直線y=kx-2的距離為2就可以了.

師：為什么？

生A：過點(diǎn)C作直線y=kx-2的垂線，垂足為M，以M為圓心1為半徑的圓與圓C外切即可.直覺上是這樣的，但是說不清楚.

師：嗯，你的直覺是對(duì)的，非常好！請(qǐng)坐.

教學(xué)案例2——片段1

(2018年高考題全國卷1第12題)已知正方體的棱長為1，每條棱所在的直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為( ).

師：能否找到這樣的一個(gè)平面α？如果能，作出這個(gè)平面截正方體所得的截面.

生B：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△A1C1D就是滿足條件的一個(gè)截面.

師：嗯，很好，我們曾經(jīng)證明過這個(gè)事實(shí).還有嗎？

生B：類似地還有△AB1D1等，應(yīng)該每個(gè)頂點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)三角形截面.

師：截面都是三角形嗎？還有嗎？

生C：與平面A1C1D平行的截面都可以，還可以是六邊形.

師：你能作出面積盡可能大的六邊形截面嗎？可以猜測一下面積最大的截面的位置.

生C：如圖，我覺得若取正方體的六條棱的中點(diǎn)M,N,P,Q,R,S，并把它們順次連起來得到一個(gè)正六邊形MNPQRS.這個(gè)正六邊形應(yīng)該是面積最大的截面.

師：這六個(gè)中點(diǎn)一定共面嗎？

生：共面，先前我們做過一個(gè)作圖題，即過正方體中給定的三條棱的中點(diǎn)作出截面的習(xí)題，最后的截面就是這樣的正六邊形截面.

師：很好，那為什么正六邊形截面的面積最大呢？

生C：當(dāng)與平面A1C1D平行的平面從△A1C1D的位置，平行移動(dòng)到△AB1C的過程中，截面的面積先變大再變小，很明顯△A1C1D與△AB1C面積相等的，所以我覺得“中間”位置的截面面積最大.

師：很好，你的直覺是正確的！雖然道理還沒能夠講清楚，但已經(jīng)很不容易了！

說明：通過前面的兩個(gè)案例的片段，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生完全能利用直覺猜想出相應(yīng)的結(jié)論，但都不能用演繹的方式證明相應(yīng)的結(jié)論，這說明數(shù)學(xué)直覺思維是一種非邏輯的思維方式，具有一定的或然性，明顯的猜測性.在這兩個(gè)案例片段中，數(shù)學(xué)直覺思維的目的在于迅速找到結(jié)論，提出猜想，而不在于論證這個(gè)猜想.

1.2 利用數(shù)學(xué)直覺誘發(fā)數(shù)學(xué)聯(lián)想

在利用數(shù)學(xué)直覺發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論后，這些結(jié)論很多情況下會(huì)誘發(fā)學(xué)生自覺地、有目的地產(chǎn)生數(shù)學(xué)聯(lián)想，聯(lián)想到這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的變形形式或者與之關(guān)聯(lián)的另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，從而可能為邏輯地解決這個(gè)問題提供某些“雛形”，或不嚴(yán)密但很形象的解釋.

教學(xué)案例1——片段2

師：剛才生A已經(jīng)猜想出結(jié)論，哪位同學(xué)還有其他的見解？

生D：因?yàn)橹本€y=kx-2過定點(diǎn)(0,-2)，要使k最大，可以將直線y=kx-2繞著點(diǎn)(0,-2)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至與圓C“最近”的圓M與之外切即可，如果按逆時(shí)針再旋轉(zhuǎn)，“最近”的圓M與之外離，就不符合條件了.因此，只需點(diǎn)C到直線y=kx-2的距離小于或等于2即可.

師：很好！生D從旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)的角度解釋了這個(gè)結(jié)論，很好.還有嗎？

生E：如圖，我作出了以直線y=kx-2上的點(diǎn)為圓心的很多個(gè)單位圓，發(fā)現(xiàn)這些單位圓會(huì)“掃過”與直線y=kx-2平行，且與它距離均為1的兩條直線m,n之間的每一個(gè)點(diǎn)，所以只要點(diǎn)C與圖中的直線m有公共點(diǎn)即可，也就是要求點(diǎn)C到直線m的距離小于或等于1，換句話說，也就要求點(diǎn)C到直線y=kx-2的距離小于或等于2.

說明：兩位學(xué)生在生A由直覺得到的結(jié)論啟發(fā)下，分別聯(lián)想到兩種動(dòng)態(tài)的過程，一種是直線繞定點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，另一種是圓心在定直線上的動(dòng)圓掃過帶形區(qū)域，得出了這兩個(gè)形象的解釋.這兩種解釋都得出了點(diǎn)C到直線y=kx-2的距離小于或等于2，這比生A的“靜態(tài)”的特殊情形更為深入，也更容易理解.

1.3 利用數(shù)學(xué)直覺引領(lǐng)邏輯推理

實(shí)踐表明，學(xué)生并不滿足于通過數(shù)學(xué)直覺得到的結(jié)論，對(duì)于問題的本質(zhì)仍會(huì)懷有強(qiáng)烈的好奇心與求知欲，所以由數(shù)學(xué)直覺得到的結(jié)論還是需要通過邏輯推理證明或者證偽的.在一些問題的解決中，數(shù)學(xué)直覺可以引領(lǐng)邏輯推理，讓邏輯推理有目標(biāo)方向、方式手段，也可能直接從利用直覺發(fā)現(xiàn)的結(jié)論那里得到一些有用的啟發(fā).

教學(xué)案例1——片段3

師：前面兩位同學(xué)得出了：點(diǎn)C到直線y=kx-2的距離小于或等于2.能否從題干中的圓與圓的位置關(guān)系條件得到這個(gè)結(jié)論嗎？

生F：若直線存在點(diǎn)P，使得單位圓P與單位圓C有公共點(diǎn)，兩圓有公共點(diǎn)等價(jià)于0≤PC≤2，即PC≤2.而PC≤2等價(jià)于點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi).因此，點(diǎn)P既在直線y=kx-2，又在以點(diǎn)C為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi)，所以點(diǎn)C到直線y=kx-2的距離小于或等于2.(掌聲……)

教學(xué)案例2——片段2

師：其他的六邊形截面有什么特征呢？可以從前面的正六邊形入手考慮.

生G：如圖，我們還可以作出六邊形截面M1N1P1Q1R1S1，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可以知道M1N1∥Q1R1，N1P1∥R1S1，P1Q1∥S1M1.

師：很好，還有其他特征嗎？

生H：每個(gè)內(nèi)角都是120°，因?yàn)檫@個(gè)六邊形截面與前面的正六邊形MNPQRS截面平行，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有M1N1∥MN，N1P1∥NP，等等.

生J：可以看成一個(gè)大的正三角形的三個(gè)“角”分別裁去三個(gè)全等的小正三角形.

師：很好！我們已經(jīng)挖掘了這個(gè)六邊形截面的一些特征，其面積最大值應(yīng)該是可以求的.

(注：以下可利用函數(shù)的方法或解三角形的方法求六邊形截面的最大值，其最大值恰是生C所猜想的正六邊形的面積，具體過程略)

說明：教學(xué)案例1的片段3中，利用直覺猜想的結(jié)論，誘發(fā)的數(shù)學(xué)聯(lián)想得出的形象解釋的基礎(chǔ)上，得出了原條件的充要條件為點(diǎn)C到直線y=kx-2的距離小于或等于2，并引導(dǎo)學(xué)生以這個(gè)充要條件為目標(biāo)，對(duì)圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，給出的邏輯的解讀.教學(xué)案例2的片段2中，教師引導(dǎo)學(xué)生從直覺猜想得出的正六邊形的特征得到啟發(fā)，利用面面平行的性質(zhì)定理等不斷挖掘一般六邊形截面的特征，從而使得問題得到邏輯地解決.

1.4 利用數(shù)學(xué)直覺檢驗(yàn)問題結(jié)論

在解題過程中，利用數(shù)學(xué)直覺有可能發(fā)現(xiàn)解答結(jié)論出現(xiàn)的錯(cuò)誤、疏漏或不符合條件的部分，可以讓學(xué)生反思自己的解題過程，幫助查找原因，糾正錯(cuò)誤，補(bǔ)充疏漏的部分，舍去不符合條件的部分.

生L：不對(duì)，根據(jù)條件我感覺β，α-β都是唯一確定的角，所以2α-β應(yīng)該只有1個(gè)值，不可能有3個(gè)值.

師：很好，大家看看究竟是哪一個(gè)值，怎么確定這個(gè)值？(以下過程略)

說明：本案例表明，數(shù)學(xué)直覺在某些條件下可以幫助我們糾正解題的錯(cuò)誤，例如上面案例中生L在沒有進(jìn)行具體運(yùn)算的條件下發(fā)現(xiàn)了生K的解題中的錯(cuò)誤.

2 對(duì)在解題教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺的培養(yǎng)途徑的思考

2.1 合理利用課堂教學(xué)提示語，促進(jìn)學(xué)生整體的直覺感知

解題教學(xué)不應(yīng)也不可能是純粹的邏輯教學(xué)，數(shù)學(xué)直覺的因素或多或少參與其中.為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)問題的整體的直覺感知，教師可以適時(shí)地、合理地使用一些課堂教學(xué)提示語，如“請(qǐng)大家猜一猜”，“請(qǐng)大家估一估”，“你覺得結(jié)果是什么？”等.靈活地運(yùn)用這些教學(xué)提示語在一定程度上反映出教師積極的教育觀與教學(xué)觀，即堅(jiān)持以人為本的教育理念，充分發(fā)揮啟發(fā)式教學(xué)的積極作用，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的觀察能力、分析能力、比較能力等，而不是簡單地告之或灌輸，一味地讓學(xué)生進(jìn)行機(jī)械地模仿與記憶.筆者努力嘗試?yán)谜n堂教學(xué)提示語進(jìn)行解題教學(xué)，例如在教學(xué)案例2中的“你能作出面積盡可能大的六邊形截面嗎？可以猜測一下面積最大的截面的位置”等，主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直覺感知“面積最大截面的位置”.當(dāng)學(xué)生的直覺得到的結(jié)論即“正六邊形截面的面積最大”得到證實(shí)時(shí)，學(xué)生心中是喜悅的.長期堅(jiān)持這樣做，可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感、態(tài)度、意志等非智力因素，讓這些因素發(fā)揮積極作用，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.

2.2 積極關(guān)注解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，形成學(xué)生強(qiáng)力的直覺引擎

觀察、聯(lián)想、對(duì)比、分析等都是學(xué)生解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，這些環(huán)節(jié)為直覺的產(chǎn)生提供了強(qiáng)有力的動(dòng)力.觀察是解題過程的信息輸入環(huán)節(jié)，是容易產(chǎn)生較為初級(jí)的直覺的環(huán)節(jié)，例如在案例1的片段1中，學(xué)生通過觀察環(huán)節(jié)就能得出相應(yīng)的結(jié)論.而聯(lián)想與直覺往往是相伴相隨，相互交融的，直覺誘發(fā)聯(lián)想，聯(lián)想又可能會(huì)促進(jìn)更高層次的直覺的產(chǎn)生，例如在案例2的片段2中學(xué)生能從三角形截面出發(fā)，聯(lián)想到做過的作正六邊形截面的習(xí)題，從而產(chǎn)生新的直覺，即正六邊形截面面積可能是最大的.對(duì)比與分析同樣可以產(chǎn)生較高層次的直覺.例如在案例2的片段2中，學(xué)生能從平行截面的起止位置面積相等這個(gè)基本事實(shí)出發(fā)，通過對(duì)比與分析，感受到平面連續(xù)平移過程中的截面具有“對(duì)稱”的特點(diǎn)，就更確信正六邊形截面面積是最大的.這幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)作為直覺的強(qiáng)力的引擎，需要教師積極關(guān)注，需要教師在解題教學(xué)中多給一點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生能夠適度展開.

2.3 善于積累豐富的數(shù)學(xué)模型，擴(kuò)充學(xué)生必要的直覺儲(chǔ)備

數(shù)學(xué)直覺的產(chǎn)生需要源泉.很難想象，沒有任何數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備尤其是常用的數(shù)學(xué)模型的儲(chǔ)備的學(xué)習(xí)主體，會(huì)有很好的數(shù)學(xué)直覺，會(huì)得出好的數(shù)學(xué)猜想.常見的數(shù)學(xué)模型的是產(chǎn)生直覺的重要的基礎(chǔ)與源泉.這里所說的數(shù)學(xué)模型，是廣義的數(shù)學(xué)模型，可能是經(jīng)典的圖形，可能是重要的公式等等.例如在案例2的片段1中，筆者曾與生B交流過，生B坦言，他能在正方體ABCD-A1B1C1D1中迅速找到一個(gè)符合條件的截面△A1C1D，這與筆者課堂上曾經(jīng)對(duì)這個(gè)經(jīng)典圖形(即2012版蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書必修2封面上的圖形)所作的解讀有關(guān).這表明，平時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生積累的一些數(shù)學(xué)模型，包括經(jīng)典的圖形，經(jīng)典的問題等等，很可能就會(huì)成為學(xué)生直覺產(chǎn)生的知識(shí)儲(chǔ)備.值得提醒的是，我們不能走極端，不能過分地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)模型及其重要性，應(yīng)竭力避免學(xué)生生搬硬套數(shù)學(xué)模型.

2.4 精心選擇入口寬的好問題，引導(dǎo)學(xué)生多維的直覺表征

精心選擇那些入口寬，解法多樣的優(yōu)質(zhì)例題，并以此為載體展開教學(xué)，可以引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)維度對(duì)問題本身進(jìn)行直覺表征.只有數(shù)學(xué)問題本身的內(nèi)在表征具有多元的形式，學(xué)生才有可能從多角度、多方面直覺地理解這個(gè)數(shù)學(xué)問題.數(shù)學(xué)問題的多元表征往往表示不同的意義，而不同的學(xué)生的思維往往傾向于某種類型的直覺敏感性.讓不同的學(xué)生表達(dá)對(duì)同一數(shù)學(xué)問題，可能會(huì)有不同的表征，適當(dāng)創(chuàng)設(shè)條件就有可能將不同的表征進(jìn)行相互比較或相互轉(zhuǎn)化，以達(dá)到簡單明晰，易于理解的目的.這樣的過程，有利于學(xué)生間的思維的碰撞、交流與共享，形成更為豐富的、多維的直覺表征經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在更為廣闊的視域下理解問題與解決問題.例如，案例1中的問題入口非常寬，除了前面的一些解法外，還可以用代數(shù)的解法，即設(shè)出圓心的坐標(biāo)(t,kt-2)，利用兩圓有公共點(diǎn)，得出關(guān)于t的一元二次不等式有解求參數(shù)k的取值范圍問題.通過這個(gè)問題的一題多解，讓學(xué)生從各個(gè)角度考慮得出問題的不同表征再給出各種解法，起到以一當(dāng)十的效果.實(shí)踐表明，解題教學(xué)的效果并不完全取決于題目的多寡，而更在于選題的典型與精致.

結(jié)語數(shù)學(xué)直覺作為一種高級(jí)心理活動(dòng)，其產(chǎn)生的機(jī)制仍有很多不可解釋的地方，這應(yīng)是心理學(xué)研究的范疇，并不是一線數(shù)學(xué)教師研究的.而數(shù)學(xué)直覺在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，尤其在數(shù)學(xué)解題中，有著不可替代的價(jià)值，本文只是粗淺地談了其中的幾點(diǎn)，以拋磚引玉.當(dāng)然，數(shù)學(xué)教育工作者尤其是數(shù)學(xué)教師更應(yīng)該關(guān)注的是學(xué)生數(shù)學(xué)直覺的培養(yǎng)，并將這個(gè)培養(yǎng)的過程寓于每一節(jié)數(shù)學(xué)課，落實(shí)到具體的教學(xué)環(huán)節(jié)中去.