結(jié)構(gòu)化單元教學在初中數(shù)學教學中的實踐 ①——以《菱形、矩形、正方形(1)》為例

陳 艷 徐明悅

(1.江蘇省鹽城景山中學 224000；2.江蘇省鹽城市教育局教科院 224000)

1 前言

在平時的教學中，一線教師經(jīng)常會出現(xiàn)一種困惑，學生每節(jié)課的知識掌握效果很好，但時間一長，學習的內(nèi)容就會遺忘；而知識一綜合，或遇到新的問題時，常常就會束手無策.通過調(diào)查研究，我們發(fā)現(xiàn)這與平時單課時的教學有著密切的關系.單課時逐個知識點的學習使得知識處于零散的、碎片化的狀態(tài).這種“碎片化的教學”導致學生缺乏對知識的整體感知，缺少對數(shù)學本質(zhì)的理解和對知識形成過程的探究.學習更多的是知識點的堆積，題目的僵化訓練，而能力和素養(yǎng)得不到提升.

如何通過數(shù)學教學更好地規(guī)劃學生素養(yǎng)的發(fā)展，這已經(jīng)是一線數(shù)學教師亟待解決的問題．教育心理學家布魯納認為：“教學，其任務就是闡述學科的結(jié)構(gòu)”.認知心理學家奧蘇泊爾認為，知識的總框架能夠為學習者后續(xù)的學習提供導航，能幫助學習者形成良好的知識結(jié)構(gòu).他們都認為學科結(jié)構(gòu)的教學，有利于學習者的理解，有利于知識的內(nèi)化和遷移，更便于素養(yǎng)的發(fā)展.《義務教育數(shù)學課程標準(2011版)》指出：“數(shù)學知識的教學，要注重知識的‘生長點’和‘延伸點’，把每堂教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，引導學生感受數(shù)學的整體性”.而崔允漷教授指出“新高考、新課標背景下的‘新教學’.新教學，新在哪里？其中有一點就是素養(yǎng)本位的單元設計.”

所謂單元教學，是將教材、活動等劃分為完整單元進行教學的一種教學法.每個單元均有規(guī)定的學習目標和內(nèi)容，其目的在于改變偏重零碎知識和記憶文字符號的教學，強調(diào)學生手腦并用獲得完整的知識和經(jīng)驗.結(jié)構(gòu)化單元教學遵循整體系統(tǒng)的思想，重組或整合學習內(nèi)容，借助結(jié)構(gòu)，讓學生經(jīng)歷知識的形成過程，感知知識的本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系.它是以提高學生整體認識事物能力與提升整體思維為目的，以促進學生學科核心素養(yǎng)為發(fā)展目標的教學.結(jié)構(gòu)化單元教學與現(xiàn)在提倡的培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)不謀而合，是新一輪課改的必然趨勢.本文就以“菱形、矩形、正方形(1)”為例，談談如何在初中數(shù)學教學中實施結(jié)構(gòu)化單元教學.

2 已有學習基礎

在學習本節(jié)課之前，學生已經(jīng)通過“幾何圖形初步”這一章的學習，經(jīng)歷了直線、射線、線段和角等最基本幾何圖形的研究，接著又系統(tǒng)學習了三角形，平行四邊形.學生通過直觀感知、理性分析獲得對相應概念的認知，并由此積累了一定的幾何圖形的研究經(jīng)驗，在直觀想象、邏輯推理、數(shù)學抽象等素養(yǎng)上已經(jīng)得到了一定的培養(yǎng).

2.1 關于三角形的研究

三角形是非常重要的幾何圖形，它是研究其他幾何圖形不可或缺的基礎.單個三角形的研究，學生經(jīng)歷了如下過程.

(1)三角形的概念

首先通過生活中的實例抽象，概括出三角形的定義，學會用符號表示三角形及其組成元素，并以要素的特征與關系為標準，對三角形進行分類，從而形成了完整的三角形的概念.

(2)三角形的性質(zhì)

抽象出概念后，接著從定義出發(fā)研究了三角形的性質(zhì)， 包括三角形的基本要素之間的關系：邊的關系，角的關系；三角形相關要素之間的關系：外角與內(nèi)角關系，外角之間的關系，中線、高、角平分線之間的定性關系等.

(3)特殊三角形的相關知識

發(fā)現(xiàn)有價值的“特例”是深刻理解研究對象的重要一環(huán).在一般三角形的基礎上，分別考慮邊或角特殊化，得到等腰三角形和直角三角形.研究它們具有的不同于一般三角形的特殊性質(zhì).分別按照“定義-性質(zhì)-判定-應用”這樣的路徑進行研究.初步積累了對幾何對象“特例”研究的經(jīng)驗，往往從“要素或要素關系的特殊化”入手.

2.2 關于平行四邊形的研究

平行四邊形屬于特殊的四邊形，應該要研究它的概念、性質(zhì)、判定.平行四邊形性質(zhì)的研究從它自身的要素關系展開，包含了邊、角、對角線之間的數(shù)量關系、位置關系等.

歸納起來，學生已經(jīng)初步形成了幾何圖形的研究套路：概念-性質(zhì)(判定)-特例(概念-性質(zhì)-判定)，了解了幾何圖形的概念通常包含定義、表示、分類這三個方面，幾何圖形的性質(zhì)通常是其組成要素之間的相互關系等.

從上述分析看，在三角形和平行四邊形的學習中，可以通過教師的教學設計，引導學生逐步學會有邏輯的思考，不斷積累數(shù)學活動經(jīng)驗，從單元視角整體領會知識，初步構(gòu)建幾何圖形的研究結(jié)構(gòu)，體驗研究過程，感悟研究方法等，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

3 “菱形、矩形、正方形(1)”的教學設計研究

蘇教版教材八年級下冊第九章中心對稱圖形—平行四邊形中的“菱形、矩形、正方形”是第4節(jié)內(nèi)容，分5個課時.分別是菱形的性質(zhì)、菱形的判定、矩形的性質(zhì)、矩形的判定、正方形的性質(zhì)與判定.

我們從單元教學的角度，把第4節(jié)作為本章的一個小單元，對內(nèi)容進行重新整合，課時總數(shù)不變.第一課時是菱形、矩形、正方形的性質(zhì)探究，第二課時是菱形、矩形、正方形性質(zhì)的應用.第三課時是菱形、矩形、正方形判定的研究，第四課時是菱形、矩形、正方形判定的應用，第五課時是菱形、矩形、正方形的小結(jié)與思考.

小單元中的第一課時選擇采用結(jié)構(gòu)化思想整體設計菱形、矩形、正方形的性質(zhì).這節(jié)課的設計分為五個板塊：(1)復習回顧三角形的研究路徑和相關知識結(jié)構(gòu)圖，復習平行四邊形性質(zhì)以及研究的角度；(2)類比得出菱形和矩形的概念，并初步形成特殊平行四邊形的結(jié)構(gòu)圖；(3)采用結(jié)構(gòu)化思維探究菱形的性質(zhì)；(4)類比探究矩形的性質(zhì)；(5)總結(jié)提升.具體設計如下(問題串)：

問題1：回顧三角形的研究過程，三角形是按照怎樣的路徑展開研究的？

追問：什么是等腰三角形？什么是直角三角形？

設計意圖：通過學生回顧，從數(shù)學本身的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)出發(fā)，復習三角形的研究路徑：概念-性質(zhì)(判定)-特例(概念-性質(zhì)-判定)，通過追問引出特殊三角形的概念，幫助學生建構(gòu)三角形的研究結(jié)構(gòu)，形成結(jié)構(gòu)圖(1).為特殊平行四邊形的研究提供方案和路徑，也為特殊平行四邊形的概念的形成做好鋪墊.

問題2：平行四邊形的性質(zhì)是從哪幾個方面研究的？分別有哪些性質(zhì)？

設計意圖：通過回顧，喚醒平行四邊形性質(zhì)的內(nèi)容和研究的角度，形成結(jié)構(gòu)圖(2).矩形、菱形、正方形是特殊的平行四邊形，具備平行四邊形的所有性質(zhì).平行四邊形性質(zhì)研究的角度也是矩形和菱形等性質(zhì)探究的角度， 為矩形、菱形性質(zhì)探究做好鋪墊.

問題3：前面我們已經(jīng)學習了平行四邊形的概念-性質(zhì)-判定，類比三角形的研究路徑，你認為接下來應該研究什么？

追問1：如果你來研究，你會從什么角度研究平行四邊形的特殊性？

追問2：類比三角形的研究過程，想一想，動手畫一畫，可以得到什么特殊的平行四邊形？

設計意圖：問題3構(gòu)建研究方向，明確研究的內(nèi)容.依據(jù)復習的研究路徑，接下來應該研究特例，即特殊的平行四邊形.追問1是引導學生思考研究特殊平行四邊形的角度.學生類比特殊三角形的研究過程，水到渠成地想到從邊和角研究特殊的平行四邊形.學生有了研究的方向，但如何研究？結(jié)論是什么？還需要學生自己去探索.追問2從研究方法上提出問題，引導學生通過畫圖操作、直觀想象和思考分析、邏輯推理相結(jié)合，讓學生自主探究，同伴互助得出菱形和矩形，初步形成四邊形的框架結(jié)構(gòu)圖， 如結(jié)構(gòu)圖(3).

問題4：類比特殊三角形的概念，你能歸納出菱形和矩形的概念嗎？

設計意圖：讓學生類比“有兩條邊相等的三角形是等腰三角形”得出“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”；類比“有一個角是直角的三角形是直角三角形”得出“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”.結(jié)合圖形幫助學生理解概念的內(nèi)涵.

問題5：剛才我們了解了菱形、矩形的概念，接下來我們會研究什么呢？

追問1：菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)嗎？

追問2：菱形是特殊的平行四邊形，它是否具有一般平行四邊形不具有的特殊性質(zhì)呢？

追問3：如果讓你來研究菱形的特殊性質(zhì)，你會從哪些角度來研究呢？

追問4：你是怎么想到這幾個角度的？

追問5：菱形有哪些特殊性質(zhì)？想一想，猜一猜，證一證.獨立思考后小組交流討論，整理出討論的結(jié)果，派一名代表和同學們分享結(jié)論，并說明理由！

設計意圖：首先引導學生根據(jù)幾何圖形的研究路徑明晰后續(xù)的研究內(nèi)容，學習完概念后接著應該研究性質(zhì).追問1和追問2引導學生把菱形性質(zhì)分為兩塊梳理，一般平行四邊形的性質(zhì)和它特有的性質(zhì)，并為特有性質(zhì)的研究提供了方向和借鑒.追問3引導學生明確特有性質(zhì)的研究角度.追問4是讓學生反思研究角度的由來，讓學生在學習過程中養(yǎng)成不但要“知其然”，更要“知其所以然”的習慣.追問5是在明確性質(zhì)研究的方向后，放手讓學生自主探究.學生通過獨立思考、小組合作等多種途徑，研究菱形的特有性質(zhì).再通過小組代表分享，教師點評，生生互評，完成菱形特有性質(zhì)的學習.教師在學生分享研究結(jié)果的基礎上幫助學生從邊、角、對角線、對稱性幾個方面梳理菱形的所有性質(zhì).

問題6：下面請同學們仿照菱形的研究過程，自主進行矩形的探究，并嘗試整理矩形的性質(zhì).思考后和同學們交流.

設計意圖：類比菱形性質(zhì)的研究過程，引導學生自主遷移到矩形性質(zhì)的探究，幫助學生掌握知識結(jié)構(gòu)，滲透結(jié)構(gòu)化思維.教會學生研究問題的方法，培養(yǎng)學生的能力.

問題7：剛才同學們一起研究了矩形和菱形的性質(zhì)，我們一起來看一看它的應用.

1.如圖(1)，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,

(1)若∠ACB=30°，AB=3，則AC=______;

(2)若∠AOD=120°，AB=3，則AC=______.

圖(1)

圖(2)

2.如圖(2)，已知四邊形ABCD是菱形，且對角線相交于點O,

(1)若AC=6cm，BD=8cm，則菱形的邊長=________;

(2)菱形的周長52cm,BD=24cm, 則AC=________.

設計意圖：問題1考查了矩形的四個角是直角和對角線相等且互相平分的性質(zhì)，問題2考查了菱形的四邊相等和對角線互相垂直平分的性質(zhì).通過兩個問題及時鞏固矩形和菱形的性質(zhì).

問題8：回顧本節(jié)課的內(nèi)容，我們學習了什么？

追問1：本節(jié)課學習了哪些知識？

追問2：矩形、菱形的概念和性質(zhì)是如何展開研究的？

追問3：幾何圖形的研究路徑是什么？

設計意圖：通過追問讓學生從三方面回顧本節(jié)課的學習.追問1總結(jié)所學的知識點：矩形和菱形的概念和性質(zhì).追問2回顧研究的過程：借助三角形結(jié)構(gòu)類比得出平行四邊形的結(jié)構(gòu)；借助特殊三角形的概念類比得到矩形和菱形的概念；借助特殊三角形的研究方法類比得到特殊平行四邊形的研究方法；借助平行四邊形性質(zhì)的研究角度類比得到菱形性質(zhì)的研究角度；借助菱形的研究過程類比得到矩形的研究過程等等.追問3回顧幾何圖形的研究路徑：概念—性質(zhì)—特例(概念—性質(zhì)—判定).通過回顧讓學生對知識有著整體的認知，能體會結(jié)構(gòu)化思維和類比的思想可以將新舊知識進行同化和順應，方法進行遷移，也為課后正方形概念、性質(zhì)的探究和特殊平行四邊形判定的學習提供借鑒.

問題9：有一個角是直角的等腰三角形是什么三角形？有兩條邊相等的直角三角形是什么三角形？

追問：菱形和矩形學完后，將會繼續(xù)研究什么四邊形？

設計意圖：通過問題完善三角形的結(jié)構(gòu)圖(1)，得到結(jié)構(gòu)圖(4).通過追問引導學生對后面的知識進行展望，從而形成本單元完整的結(jié)構(gòu)圖(5)，有助于學生對知識的整體感知，另一方面滲透了研究方法的延續(xù)性，幫助學生形成研究此類問題的方法結(jié)構(gòu).

問題10：作業(yè)布置：復習菱形和矩形的概念與性質(zhì)以及它們的研究過程，并仿照本節(jié)課的研究過程，自主探索正方形的概念和性質(zhì).

設計意圖：讓學生課后自主研究正方形的性質(zhì)，是課內(nèi)學習的課外延伸.既是對本節(jié)課研究過程的復習鞏固，又是讓學生進一步利用結(jié)構(gòu)化思維研究新的問題，培養(yǎng)學生的能力，逐步實現(xiàn)從“教”到“不教”.

4 教學思考

4.1 結(jié)構(gòu)化單元教學的教學追求

結(jié)構(gòu)化單元教學是以學科的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)和研究知識的過程、方法和思想為依托而展開的單元教學.它是以課標、教材為依據(jù)，以課本自然章節(jié)為基本大單元.既關注本單元內(nèi)部知識之間的聯(lián)系，更關注同類知識大單元之間研究方法和研究過程的結(jié)構(gòu)關聯(lián)，使得數(shù)學學習能有一個前后一致的思想主線，邏輯連貫的展開教學.

結(jié)構(gòu)化教學通常包含三個層次.首先是將關聯(lián)的知識通過結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出來，構(gòu)建知識網(wǎng)絡，其次是對知識的產(chǎn)生過程進行分析，感悟過程中的；數(shù)學思想，形成過程結(jié)構(gòu)；最后學會主動遷移和拓展，獲得研究同類知識的方法結(jié)構(gòu).這三個層次的結(jié)構(gòu)在教學中是相輔相成，相互融通的.這節(jié)課既有特殊平行四邊形這個小單元的整體知識框架結(jié)構(gòu)，也有菱形、矩形概念和性質(zhì)的知識結(jié)構(gòu)，更有“從特殊三角形的研究類比遷移到特殊平行四邊形的研究，從特殊三角形的概念類比遷移到特殊平行四邊形的概念，從平行四邊形性質(zhì)的研究類比遷移到特殊四邊形性質(zhì)的研究”的方法結(jié)構(gòu).結(jié)構(gòu)化單元教學是在單元整體設計基礎上進行的課時教學設計，對于防止碎片化教學，落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)具有重要意義.它的教學追求是：數(shù)學的整體性，邏輯的連貫性，思想的一致性，方法的普適性，思維的系統(tǒng)性.

4.2 結(jié)構(gòu)化單元教學的實施路徑

結(jié)構(gòu)化單元教學在每一個單元中具體實施的路徑一般是“總—分—總”的形式.第一個“總”是對將要學習的單元進行初步整體感知，了解本章將要學什么？如何學？“分”是基于學生學情的限制，對每一個知識點進行深入學習．最后在具體學習每個知識點的“分”的基礎上，再次審視各個局部之間的關系，更為深入地揭示知識內(nèi)在聯(lián)系，體會學習方法，深度融合與升華，形成“總”體認識.

結(jié)構(gòu)化單元教學的實施關注數(shù)學的整體性.這個整體性首先體現(xiàn)在不同年級的縱向遞進式的設計.具體表現(xiàn)為：(1)具有內(nèi)在聯(lián)系的不同內(nèi)容之間的整體性.比如初中平面幾何圖形的學習，從角到三角形、四邊形再到圓；平面圖形的運動的學習，從平移到翻折中的軸對稱，再到旋轉(zhuǎn)中的中心對稱；代數(shù)知識的學習，從數(shù)到式；從方程到不等式；從分式到根式等等.這些知識雖然屬于不同的內(nèi)容，但是都有著類似的研究方法和研究路徑.在進行單元設計時要考慮上下位的知識，借助結(jié)構(gòu)化思維幫助學生找到它們之間的聯(lián)系.(2)同一主題內(nèi)容中的數(shù)學整體性.比如代數(shù)中方程的學習、函數(shù)的學習.方程從七年級的一元一次方程，二元一次方程(組)，到八年級的分式方程到九年級的一元二次方程. 每一章都是從實際問題出發(fā)，抽象出概念，然后學習解法，最后再到應用方程解決實際問題，它們有著共同的研究內(nèi)容結(jié)構(gòu).

4.3 結(jié)構(gòu)化單元教學對教師提出了更高的要求

教師只有了解到多種結(jié)構(gòu)的存在并形成結(jié)構(gòu)化的認識，才有可能形成結(jié)構(gòu)化的思維品質(zhì)和教學策略，也才能幫助學生建構(gòu)結(jié)構(gòu)化的知識，形成規(guī)律性的認知方式. 結(jié)構(gòu)化教學需要教師首先對教材和課標進行結(jié)構(gòu)化研讀，即透過教材知識點的布局尋找知識間內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系和展開邏輯，發(fā)現(xiàn)內(nèi)容編寫的思想內(nèi)核及核心價值. 其次對教學進行結(jié)構(gòu)化設計，對各類教學資源——教材的文本資源、師生的基礎資源、教學的過程資源進行加工，形成長遠規(guī)劃、單元計劃和課時設計. 在此基礎上，采用“教結(jié)構(gòu)—用結(jié)構(gòu)”的教學策略，引導學生將散點的知識以結(jié)構(gòu)的形式進行建構(gòu)，并與頭腦中原有的認知結(jié)構(gòu)形成一定的層次關聯(lián)，成為新的認知結(jié)構(gòu).