基于直觀想象核心素養(yǎng)視角下多面體的外接球解題策略

陶昌熙

摘 要：近幾年高考（全國卷）對直觀想象核心素養(yǎng)的考查主要體現(xiàn)在立體幾何中空間想象能力的考查。其中多面體的外接球問題是高考數(shù)學(xué)試卷經(jīng)常出現(xiàn)的題型，主要以選擇題形式呈現(xiàn)。如何解決此類問題是學(xué)生面臨的一道難關(guān)。本文將通過直接法、補(bǔ)形法、構(gòu)造法，對如何處理多面體的外接球問題進(jìn)行闡述。

關(guān)鍵詞：直接;補(bǔ)形;構(gòu)造

多面體的外接球問題包含多面體和外接球兩個內(nèi)容。高考題主要以兩類問題考查。學(xué)生應(yīng)該掌握多面體的相關(guān)知識，以及外接球的知識。下面結(jié)合例子談?wù)剮最惗嗝骟w的外接球解題策略。

一、直接法

直接法即利用球的定義直接找出球心。直接找出球心的必備知識：球的定義。球就是在空間中與定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡。此類問題關(guān)鍵是找到球心，那么如何找到球心呢？利用定性關(guān)系或定量計(jì)算找到一個定點(diǎn)到多面體各個頂點(diǎn)的距離相等，那么該定點(diǎn)就是球心;球心找到后再利用多面體的知識求出球的半徑。

二、補(bǔ)形法

補(bǔ)形法就是把球心不易找到的多面體補(bǔ)成長方體或直棱柱。學(xué)生可以利用長方體的球心在體對角線的中點(diǎn)上或者直棱柱的球心在上下兩個面的外接圓圓心連線的中點(diǎn)上找到球心。

三、構(gòu)造法

構(gòu)造法就是利用球心與截面圓心的連線垂直于截面的定理或者能夠找到兩條這樣的垂線就可以確定球心，然后構(gòu)造直角梯形或直角三角形轉(zhuǎn)換成代數(shù)計(jì)算求出球的半徑。

（一）側(cè)棱相等但不互相垂直的棱錐

根據(jù)側(cè)棱相等可以證明頂點(diǎn)與底面外接圓圓心的連線垂直于底面?？梢耘袛嗲蛐囊欢ㄔ谠摯咕€上。然后構(gòu)造直角三角形轉(zhuǎn)換成代數(shù)關(guān)系，從而求出球的半徑。

例4.已知三棱錐P-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB=2，PA=PB=PC=2，則三棱錐的外接球的表面積為.

試題分析：本題以三棱錐為載體，考查解三角形和外接球問題，考查學(xué)生空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和化歸轉(zhuǎn)化能力以及直觀想象核心素養(yǎng)。

如上圖，在以AB為斜邊的等腰直角三角形中，外接圓半徑r=O1C=1;在中，PC=2，O1C=1，根據(jù)勾股定理可得。設(shè)球的半徑為R，在中，，OC=R，O1C=1，根據(jù)勾股定理可得，因此得到，解得。故三棱錐的外接球的表面積為。

（二）含有側(cè)面垂直于底面（不含側(cè)棱垂直于底面）的棱錐

該類問題主要以側(cè)面和底面是特殊三角形呈現(xiàn)。該類問題的求解難點(diǎn)在于確定球心位置，確定球心時(shí)需要分別取兩相互垂直的面的過外心的垂線，球心位于兩垂線的交點(diǎn)處，然后構(gòu)造直角梯形或直角三角形轉(zhuǎn)換成代數(shù)關(guān)系，，其中OO1為球心到底面距離、OE為球心到側(cè)面的高的距離，從而求出球的半徑。下面以兩道典例說明。

①側(cè)面和底面是有一個特殊三角形（等邊或直角）

例5.在三棱錐M-ABC中，面MAB⊥面ABC，三角形ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形且AB=4，三角形MAB中，，求該幾何體外接球半徑。

試題分析：本題以三棱錐為載體，考查解三角形和外接球問題，考查學(xué)生空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和化歸轉(zhuǎn)化能力以及直觀想象核心素養(yǎng)。

設(shè)AB中點(diǎn)O1，球心為O，在△MAB中，過M作垂直于AB于D。根據(jù)面MAB⊥面ABC可得MD⊥平面ABC，在△MAB中，根據(jù)正余弦定理和等面積法可得MD=2，O1D=1。在等腰直角三角形ABC中，外接圓半徑r=O1C=2。在直角梯形MDO1O中，可得。在中，，解得，從而。

②側(cè)面和底面都是特殊三角形（等邊或直角）

例6.在三棱錐M-ABC中，面MAB⊥面ABC，三角形ABC和三角形MAB均為等邊三角形，且AB=3，求該幾何體外接球半徑。

試題分析：本題以三棱錐為載體，考查解三角形和外接球問題，考查學(xué)生空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和化歸轉(zhuǎn)化能力以及直觀想象核心素養(yǎng)。

設(shè)△ABC和△MAB的球心分別為O1，O2，取AB中點(diǎn)E，球心設(shè)為O，則OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面MAB，從而四邊形OO1EO2是矩形，可得：OO1=O2E，在三角形OO1C中結(jié)合勾股定理即可求解。

由題可得：，設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，，因此。在中，設(shè)外接球的半徑為R，，所以。

推廣：若兩個三角形都是一般三角形，則可構(gòu)造兩個直角梯形，利用兩個代數(shù)關(guān)系（其中OO1為球心到底面距離、OE為球心到側(cè)面的高的距離），解方程求出球的半徑。

本文力求在求解多面體的外接球問題上，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題設(shè)給出的條件化歸轉(zhuǎn)化為熟悉的幾類常見模型，快速求出答案，從而提升學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和化歸轉(zhuǎn)化能力，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)，期望能夠幫助學(xué)生更好掌握該部分知識，從而幫助學(xué)生提高高考數(shù)學(xué)成績。

參考文獻(xiàn)

[1]李昭輝，童新安《可補(bǔ)形為長方體計(jì)算的棱錐外接球問題》，《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》2017年第11期（上）

[2]中華人民共和國教育部制定《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》，人民教育出版社，2018.1