小學(xué)生分?jǐn)?shù)數(shù)感培養(yǎng)契機(jī)探析

羅剛

摘 要：《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）把數(shù)感列為十大核心概念之首，要求“在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生通過豐富的活動感受數(shù)的意義，體會數(shù)的作用，初步建立數(shù)感”。學(xué)生在學(xué)習(xí)整數(shù)時，已經(jīng)建立了一定程度的數(shù)感。分?jǐn)?shù)數(shù)感的培養(yǎng)是發(fā)展學(xué)生數(shù)感一次較大的飛躍，是學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)后數(shù)學(xué)成績分層的重要因素之一，關(guān)鍵在于把握好分?jǐn)?shù)數(shù)感培養(yǎng)的契機(jī)，有效突破分?jǐn)?shù)教學(xué)難點，從而提升核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)數(shù)感;培養(yǎng)契機(jī)

數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計等方面的感悟。數(shù)感的建立首先能夠幫助學(xué)生更深刻地感受日常生活中數(shù)的意義，同時不僅能領(lǐng)悟?qū)嶋H情境中數(shù)量關(guān)系的意義，還能夠靈活描述或轉(zhuǎn)換。數(shù)感的培養(yǎng)過程不像知識、技能的學(xué)習(xí)那樣效果直觀可見，需要經(jīng)歷逐步發(fā)展、形成的過程。分?jǐn)?shù)數(shù)感的培養(yǎng)關(guān)鍵要抓住培養(yǎng)的契機(jī)，選對關(guān)鍵點就能做到事半功倍的效果。各版本教材關(guān)于分?jǐn)?shù)的編排都大同小異，小學(xué)分?jǐn)?shù)內(nèi)容主要分為兩個學(xué)習(xí)階段，小學(xué)中段初步接觸分?jǐn)?shù)，學(xué)生知道分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生、分?jǐn)?shù)的意義和簡單的計算。高段進(jìn)一步認(rèn)識、理解分?jǐn)?shù)，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與除法、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分?jǐn)?shù)乘除法、百分?jǐn)?shù)及綜合運(yùn)用等知識點。這樣的課程設(shè)計符合小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和發(fā)展規(guī)律。但學(xué)生分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)困難是客觀存在的，把握好分?jǐn)?shù)數(shù)感培養(yǎng)的契機(jī)，能有效促進(jìn)分?jǐn)?shù)教學(xué)重難點的突破。

一、抓住種子課的萌芽契機(jī)培養(yǎng)分?jǐn)?shù)數(shù)感

特級教師俞正強(qiáng)老師說過，如果將某一知識系統(tǒng)作為一棵樹，這棵樹的生長過程就表現(xiàn)為若干節(jié)“課”，那么，一定有些課需要“蒔也若子”，充分理透脈絡(luò);這樣的課，通常處于起點或節(jié)點，就可以叫做種子課。分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識、分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識、百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識等概念的初始課就是種子課，是發(fā)展數(shù)感的重要契機(jī)。

人教版教材中，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)第一課的重點是初步認(rèn)識幾分之1，理解幾分之1的意義，分子是1的同分子分?jǐn)?shù)比較大小等內(nèi)容，重點掌握分?jǐn)?shù)單位，并用涂色、折紙、線段圖等方法表示分?jǐn)?shù)。而在北師大版教材中，《分一分一》則不止出現(xiàn)了分子是1的分?jǐn)?shù)，在“試一試”部分，結(jié)合涂色活動，理解其中的1份、2份、3份、4份所表示的意義。學(xué)生用折紙的方法創(chuàng)造分?jǐn)?shù)的過程中，出現(xiàn)了不同分子和分母的分?jǐn)?shù)，這樣的認(rèn)識分?jǐn)?shù)是比較全面的，也為分?jǐn)?shù)中的數(shù)感培養(yǎng)做了鋪墊。不同的教材雖然內(nèi)容安排不同，但是重點都是讓學(xué)生初步理解分?jǐn)?shù)意義“等分除”中的平均分的意義。

北師大版教材《分一分一》這一課為例。學(xué)生認(rèn)識了整數(shù)和小數(shù)后，第一次接觸分?jǐn)?shù)，是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的起始課。在正式學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)之前，學(xué)生已經(jīng)會用“一半”、“0.5”這樣的詞或小數(shù)來表達(dá)部分與整體的關(guān)系。學(xué)生認(rèn)識不難，只要在課的開始引導(dǎo)學(xué)生充分明確的意義，在生活中不同的物體里面找到其，一遍遍地理解把一個物體看作一個整體，把它平均分成幾份，其中的一份就是它的幾分之一，加深了學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，從根本上理解了分?jǐn)?shù)的含義。那么在后面的活動設(shè)計中，學(xué)生自己創(chuàng)造分?jǐn)?shù)、理解其他分?jǐn)?shù)的意義就比較順理成章了。因此這節(jié)課的設(shè)計中，為了讓學(xué)生的數(shù)感得到培養(yǎng)，先從學(xué)生熟悉的情境出發(fā)，引進(jìn)熟悉的生活資源，通過大活動環(huán)節(jié)，放手讓學(xué)生自主探究分?jǐn)?shù)的意義，在創(chuàng)造分?jǐn)?shù)活動中理解分?jǐn)?shù)，使學(xué)生更深入地感受數(shù)的意義。

分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識，要在種子課上抓住契機(jī)，感受分?jǐn)?shù)到底是怎么產(chǎn)生的，創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生去感受、體驗、創(chuàng)造表達(dá)方法，很多教師對這個環(huán)節(jié)容易走過場，這里的初始十幾分鐘關(guān)系到學(xué)生今后數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)。探究的情節(jié)比較簡單，關(guān)鍵在于教師的追問，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，在種子的萌芽過程中，數(shù)感不斷生長。

二、抓住厘清 “數(shù)”與“量”的契機(jī)培養(yǎng)分?jǐn)?shù)數(shù)感

從數(shù)學(xué)角度來說，分?jǐn)?shù)具有明顯的特殊性：它不僅可以表示具體的數(shù)值，還可以表示整體與部分的關(guān)系，具有相對性。對于分?jǐn)?shù)本身而言，它們表示不同類型的量時，看似彼此之間毫無聯(lián)系，但是可以利用通過“形”的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化，建立聯(lián)系形成數(shù)感。

學(xué)生的固有思維模式是整數(shù)、小數(shù)都只表示具體的、實在的數(shù)值，再者低年級初步接觸分?jǐn)?shù)時多數(shù)情況表示整體與部分的關(guān)系，這種習(xí)慣性思維方式讓多數(shù)學(xué)生認(rèn)為分?jǐn)?shù)只有這一屬性，如：案例：把一根鐵絲剪成兩段，第一段的長度是原來全長的，第二段的長度是米，兩段相比，（ ? ）。

A.第一段長 ? B.第二段長 ? C.兩段一樣長 ? D.不能確定

錯誤類型一：選B。他們認(rèn)為和米都表示鐵絲的具體長度，要想知道這兩段的長度大小只需要比較這兩個分?jǐn)?shù)的大小。當(dāng)兩分?jǐn)?shù)比較大小時，分子相同，分母越小結(jié)果越大，故： ;

錯誤類型二：選D。采訪這部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)她們知道表示整體與部分的相對性，米表示鐵絲的具體長度。但他們認(rèn)為這兩者是不同類型的量，彼此之間孤立，無法比較。

細(xì)究這道題出現(xiàn)錯誤的原因有：1.學(xué)生缺乏分辨分?jǐn)?shù)什么時候表示具體的量，什么時候表示整體與部分的相對性的能力;2.小學(xué)生的思維方式還處于具體階段，碰到相對抽象問題時不能把問題從題意中抽離出來。教學(xué)中可以讓學(xué)生通過畫圖講圖，利用“形”的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化，建立聯(lián)系形成數(shù)感。

三、抓住突破分?jǐn)?shù)數(shù)量關(guān)系的難點培養(yǎng)分?jǐn)?shù)數(shù)感

數(shù)感包括數(shù)量關(guān)系方面的感悟。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開數(shù)量關(guān)系，尤其是解決問題中隨處可見，因此數(shù)學(xué)成績好壞很大程度取決于分析數(shù)量關(guān)系能力的強(qiáng)弱。我們會遇到很多數(shù)量關(guān)系，有些一目了然，學(xué)生不見得會處理;有些比較抽象、隱晦，無形中增加學(xué)生找數(shù)量關(guān)系的難度。

案例：1.男生人數(shù)比女生人數(shù)多; 2. 女生人數(shù)比男生人數(shù)少。

很多學(xué)生看到這兩道題時，認(rèn)為答案是一樣，顯然是錯誤的。學(xué)生受到過往學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)比大小的干擾（A比B多幾，等價B比A少幾），導(dǎo)致遇到這些數(shù)量關(guān)系時：“A比B多幾分之幾”或“A比B少幾分之幾”，第一反應(yīng)就認(rèn)為：A比B多幾分之幾等價于B比A少幾分之幾，殊不知分?jǐn)?shù)表面上是其中的一份或幾份，其實表示的是部分與整體之比。“比”的定義將分?jǐn)?shù)擴(kuò)展為一部分與另一部分之比，當(dāng)比的對象換了后，對應(yīng)的結(jié)果也發(fā)生變化。該題對于學(xué)過“比”后的學(xué)生來說比較容易理解，但于五年級的學(xué)生來說難度有點大。這類型問題我們通常把比后面的量作為基準(zhǔn)量，把基準(zhǔn)量平均分成相應(yīng)的份數(shù)，另一量根據(jù)基準(zhǔn)量進(jìn)行調(diào)整。

案例2：一根繩子，剪去后，還剩15米，那么剪去米后，還剩（ ?）米。

學(xué)生看到這類較為復(fù)雜、抽象的題目后，開始頭暈?zāi)垦?，毫無頭緒，不知從何下手，最終答案五花八門。造成這種局面，一來是學(xué)生不會從題目中找出隱含的等量關(guān)系，二來是學(xué)生弄錯數(shù)量與對應(yīng)量之間的關(guān)系。

對于這種信息或數(shù)量較多的題，我們要鼓勵學(xué)生學(xué)借助線段圖來幫助自己理清題中的數(shù)量關(guān)系，在相應(yīng)的圖中標(biāo)出數(shù)量，最后轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題，得到答案。這也暗示我們要多多培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會分析問題，提出問題，解決問題的能力;還要向?qū)W生滲透借助線段圖或作圖對自己理解題意非常有幫助。在分析分?jǐn)?shù)數(shù)量關(guān)系時，突破難點與數(shù)感的培養(yǎng)相輔相成。

四、抓住辨析單位“1”典型案例培養(yǎng)分?jǐn)?shù)數(shù)感

根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，我們可以把一個、多個、多組物體看成一個“整體”，即：單位“1”，它也是今后學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)實際問題的重要基礎(chǔ)，幫助學(xué)生識別單位“1”顯得尤為重要。北師大版本的教材淡化了單位“1”的叫法，但一線教學(xué)中大多數(shù)教師仍割舍不下。無論單位“1”的叫法怎樣變，辨析單位“1”有利于培養(yǎng)分?jǐn)?shù)數(shù)感。

案例：水果店運(yùn)來一批水果，第一天賣出這些水果的，第二天賣出剩下來的，還剩水果總量的（ ? ）。

大部分學(xué)生的結(jié)果是 。對于這種偷換單位“1”的情況，學(xué)生潛意識缺乏判定能力，他們把賣出剩下來的，不假思索地理解為賣出這些水果的 。事實上“第二天賣出剩下來的”，此時的單位“1”不再是這堆水果，而是去掉第一天后剩下來的水果，對于出現(xiàn)兩個單位“1”的這種情況，我們往往要以題中的總量單位“1”作為標(biāo)準(zhǔn)量，另外的單位“1”轉(zhuǎn)化到這個標(biāo)準(zhǔn)上來進(jìn)行解答。故第二天我們的單位“1”是這堆水果的，第二天賣了這些水果的，還剩水果總量應(yīng)為。未來的教學(xué)中，我們要培養(yǎng)學(xué)生分析關(guān)鍵句子、提取關(guān)鍵字眼的能力，注意題干中前后句的差別，多多滲透轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生學(xué)會如何處理多個單位“1”的情況。

五、抓住建構(gòu)分?jǐn)?shù)、除法、比的意義知識體系的契機(jī)培養(yǎng)分?jǐn)?shù)數(shù)感

分?jǐn)?shù)的意義：把單位“1”平均分成若干份，選擇其中的一份或幾份用分?jǐn)?shù)表示;除法的意義之一：是把具體的數(shù)量平均分成若干份，表示這樣一份的數(shù)。比的意義：兩個數(shù)相除叫兩個數(shù)的比。從學(xué)生的學(xué)情來看，我們的學(xué)生會敘述兩者的意義，實際卻分不清楚三者的區(qū)別。

案例：一根鐵絲長 米，把它平均分成4份，每份長（ ?）米，每份占全長的（ ?）。

這道題目是將這兩者結(jié)合起來考查，從學(xué)生答題的結(jié)果看，學(xué)生的確又被難倒;有時候出題者只出其中一問，這時題中出現(xiàn)多余條件制造煙霧彈，學(xué)生無法判定哪個條件有用哪個多余，給學(xué)生解題造成困擾。這兩者都強(qiáng)調(diào)了平均分，卻截然不同。第一空是從除法的意義出發(fā)，用具體數(shù)量除以它的份數(shù)，即：，第二空則是從分?jǐn)?shù)的意義來分析解答，將鐵絲看成一個整體，把整體平均分成4份，其中的一份用 表示。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是構(gòu)建、解構(gòu)、重構(gòu)的有機(jī)整合過程，為此我們在教學(xué)分?jǐn)?shù)與除法時，應(yīng)設(shè)計多個具體情境讓學(xué)生通過動手操作、自我探索，幫助學(xué)生構(gòu)建、解構(gòu)、重構(gòu)兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別。在建構(gòu)分?jǐn)?shù)、除法、比的意義知識體系就是培養(yǎng)學(xué)生分?jǐn)?shù)數(shù)感的良好契機(jī)。

分?jǐn)?shù)數(shù)感的培養(yǎng)是發(fā)展學(xué)生數(shù)感一次比較大的飛躍，是學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)后形成數(shù)學(xué)成績分層的重要因素之一，把握好以上五個分?jǐn)?shù)數(shù)感培養(yǎng)的契機(jī)，能有效突破分?jǐn)?shù)教學(xué)難點，提升學(xué)生核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀.北京師范大學(xué)出版社.2012

[2] 張奠宙，鞏子坤.小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理 [M].上海教育出版社，2018

[3] 錢秋云.數(shù)感在分?jǐn)?shù)意義教學(xué)中的缺失與對策[J]. 2015

[4] 俞正強(qiáng).種子課.教育科學(xué)出版社[J]. 2020